후크의 법칙 (Hooke's Law)

개요 (Introduction)

후크의 법칙은 선형 정방성(linear and isotropic)이다. 사실 이 법칙은 정방성이라면 비선형을 포함한 초탄성(hyperelastic) 재질의 1차 선형(1st order linearization)이라 할 수 있다. 따라서 변형률이 작다면 고무에도 적용할 수 있다. 금속의 탄성영역에서는 표준 법칙이다.

수직 성분 (Normal Component)

전체 모델을 얻기 위한 첫번째 단계는 단순 인장/압축으로 출발한다. 이 경우 응력-변형률 관계는

$\sigma =Eϵ$

응력 및 변형률 항이 모두 1차식으므로 선형이다. 변형률은 단위가 없으므로 E는 σ와 같이 응력의 단위를 가진다.

다음 단계는 다차원으로 일반화 하는 것이다. 먼저 인장/압축의 방향을 x라 하자. 그러면 위의 식을 다음과 같이 쓸 수 있다.

$${ϵ}_{xx}=\frac{1}{E}{\sigma }_{xx}$$

이제 y 방향 수직응력을 추가 한다. y 방향 인장 응력은 x 방향 변형률을 감소시킨다. 따라서 위의 식을 아래와 같이 변화시킨다.

$${ϵ}_{xx}=\frac{1}{E}{\sigma }_{xx}-B{\sigma }_{yy}=\frac{1}{E}{\sigma }_{xx}-\nu \frac{1}{E}{\sigma }_{yy}$$

이 경우 B는 E 처럼 물성치이고 실험으로 결정된다. 하지만 B를 이 형태로 쓰는 것은 실용적이지 않다. 1/E에 대한 비율로 표현하는 것이 훨씬 유용하다.  이 비율을 ν로 나타내며 포아송 비(poisson's ratio) 라고 한다. 이것은 응력 방향과 그것에 수직 방향에 대한 변형률의 민감도 비율이다.

만약 재질이 정방석이면 ${\sigma }_{zz}$에 대한 ${ϵ}_{xx}$의 응답은 ${\sigma }_{yy}$와 같다. 따라서 위의 식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

$${ϵ}_{xx}=\frac{1}{E}\{{\sigma }_{xx}-\nu ({\sigma }_{yy}+{\sigma }_{zz})\}$$

재질	포아송 비	비고
폼	~0	무시 가능
유리	~0.2	취성
강	~0.3	강종에 따라 소폭(%) 변화
알루미늄	0.33	면심입방구조(FCC) 금속
구리
니켈
고무	0.5	비압축성

인장 시 후크의 법칙 적용예 (Hooke's Law Tension Example)

어떻게 하면 x 방향 인장응력으로 음의 변형률을 얻을 수 있을 까?

간단하다. y와 z 방향으로 충분한 인장응력을 가하면 된다. 후크의 법칙을 취하고 변형률이 ≤0이라 하자.

$${ϵ}_{xx}=\frac{1}{E}\{{\sigma }_{xx}-\nu ({\sigma }_{yy}+{\sigma }_{zz})\}\le 0$$

따라서 이 경우 다음 식이 성립한다.

$${\sigma }_{xx}\le \nu ({\sigma }_{yy}+{\sigma }_{zz})$$

위의 결과는 E와는 무관하며 ν에 영향을 받는다. ${\sigma }_{xx}\ge 0$ 일지라도 y와 z 방향으로 충분히 인장시키면 x 방향으로 음의 변형률을 얻을 수 있다.

전체 방정식은 다음과 같다.

$\begin{array}{rl}& {ϵ}_{xx}=\frac{1}{E}\{{\sigma }_{xx}-\nu ({\sigma }_{yy}+{\sigma }_{zz})\}\\ & {ϵ}_{yy}=\frac{1}{E}\{{\sigma }_{yy}-\nu ({\sigma }_{zz}+{\sigma }_{xx})\}\\ & {ϵ}_{zz}=\frac{1}{E}\{{\sigma }_{zz}-\nu ({\sigma }_{xx}+{\sigma }_{yy})\}\end{array}$

3-D 후크의 법칙 예제 (3-D Hooke's Law Example)

${\sigma }_{xx}=2,{\sigma }_{yy}=3,{\sigma }_{zz}=4$ 그리고 E=10 일 때, 다음 세가지 경우의 수직 변형률을 계산하여라 : ν=0, ν=0.33, 및 ν=0.5.

ν=0 일 때

$\begin{array}{r}{ϵ}_{xx}=2/10=0.2\\ {ϵ}_{yy}=3/10=0.3\\ {ϵ}_{zz}=4/10=0.4\end{array}$

ν=0.33 일 때

$\begin{array}{rl}& {ϵ}_{xx}=\frac{1}{10}\{2-0.33(3+4)\}=-0.031\\ & {ϵ}_{yy}=\frac{1}{10}\{3-0.33(2+4)\}=0.102\\ & {ϵ}_{zz}=\frac{1}{10}\{4-0.33(2+3)\}=0.235\end{array}$

ν=0.5 일 때

$\begin{array}{rl}& {ϵ}_{xx}=\frac{1}{10}\{2-0.5(3+4)\}=-0.15\\ & {ϵ}_{yy}=\frac{1}{10}\{3-0.5(2+4)\}=0.00\\ & {ϵ}_{zz}=\frac{1}{10}\{4-0.5(2+3)\}=0.15\end{array}$

ν=0 일 때는 변형률은 응력에 직접 비례한다. ν=0.5 일 경우는 첫째로 변형률 텐서는 항상 편향 상태이다. 둘째는 ${\sigma }_{xx}$가 양수일지라도 ${ϵ}_{xx}$항은 음수이다. 이는 종종 포아송 효과에 대한 오해를 불러 온다.

단축 인장 예제 (Uniaxial Tension Example)

${\sigma }_{xx}=2,E=10,$ 그리고 ν=0.5 일 때 변형률 텐서를 구하여라.

방향별 변형률 성분을 계산하면

$\begin{array}{rl}& {ϵ}_{xx}=\frac{2}{10}=0.2\\ & {ϵ}_{yy}={ϵ}_{zz}=-\frac{(0.5)(2)}{10}=-0.1\end{array}$

위의 결과로부터 변형률 텐서는

$\mathit{ϵ}=\left[\begin{array}{ccc}0.2& 0.0& 0.0\\ 0.0& -0.1& 0.0\\ 0.0& 0.0& -0.1\end{array}\right]$

그리고 응력 텐서는

$\mathit{\sigma }=\left[\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$

따라서 응력이 없는 방향도 변형률을 얻을 수 있다. 이것은 또 다른 포아송 효과의 결과이다.

또 다른 중요한 점은 ${ϵ}_{xx}$에 대한 ${ϵ}_{yy}$과 ${ϵ}_{zz}$의 비가 같다는 것이다. 이는 단축 인장일 때만 일어난다. 보편적이거나 포아송 비의 정의는 아니다.

전단 성분 (Shear Component)

이제 전단 응력과 변형률의 관계로 후크의 법칙을 확장한다. 전단 응력, ${\tau }_{xy}$와 전단 변형률, ${\gamma }_{xy}$를 주방향 값들을 얻기 위해 45˚로 회전시킨다.

전단응력에 대해서

$$\left[\begin{array}{cc}\cos {45}^{\circ }& \sin {45}^{\circ }\\ -\sin {45}^{\circ }& \cos {45}^{\circ }\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}0& {\gamma }_{xy}/2\\ {\gamma }_{xy}/2& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\cos {45}^{\circ }& -\sin {45}^{\circ }\\ \sin {45}^{\circ }& \cos {45}^{\circ }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{\gamma }_{xy}/2& 0\\ 0& -{\gamma }_{xy}/2\end{array}\right]$$

따라서 주방향 값들은

${\sigma }_1={\tau }_{xy}{\sigma }_2=-{\tau }_{xy}{ϵ}_1={\gamma }_{xy}/2{ϵ}_2=-{\gamma }_{xy}/2$

양의 주변형률을 후크의 법칙에 대입하면

$${ϵ}_1=\frac{1}{E}\{{\sigma }_1-\nu ({\sigma }_2+{\sigma }_3)\}\frac{{\gamma }_{xy}}{2}=\frac{1}{E}\{{\tau }_{xy}-\nu (-{\tau }_{xy})\}$$

정리하면 가로탄성계수에 대한 식이 유도된다.

$$G=\frac{{\tau }_{xy}}{{\gamma }_{xy}}=\frac{E}{2(1+\nu )}$$

가로탄성계수 (Shear Modulus)

고무의 ν=0.5 이므로 가로탄성계수, G는 항상 세로탄성계수, E의 1/3이다.

금속에 대해서는, 특히 FCC 구조의 경우 포아송 비는 ν=0.33 이다. 이로부터 가로탄성계수는 세로탄성계수의 3/8, 또는 37.5% 이다.

체적탄성계수 (Bulk Modulus)

변형률에 대한 식을 모두 더하면

$${ϵ}_{xx}+{ϵ}_{yy}+{ϵ}_{zz}=\frac{1-2\nu }{E}({\sigma }_{xx}+{\sigma }_{yy}+{\sigma }_{zz})$$

$({ϵ}_{xx}+{ϵ}_{yy}+{ϵ}_{zz})$은 체적변형률(volumetric strain), ${ϵ}_{\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}}=\mathrm{\Delta }V/V$ 이다. 그리고 $({\sigma }_{xx}+{\sigma }_{yy}+{\sigma }_{zz})$은 정수압. ${\sigma }_{\mathrm{H}}$의 3배이다.따라서 위의 식은 다음과 같이 된다.

$${ϵ}_{\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}}=\frac{3(1-2\nu )}{E}{\sigma }_{\mathrm{H}}$$

그리고 ${ϵ}_{\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}}$에 대한 ${\sigma }_{\mathrm{H}}$의 비는 체적탄성계수, K라고 한다.

$$K=\frac{{\sigma }_{\mathrm{H}}}{{ϵ}_{\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}}}=\frac{E}{3(1-2\nu )}$$

이것이 세로탄성계수와 체적탄성계수 간의 중요한 관계를 나타낸다. 고무의 체적탄성계수는 크지 않지만 세로탄성계소 보다는 훨씬 크다. 따라서 그 둘의 비율은 매우 작다. 이는 고무의 포아송 비가 0.5 이어야 한다는 것을 의미한다.

체적탄성계수 예제 (Bulk Modulus Example)

강(steel)은 탄성계수가 200,000 MPa, 포아송 비 0.3으로 알려져 있다. 강의 체적탄성계수는

$$K=\frac{E}{3(1-2\nu )}=\frac{200,000}{3(1-(2)(0.3))}=166,667\mathrm{M}\mathrm{P}\mathrm{a}$$

알루미늄은 탄성계수가 70,000 MPa 그리고 포아송 비 0.33 이다. 체적탄성계수는 탄성계수와 동일한 것으로 계산된다.

$$K=\frac{E}{3(1-2\nu )}=\frac{70,000}{3(1-(2)(0.33))}=70,000\mathrm{M}\mathrm{P}\mathrm{a}$$

고무의 경우 체적탄성계수는 1,000 MPa 정도이다. 강이나 알루미늄 보다 훨씬 작기 때문에 실제로 금속 보다 휠씬 더 압축성이다. 하지만 그의 체적탄성계수가 가로 또는 세로탄성계수 보다 몇 자리수는 더 크기 때문에 비압축성으로 간주된다.

행열 및 텐서 표기법 (Matrix & Tensor Notation)

후크의 법칙은 행열 및 텐서 표기법으로 각각 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$\mathit{ϵ}=\frac{1}{E}\{(1+\nu )\mathit{\sigma }-\nu \mathbf{I}\mathrm{t}\mathrm{r}(\mathit{\sigma })\}{ϵ}_{ij}=\frac{1}{E}\{(1+\nu ){\sigma }_{ij}-\nu {\delta }_{ij}{\sigma }_{kk}\}$$

모든 행열을 풀어 쓰면

$$\left[\begin{array}{ccc}{ϵ}_{11}& {ϵ}_{12}& {ϵ}_{13}\\ {ϵ}_{21}& {ϵ}_{22}& {ϵ}_{23}\\ {ϵ}_{31}& {ϵ}_{32}& {ϵ}_{33}\end{array}\right]=\frac{1}{E}\{(1+\nu )\left[\begin{array}{ccc}{\sigma }_{11}& {\sigma }_{12}& {\sigma }_{13}\\ {\sigma }_{21}& {\sigma }_{22}& {\sigma }_{23}\\ {\sigma }_{31}& {\sigma }_{32}& {\sigma }_{33}\end{array}\right]-\nu \left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]({\sigma }_{11}+{\sigma }_{22}+{\sigma }_{33})\}$$

개별 성분들을 정리하면 아래와 같은 각 성분들의 식이 유도된다.

$$\begin{array}{rl}& {ϵ}_{11}=\frac{1}{E}\{{\sigma }_{11}-\nu ({\sigma }_{22}+{\sigma }_{33})\}{ϵ}_{12}=\frac{1+\nu }{E}{\sigma }_{12}\\ & {ϵ}_{22}=\frac{1}{E}\{{\sigma }_{22}-\nu ({\sigma }_{33}+{\sigma }_{11})\}{ϵ}_{31}=\frac{1+\nu }{E}{\sigma }_{31}\\ & {ϵ}_{33}=\frac{1}{E}\{{\sigma }_{33}-\nu ({\sigma }_{11}+{\sigma }_{22})\}{ϵ}_{23}=\frac{1+\nu }{E}{\sigma }_{23}\end{array}$$

[주의] 변형률의 비대각 성분, ${ϵ}_{12},{ϵ}_{23}\text{및}{ϵ}_{31}$은 공학 전단 변형률의 1/2 값이다. 즉, ${ϵ}_{12}={\gamma }_{12}/2$.

후크 법칙의 역함수 (Inverting Hooke's Law)

응력의 함수인 변형률을 반대로 응력을 변형률의 함수로 후크의 법칙을 적용해 보자.

위의 텐서 표기법으로부터 쉽게 ${\sigma }_{ij}$에 관한 식을 얻을 수 있다.

$${\sigma }_{ij}=\frac{1}{1+\nu }(E{ϵ}_{ij}+\nu {\delta }_{ij}{\sigma }_{kk})$$

양변에 ${\delta }_{ij}$를 곱하고 정리하면

$$\begin{array}{rl}& {\delta }_{ij}{\sigma }_{ij}=\frac{1}{1+\nu }(E{\delta }_{ij}{ϵ}_{ij}+\nu {\delta }_{ij}{\delta }_{ij}{\sigma }_{kk})\\ & {\sigma }_{kk}=\frac{1}{1+\nu }(E{ϵ}_{jj}+3\nu {\sigma }_{kk})\\ & {\sigma }_{kk}=\frac{E}{1-2\nu }{ϵ}_{jj}\end{array}$$

위의 식을 다시 원식에 대입하면 응력에 대한 변형률의 함수식을 얻는다.

$${\sigma }_{ij}=\frac{E}{1+\nu }({ϵ}_{ij}+\frac{\nu }{1-2\nu }{\delta }_{ij}{ϵ}_{kk})$$

위의 식은 재질이 비압축성이면 ν=0.5 이므로 변형률 텐서로부터 응력 텐서를 구할 수 없다는 것에 유의한다.

강성 텐서 (Stiffness Tensor)

강성 텐서는 응력과 변형률의 관계를 나타내는 4등급 계수(3×3×3×3)이다.

$\mathit{\sigma }=\mathbf{C}:\mathit{ϵ}{\sigma }_{ij}=C_{ijkl}{ϵ}_{kl}$

강성 텐서는 본질적으로 헬름홀츠 자유에너지(Helmholtz free energy)의 탄성 그린 변형률(Green strain) 텐서에 대한 2차 편도함수이다.

$$\mathbf{C}={\rho }_0\frac{{\partial }^2\mathrm{\Psi }}{\partial {\mathit{ϵ}}_{\mathrm{e}\mathrm{l}}^2}$$

그러나 위의 식은 수학적인 분석에는 그다지 유용하지 않다. 대신 후크의 법칙의 도함수를 취하는 편이 쉽다. 변형률에 대한 편미분을 취하기 전에 ${ϵ}_{ij}=({ϵ}_{ij}+{ϵ}_{ji})/2$로 치환하여 대칭성을 부여한다. 그 다음 편도함수를 전개하면 다음식을 얻는다.

$$\begin{array}{rl}{C}_{ijkl}& =\frac{\partial {\sigma }_{ij}}{\partial {ϵ}_{kl}}\\ & =\frac{\partial }{\partial {ϵ}_{kl}}\left[\frac{E}{1+\nu }\{\frac{1}{2}({ϵ}_{ij}+{ϵ}_{ji})+\frac{\nu }{1-2\nu }{\delta }_{ij}{ϵ}_{mm}\}\right]\\ & =\frac{E}{1+\nu }\{\frac{1}{2}({\delta }_{ik}{\delta }_{jl}+{\delta }_{jk}{\delta }_{il})+\frac{\nu }{1-2\nu }{\delta }_{ij}{\delta }_{mk}{ϵ}_{ml}\}\\ & =\frac{E}{1+\nu }\{\frac{1}{2}({\delta }_{ik}{\delta }_{jl}+{\delta }_{jk}{\delta }_{il})+\frac{\nu }{1-2\nu }{\delta }_{ij}{\delta }_{kl}\}\end{array}$$

이제 위의 식은 i와 j 그리고 k와 l에 대하여 대칭성을 가진다.

강성 텐서 예제 (Stiffness Tensor Example)

${\sigma }_{11}$에 기여하는 ${ϵ}_{11}$의 계수, $C_{1111}$을 결정하라.

$$\begin{array}{rl}{C}_{1111}& =\frac{E}{1+\nu }\{\frac{1}{2}({\delta }_{11}{\delta }_{11}+{\delta }_{11}{\delta }_{11})+\frac{\nu }{1-2\nu }{\delta }_{11}{\delta }_{11}\}\\ & =\frac{E}{1+\nu }(1+\frac{\nu }{1-2\nu }\delta )=\frac{E(1-\nu )}{(1+\nu )(1-2\nu )}\end{array}$$

$C_{1111}$는 $\partial {\sigma }_{11}/\partial {ϵ}_{11}$ 이고 이것은 ${ϵ}_{11}$가 변하는 동안 ${ϵ}_{22}$와 ${ϵ}_{33}$가  상수로 유지된다는 것을 기억해야 한다.

이 과정의 결과로 체적 변화가 수반된다. 이것은 $C_{1111}$의 분모에 (1-2ν)를 가지고 있어 ν가 0.5에 근접하면 무한대로 가게 된다. 왜냐하면 재질이 비압축성이 되면 체적을 변화시키기 위한 응력은 무한대로 요구되기 때문이다.

또한 $C_{1111}$는 단축 인장하에서 재질의 강성을 의미하지는 않는다. 왜냐하면 이 경우 포아송 효과로 측방향 변형률이 변화하지만 편미분에서는 상수로 취급하기 때문이다.

편향 응력 및 변형률 (Deviatoric Stress & Strain)

후크의 법칙에서 편향 응력과 변형률의 관계를 알아 본다. 앞서 유도한 변형률과 응력의 대각합 관계식에 ${\delta }_{ij}/3$를 양변에 곱하면

$$\frac{1}{3}{\delta }_{ij}{ϵ}_{kk}=\frac{1-2\nu }{3E}{\delta }_{ij}{\sigma }_{kk}$$

이 결과는 정수압 응력과 변형률의 관계를 나타낸다. 위의 식을 후크의 법칙 원식에서 차감하면 다음식을 얻는다.

$$\begin{array}{rl}{ϵ}_{ij}-\frac{1}{3}{\delta }_{ij}{ϵ}_{kk}& =\frac{1+\nu }{E}{\sigma }_{ij}-\frac{\nu }{E}{\delta }_{ij}{\sigma }_{kk}-\frac{1-2\nu }{3E}{\delta }_{ij}{\sigma }_{kk}\\ & =\frac{1+\nu }{E}({\sigma }_{ij}-\frac{1}{3}{\delta }_{ij}{\sigma }_{kk})\end{array}$$

위의 결과의 양변은 편향 텐서를 포함하고 있으므로 아래와 같이 요약된다.

$${ϵ}_{ij}^{\prime }=\frac{1+\nu }{E}{\sigma }_{ij}^{\prime }=\frac{1}{2G}{\sigma }_{ij}^{\prime }$$

따라서 편향 응력과 변형률은 서로 직접적인 비례 관계에 있다. 이는 후크의 법칙에 대해서, 수직 변형률 성붕에 대해서도 항상 성립한다.

위의 식은 실용적으로 다음과 같이 쓸 수도 있다.

$${\sigma }_{ij}^{\prime }=2G{ϵ}_{ij}^{\prime }$$

후크의 법칙 편향 성분 예제 (Deviatoric Example with Hooke's Law)

포아송 비, ν=0.5, 그리고 탄성계수 E=15 MPa의 고무 재질이 있다고 하자. 아래 응력 텐서에 대하여 후크의 법칙을 사용하여 변형률 상태를 계산하여라. 그 다음 편향 응력과 변형률을 구하고 서로간의 비례상수는 2G 임을 보여라.

$$\mathit{\sigma }=\left[\begin{array}{ccc}8& 2& 4\\ 2& 6& 6\\ 4& 6& 4\end{array}\right]$$

위의 응력 텐서는 상당한 양의 정수압 응력을 가지고 있다. 즉, 정수압 성분은

$${\mathit{\sigma }}_{\mathrm{H}}=\left[\begin{array}{ccc}6& 0& 0\\ 0& 6& 0\\ 0& 0& 6\end{array}\right]$$

후크의 법칙을 적용하면

$$\begin{array}{rl}\left[\begin{array}{ccc}{ϵ}_{11}& {ϵ}_{12}& {ϵ}_{13}\\ {ϵ}_{21}& {ϵ}_{22}& {ϵ}_{23}\\ {ϵ}_{31}& {ϵ}_{32}& {ϵ}_{33}\end{array}\right]& =\frac{1}{15}\{(1+0.5)\left[\begin{array}{ccc}8& 2& 4\\ 2& 6& 6\\ 4& 6& 4\end{array}\right]-3(0.5)\left[\begin{array}{ccc}6& 0& 0\\ 0& 6& 0\\ 0& 0& 6\end{array}\right]\}\\ & =\left[\begin{array}{ccc}0.2& 0.2& 0.4\\ 0.2& 0.0& 0.6\\ 0.4& 0.6& -0.2\end{array}\right]\end{array}$$

위의 변형률 텐서는 이미 편향 상태이다. 이는 포아송 비가 비압축성 재질의 ν=0.5 이기 때문이다.

이제 편향 응력과 변형률의 비례 관계를 보이기 위해 먼저 G를 계산한다.

$$G=\frac{E}{2(1+\nu )}=\frac{15}{2(1+0.5)}=5\mathrm{M}\mathrm{P}\mathrm{a}$$

따라서 2Gε'은 다음과 같다.

$$2G{\mathit{ϵ}}^{\prime }=\left[\begin{array}{ccc}2& 2& 4\\ 2& 0& 6\\ 4& 6& -2\end{array}\right]$$

그리고 이를 $\mathit{\sigma }-{\mathit{\sigma }}_{\mathrm{H}}$과 비교하면

  $\left[\begin{array}{ccc}8& 2& 4\\ 2& 6& 6\\ 4& 6& 4\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}6& 0& 0\\ 0& 6& 0\\ 0& 0& 6\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}2& 2& 4\\ 2& 0& 6\\ 4& 6& -2\end{array}\right]$

따라서 위의 식은 σ'=2Gε'를 만족한다. 이 예제는 비압축성 재질. ν=0.5에 대한 것이지만 압축성에 대해서도 동일하게 성립한다.

출처 http://www.continuummechanics.org