기계공학 (Mechanical Engineering)

1. 다음 적분 을 계산하여라. \((1)\ \displaystyle\int\sqrt{3x+1}dx={2\over9}(3x+1)^{3\over2}\) \((2)\ \displaystyle\int x(x^2-2)^2dx=\frac{(x^2-2)^3}{6}\) \((3)\ \displaystyle\int(x^2-2)^2dx=\int(x^4-2x^2+4)dx={x^5\over5}-{2\over3}x^3+4x\) \((4)\ \displaystyle\int\frac{dx}{5-2x}=-\frac{\ln|5-2x|}{2}\) \((5)\ \displaystyle\int\frac{\sqrt{x}}{1+x\sqrt{x}}dx={2\over3}\int\frac{dt}{1+t}={2\over3}\ln(1+t)={2\over3}\ln\left(1+x^{3\over2}\right)\) \((6)\ \displaystyle\int\left(1-{1\over z}\right)^2\frac{dz}{z^2}=-\int(1-t)^2dt=\frac{(1-t)^3}{3}={1\over3}\left(1-{1\over z}\right)^3\) 2. 다음 적분을 계산하여라. \((1)\ \displaystyle\int\frac{\cos3x}{\sin3x}dx={1\over3}\int\frac{d(\sin3x)}{\sin3x}=\frac{\ln|\sin3x|}{3}\) \((2)\ \displaystyle\int2\sqrt{7t-13}dt={4\over21}(7t-13)^{3/2}\) \((3)\ \displaystyle\int(\ln{x}+1)e^{x\ln{x}}dx=\int(\ln{x}+1)x^xdx=\int dt=t=x^x\) \((4)\ \displaystyle\int\frac{5x-1}{5x^2-2x+1}dx={1\over2}\int\frac{(5x^2-2x+1)'}{5x^2-2x+1}dx=\frac{\ln(5x^2-2x+1)}{2}\) \((5)\ \displaystyle\i...

1. 함수  \(f(x)=\begin{cases}\dfrac{x}{1+e^{1\over x}}\ (x\ne0)\\\quad\ 0\quad\ \ \ (x=0)\end{cases}\)의 \(x=0\)에서의 연속성 과 미분가능성 을 조사하여라. < 풀이 > \(\displaystyle\lim_{x\to0}f(x)=\lim_{x\to0}\frac{x}{1+e^{1\over x}}=0=f(0)\) 이므로 \(x=0\)에서 연속이다. \(\displaystyle\lim_{x\to+0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to+0}\frac{1}{1+e^{1\over x}}=0,\,\lim_{x\to-0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to-0}\frac{1}{1+e^{1\over x}}=1\) 따라서 \(x=0\)에서 미분 불가능이다. 2. 다음 함수의 도함수를 구하여라. (1) \(\dfrac{x^3}{(1-x^2)^{3\over2}}\)                    (2) \(\dfrac{\sin{x}-x\cos{x}}{x\sin{x}+\cos{x}}\)          (3) \({\rm Sin}^{-1}\left(\dfrac{1-x}{1+x}\right)\) (4) \(\ln\dfrac{\sqrt{1+x^2}+\sqrt{2}x}{\sqrt{1+x^2}-\sqrt{2}x}\)     (5) \(e^{4^x}\)                               (6) \((\tan{x})^{\sin{x}}\) < 풀이 > (1) \(\left\{\dfrac{x^3}{(1-x^2)^{3\...