기계공학 (Mechanical Engineering)

1. 다음 적분 을 계산하여라. \((1)\ \displaystyle\int\sqrt{3x+1}dx={2\over9}(3x+1)^{3\over2}\) \((2)\ \displaystyle\int x(x^2-2)^2dx=\frac{(x^2-2)^3}{6}\) \((3)\ \displaystyle\int(x^2-2)^2dx=\int(x^4-2x^2+4)dx={x^5\over5}-{2\over3}x^3+4x\) \((4)\ \displaystyle\int\frac{dx}{5-2x}=-\frac{\ln|5-2x|}{2}\) \((5)\ \displaystyle\int\frac{\sqrt{x}}{1+x\sqrt{x}}dx={2\over3}\int\frac{dt}{1+t}={2\over3}\ln(1+t)={2\over3}\ln\left(1+x^{3\over2}\right)\) \((6)\ \displaystyle\int\left(1-{1\over z}\right)^2\frac{dz}{z^2}=-\int(1-t)^2dt=\frac{(1-t)^3}{3}={1\over3}\left(1-{1\over z}\right)^3\) 2. 다음 적분을 계산하여라. \((1)\ \displaystyle\int\frac{\cos3x}{\sin3x}dx={1\over3}\int\frac{d(\sin3x)}{\sin3x}=\frac{\ln|\sin3x|}{3}\) \((2)\ \displaystyle\int2\sqrt{7t-13}dt={4\over21}(7t-13)^{3/2}\) \((3)\ \displaystyle\int(\ln{x}+1)e^{x\ln{x}}dx=\int(\ln{x}+1)x^xdx=\int dt=t=x^x\) \((4)\ \displaystyle\int\frac{5x-1}{5x^2-2x+1}dx={1\over2}\int\frac{(5x^2-2x+1)'}{5x^2-2x+1}dx=\frac{\ln(5x^2-2x+1)}{2}\) \((5)\ \displaystyle\i...

부분적분법 을 이용하여 다음 적분 을 계산해보자. \[{\rm I}_n=\int x^ne^xdx=x^ne^x-n\int x^{n-1}e^xdx=x^ne^x-n{\rm I}_{n-1}\ (n=0,\,1,\,2,\,\cdots)\] 그런데 \[{\rm I}_0=\int x^0e^xdx=\int e^xdx=e^x\] 이므로, 실제로 \({\rm I}_n\)을 구해보면 다음과 같다. \[\begin{align}{\rm I}_n&=x^ne^x-n{\rm I}_{n-1}\\&=x^ne^x-nx^{n-1}e^x+n(n-1){\rm I}_{n-2}\\&=x^ne^x-nx^{n-1}e^x+n(n-1)x^{n-2}e^x-n(n-1)(n-2){\rm I}_{n-3}\\&\qquad\cdots\\&=e^x\{x^ne^x-nx^{n-1}e^x+n(n-1)x^{n-2}e^x+\cdots+(-1)^{n-1}n!x+(-1)^nn!\}\end{align}\] 이 계산에서 이용된 관계식 \[{\rm I}_n=x^ne^x-n{\rm I}_{n-1}\] 를 \({\rm I}_n\)의 점화식 이라 한다. 정수 \(n\)을 품은 복잡한 부정적분을 계산할 때, 부분적분법을 이용하면 점화식을 얻게 되는 경우가 많다. [ 예제 1 ] (1) \(\displaystyle{\rm I}_n=\int\frac{dx}{(x^2+a^2)^n}\)라 하고 다음 점화식을 증명하여라. \(\displaystyle{\rm I}_n={1\over2(n-1)a^2}\left\{\frac{x}{(x^2+a^2)^{n-1}}+(2n-3){\rm I}_{n-1}\right\}\ (n\ne1)\cdot(1)\) (2) \({\rm I}_1,\,{\rm I}_2,\,{\rm I}_3\)를 각각 구하여라. < 풀이 > (1) 부분적분법에 의해서 \(\begin{align}{\rm I}_{n-1}&=\int\frac{dx}{(x^2+a^2)^{n-1}}=\frac{x}{(x^2...