점화식

부분적분법을 이용하여 다음 적분을 계산해보자.

\[{\rm I}_n=\int x^ne^xdx=x^ne^x-n\int x^{n-1}e^xdx=x^ne^x-n{\rm I}_{n-1}\ (n=0,\,1,\,2,\,\cdots)\]

그런데

\[{\rm I}_0=\int x^0e^xdx=\int e^xdx=e^x\]

이므로, 실제로 \({\rm I}_n\)을 구해보면 다음과 같다.

\[\begin{align}{\rm I}_n&=x^ne^x-n{\rm I}_{n-1}\\&=x^ne^x-nx^{n-1}e^x+n(n-1){\rm I}_{n-2}\\&=x^ne^x-nx^{n-1}e^x+n(n-1)x^{n-2}e^x-n(n-1)(n-2){\rm I}_{n-3}\\&\qquad\cdots\\&=e^x\{x^ne^x-nx^{n-1}e^x+n(n-1)x^{n-2}e^x+\cdots+(-1)^{n-1}n!x+(-1)^nn!\}\end{align}\]

이 계산에서 이용된 관계식

\[{\rm I}_n=x^ne^x-n{\rm I}_{n-1}\]

를 \({\rm I}_n\)의 점화식이라 한다. 정수 \(n\)을 품은 복잡한 부정적분을 계산할 때, 부분적분법을 이용하면 점화식을 얻게 되는 경우가 많다.

[예제 1] (1) \(\displaystyle{\rm I}_n=\int\frac{dx}{(x^2+a^2)^n}\)라 하고 다음 점화식을 증명하여라.

\(\displaystyle{\rm I}_n={1\over2(n-1)a^2}\left\{\frac{x}{(x^2+a^2)^{n-1}}+(2n-3){\rm I}_{n-1}\right\}\ (n\ne1)\cdot(1)\)

(2) \({\rm I}_1,\,{\rm I}_2,\,{\rm I}_3\)를 각각 구하여라.

<풀이> (1) 부분적분법에 의해서

\(\begin{align}{\rm I}_{n-1}&=\int\frac{dx}{(x^2+a^2)^{n-1}}=\frac{x}{(x^2+a^2)^{n-1}}+2(n-1)\int\frac{x^2}{(x^2+a^2)^n}dx\\&=\frac{x}{(x^2+a^2)^{n-1}}+2(n-1){\rm I}_{n-1}-2(n-1)a^2{\rm I}_n\end{align}\)

이 방정식에 \({\rm I}_n\)을 구하면

\(\therefore\ {\rm I}_n=\dfrac{1}{2(n-1)a^2}\left\{\dfrac{x}{(x^2+a^2)^{n-1}}+(2n-3){\rm I}_{n-1}\right\}\)

(2) 먼저

\(\displaystyle{\rm I}_1=\int\frac{dx}{x^2+a^2}={1\over a}{\rm Tan}^{-1}{x\over a}\)

점화식 (1)을 써서 위의 \({\rm I}_1\)을 대입하면

\(\displaystyle{\rm I}_2={1\over2(2-1)a^2}\left\{\frac{x}{(x^2+a^2)^{2-1}}+(2\cdot2-3){\rm I}_{2-1}\right\}={1\over2a^2}\left(\frac{x}{x^2+a^2}+{1\over a}{\rm Tan}^{-1}{x\over a}\right)\)

다시 한번 점화식 (1)을 써서, 위의 \({\rm I}_2\)를 대입하면

\(\begin{split}{\rm I}_3&={1\over2(3-1)a^2}\left\{\frac{x}{(x^2+a^2)^{3-1}}+(2\cdot3-3){\rm I}_{3-1}\right\}\\&={1\over4a^2}\left\{\frac{x}{(x^2+a^2)^2}+\frac{3x}{2a^2(x^2+a^2)}+{3\over2a^3}{\rm Tan}^{-1}{x\over a}\right\}\end{split}\)

[예제 2] (1) \(\displaystyle{\rm I}_n=\int\cos^nxdx\)라 할 때 다음 점화식을 증명하여라.

\[{\rm I}_n={1\over n}\left\{\sin{x}\cos^{n-1}x+(n-1){\rm I}_{n-2}\right\}\ (n\ge2)\]

(2) \({\rm I}_2,\,{\rm I}_3,\,{\rm I}_4\)를 각각 구하여라.

<풀이> (1) 부분적분법에 의해서

\(\begin{split}{\rm I}_n&=\int\cos^nxdx=\int\cos^{n-1}x\cos{x}dx=\sin{x}\cos^{n-1}x+(n-1)\int\cos^{n-2}x\sin^2xdx\\&=\sin{x}\cos^{n-1}x+(n-1)\int\cos^{n-2}x(1-\cos^2x)dx\\&=\sin{x}\cos^{n-1}x+(n-1)({\rm I}_{n-2}-{\rm I}_n)\end{split}\)

이 방정식에서 \({\rm I}_n\)을 구하면

\({\rm I}_n=\dfrac{1}{n}\{\sin{x}\cos^{n-1}x+(n-1){\rm I}_{n-2}\}\)

--- under construction ---