변환행열 (Transformation Matrices)

개요(Introduction)

본 글은 변환행열 Q의 생성과 해석 측면에서 촛점을 맞춤으로써 이전 좌표변환 글을 보충하게 될 것이다. 좌표변환은 물체가 아닌 좌표축이 회전하는 것임을 다시 한번 강조한다.

사전복습(Quick Review)

변환행열 Q는 다음과 같이 벡터(vector)와 텐서(tensor)의 좌표변환에 사용된다(2등급 텐서를 1차 텐서, 4등급 텐서를 2차 텐서라고도 한다).

벡터                                  ${\mathbf{v}}^{\prime }=\mathbf{Q}\cdot \mathbf{v}$

2등급(2nd rank) 텐서    ${\mathit{\sigma }}^{\prime }=\mathbf{Q}\cdot \mathit{\sigma }\cdot {\mathbf{Q}}^T$
4등급(4th rank) 텐서    ${\mathbf{C}}^{\prime }=\mathbf{Q}\cdot \mathbf{Q}\cdot \mathbf{C}\cdot {\mathbf{Q}}^T\cdot {\mathbf{Q}}^T$

또한 텐서표기법으로 쓰면 ...

벡터                $v_i^{\prime }={\lambda }_{ij}{v}_j$
2등급 텐서    ${\sigma }_{mn}^{\prime }={\lambda }_{mi}{\lambda }_{nj}{\sigma }_{ij}$
4등급 텐서    $C_{mnop}^{\prime }={\lambda }_{mi}{\lambda }_{nj}{\lambda }_{ok}{\lambda }_{pl}{C}_{ijkl}$

2차원에서 Q는

$$\mathbf{Q}=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]$$

여기서 θ는 변환전후 좌표축 간의 각도이다. 이것은 아래서 논의할 일반적인 3-D의 특별한 경우에 지나지 않는다.

변환행열의 성질(Transformation Matrix Properties) 변환행열은 아래의 2-D 벡터의 예에서 쉽게 알 수 있듯이 몇가지 특별한 성질이 있으며 3-D에도 동일하게 적용된다. 이 성질들은 만약 어떤 변환행열이 문제가 되었을 때 그것의 정확도를 검증하는데 유용하다. 변환행열이 이들 모든 항목을 통과하더라도 틀릴 수 있지만, 하나라도 만족하지 않으면 그것은 명백히 잘못된 것이다. ● Q의 행열식(determinant)은 1이다. ● Q의 전치행열(transpose)은 그의 역행열(inverse)이다. ● 임의의 행 또는 열과 그 자신과의 내적(dot product)은 1이다.      예 : $(i\cos \theta +j\sin \theta )\cdot (i\cos \theta +j\sin \theta )=1$ ● 임의의 행과 다른 행과의 내적은 0 이다.      예 : $(i\cos \theta +j\sin \theta )\cdot (-i\sin \theta +j\cos \theta )=0$ ● 임의의 열과 다른 열과의 내적은 0 이다.      예 : $(i\cos \theta -j\sin \theta )\cdot (i\sin \theta +j\cos \theta )=0$

변환행열의 곱(Multiplication of Transformation Matrices) 위에서 변환행열의 임의의 두개의 다른 행 또는 열 간의 내적은 0 이고, 반면에 임의의 행 또는 열과 그 자신의 내적은 1 임에 주목한다. 이것은 행열과 텐서표기법으로 다음과 같이 쓸 수 있다. $$\mathbf{Q}\cdot {\mathbf{Q}}^T=\mathbf{I}\text{그리고}{\lambda }_{ik}{\lambda }_{jk}={\delta }_{ij}$$ 이것은 또한 변환행열의 전치는 그의 역행열임을 보여준다.

3-D에서 Q의 일반적인 정의는 다음과 같다.

$$\mathbf{Q}=\left[\begin{array}{ccc}\cos (x^{\prime },x)& \cos (x^{\prime },y)& \cos (x^{\prime },z)\\ \cos (y^{\prime },x)& \cos (y^{\prime },y)& \cos (y^{\prime },z)\\ \cos (z^{\prime },x)& \cos (z^{\prime },y)& \cos (z^{\prime },z)\end{array}\right]$$

여기서 (x',x)는 x'와 x축 사이의 각도를 나타내고, (x', y)는 x'와 y축 사이의 각도를 나타낸다(이하 동일 규칙).

3-D로부터 2-D 축소(3-D Reduction to 2-D) 따라서 z-축에 대한 회전은 z'과 z 간의 각도가 0˚ 이기 때문에 cos(z',z)=1 이다. 반면에 cos(x',z)=cos(z',x)=0 이다. 왜냐하면 이들 축간의 각도는 90˚를 유지하기 때문이다. x'와 y 사이의 각도는 (90˚-θ), 그리고 cos(x',y)=cos(90˚-θ)=sinθ. 같은 방법으로 y'과 x 사이의 각도는 (90˚+θ), 그리고 cos(y',x)=cos(90˚+θ)=-sinθ. 이들을 모두 종합하면 $$\mathbf{Q}=\left[\begin{array}{ccc}\cos \theta & \sin \theta & 0\\ -\sin \theta & \cos \theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$ 여기서 3-D 변환행열 안에 2-D 행열이 포함되어 있음을 알 수 있다.

변환행열은 생성하고 해석하는 다른 방법은 다음과 같다.

$$\left[\begin{array}{ccc}\left(\begin{array}{c}x-comp\\ of{\mathbf{i}}^{\prime }\end{array}\right)& \left(\begin{array}{c}y-comp\\ of{\mathbf{i}}^{\prime }\end{array}\right)& \left(\begin{array}{c}z-comp\\ of{\mathbf{i}}^{\prime }\end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{c}x-comp\\ of{\mathbf{j}}^{\prime }\end{array}\right)& \left(\begin{array}{c}y-comp\\ of{\mathbf{j}}^{\prime }\end{array}\right)& \left(\begin{array}{c}z-comp\\ of{\mathbf{j}}^{\prime }\end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{c}x-comp\\ of{\mathbf{k}}^{\prime }\end{array}\right)& \left(\begin{array}{c}y-comp\\ of{\mathbf{k}}^{\prime }\end{array}\right)& \left(\begin{array}{c}z-comp\\ of{\mathbf{k}}^{\prime }\end{array}\right)\end{array}\right]$$

여기서 "x-comp of i'"은 i' 단위벡터(unit vector)의 x-성분(component)을 의미한다. 다른 말로 하면 "i' 단위행열의 x, y, z 좌표계 기준 첫번째 성분"이라 할 수 있다.

연속 회전 - 로우 규약(Successive Rotations -Roe Convention)

3-D 변환행열은 좌표축에 관한 일련의 연속적인 3번의 회전이라고 볼 수 있다. 회전축들의 조합이 임의의 순서로 선택될 수 있으므로 수많은 방법이 있을 수 있다. 하나의 많이 쓰이는 방법으로 소위 로우 규약(Roe convention)이 있다.

이것은 그림에서 보는바와 같이 (i) z-축을 중심으로 각도 ψ 만큼 회전한 후, (ii) 새로운 y-축(z를 중심으로 이미 회전한)을 중심으로 각도 θ 만큼 회전하고 마지막으로, (iii) 기울어진 z-축을 중심으로 두번째 Φ 만큼 회전하므로 이루어진다.

이 로우 규약은 한가지 단점에도 불구하고 매우 자주 사용된다. 그것은 θ=0 이면, ψ와 Φ 간의 구별이 어려워지며, 그 둘의 합만으로 구성된다.

$$\begin{array}{rl}\mathbf{Q}& =\left[\begin{array}{ccc}\cos \varphi & \sin \varphi & 0\\ -\sin \varphi & \cos \varphi & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\cos \theta & 0& -\sin \theta \\ 0& 1& 0\\ \sin \theta & 0& \cos \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\cos \psi & \sin \psi & 0\\ -\sin \psi & \cos \psi & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{ccc}\cos \psi \cos \theta \cos \varphi -\sin \psi \sin \varphi & \sin \psi \cos \theta \cos \varphi +\cos \psi \sin \varphi & -\sin \theta \cos \varphi \\ -\cos \psi \cos \theta \sin \varphi -\sin \psi \cos \theta & -\sin \psi \cos \theta \sin \varphi +\cos \psi \cos \varphi & \sin \theta \sin \varphi \\ \cos \psi \sin \theta & \sin \psi \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\end{array}$$

회전각도들은 ψ, θ, Φ 순서로 적용되지만, 행열들은 반대순서 : Φ, θ, ψ로 쓰여진다는 것에 주의한다.

로우 각도 예제(Roe Angles Example) 위의 그림에서 ψ=60˚, θ=30˚, 및 Φ=45˚ 이다. 이 로우 각도들로부터 다음과 같은 좌표 변환행열을 얻는다. $$\begin{array}{rl}\mathbf{Q}& =\left[\begin{array}{ccc}\cos {60}^{\circ }\cos {30}^{\circ }\cos {45}^{\circ }-\sin {60}^{\circ }\sin {45}^{\circ }& \sin {60}^{\circ }\cos {30}^{\circ }\cos {45}^{\circ }+\cos {60}^{\circ }\sin {45}^{\circ }& -\sin {30}^{\circ }\cos {45}^{\circ }\\ -\cos {60}^{\circ }\cos {30}^{\circ }\sin {45}^{\circ }-\sin {60}^{\circ }\cos {45}^{\circ }& -\sin {60}^{\circ }\cos {30}^{\circ }\sin {45}^{\circ }+\cos {60}^{\circ }\cos {45}^{\circ }& \sin {30}^{\circ }{\sin }^4{5}^{\circ }\\ \cos {60}^{\circ }\sin {30}^{\circ }& \sin {60}^{\circ }\sin {30}^{\circ }& \cos {30}^{\circ }\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{ccc}-0.3062& 0.8839& -0.3536\\ -0.9186& -0.1768& 0.3536\\ 0.2500& 0.4330& 0.8660\end{array}\right]\end{array}$$

역산 - 행열로부터 로우 각도 결정(Going In Reverse - Determining Roe Anlges from a Matrix)

변환행열이 주어지고 그 행열에 해당하는 로우 변환각도들을 알고 싶다고 하자.

$$\mathbf{Q}=\left[\begin{array}{ccc}{q}_{11}& q_{12}& q_{13}\\ q_{21}& q_{22}& q_{23}\\ q_{31}& q_{32}& q_{33}\end{array}\right]$$

첫째로 가장 쉬운 단계는 $q_{33}$ 성분을 이용하는 것이다. 그것은 단순히 θ의 코사인이므로, $\theta ={\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{s}}^{-1}(q_{33})$ 이다.

두번째 단계로 다음과 같이 ψ를 결정한다.

$$\frac{q_{32}}{q_{31}}=\frac{\sin \psi \sin \theta }{\cos \psi \sin \theta }=\frac{\sin \psi }{\cos \psi }=\tan \psi$$

따라서,

$$\varphi ={\mathrm{T}\mathrm{a}\mathrm{n}}^{-1}\left(\frac{q_{23}}{-q_{13}}\right)$$

하지만 θ가 매우 작은 경우, sinθ 도 매우 작게 되어, sinθ가 포함되어 있는 $q_{13},q_{23},q_{31}$ 및 $q_{33}$도 작아지게 된다. 이것은 반올림 오차(round-off errors)의 원인이 될 수 있다.

다행히도 이러한 경우(θ→0)에 대한 해결책은 ψ와 Φ를 서로 구별할 수 없다는 것에 있다. Φ를 0으로 둘 수 있으며, $\psi ={\mathrm{S}\mathrm{i}\mathrm{n}}^{-1}(q_{12})$로 계산된다.

예제: 행열로부터 로우 각도 계산(Example: Roe Angles from Matrix) 앞의 예제의 행열을 가지고 거꾸로 계산한다. 먼저 θ를 결정하기 위해 $q_{33}$ 항으로 시작한다. $$\theta ={\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{s}}^{-1}(q_{33})={\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{s}}^{-1}(0.8660)={30}^{\circ }$$ θ가 0에 가깝지 않으므로, ψ와 Φ는 다음과 같이 계산된다. $$\begin{array}{rl}\psi & ={\mathrm{T}\mathrm{a}\mathrm{n}}^{-1}\left(\frac{q_{32}}{q_{31}}\right)={\mathrm{T}\mathrm{a}\mathrm{n}}^{-1}\left(\frac{0.4330}{0.2500}\right)={60}^{\circ }\\ \varphi & ={\mathrm{T}\mathrm{a}\mathrm{n}}^{-1}\left(\frac{q_{23}}{-q_{13}}\right)={\mathrm{T}\mathrm{a}\mathrm{n}}^{-1}\left(\frac{0.3536}{0.3536}\right)={45}^{\circ }\end{array}$$

임의의 축에 대한 회전(Rotation About An Axis)

변환된 좌표계의 방향을 명시하는 또 다른 방법은 회전축 벡터(rotation axis vector) $\mathbf{p}=(p_1,p_2,p_3)$와 그 p축을 중심으로 회전각도 α를 사용하는 것이다.

이 경우 변환행열은 다음과 같이 쓰여 진다.

$$\mathbf{Q}=\cos \alpha \mathbf{I}+(1-\cos \alpha )\mathbf{p}\otimes \mathbf{p}+\sin \alpha \mathbf{P}$$

여기서

$$\mathbf{P}=\left[\begin{array}{ccc}0& p_3& -p_2\\ -p_3& 0& p_1\\ p_2& -p_1& 0\end{array}\right]$$

이 행열은 전개하면

$$\mathbf{Q}=\left[\begin{array}{ccc}\cos \alpha +(1-\cos \alpha )p_1^2& (1-\cos \alpha )p_1{p}_2+\sin \alpha p_3& (1-\cos \alpha )p_1{p}_3-\sin \alpha p_2\\ (1-\cos \alpha )p_2{p}_1-\sin \alpha p_3& \cos \alpha +(1-\cos \alpha )p_2^2& (1-\cos \alpha )p_2{p}_3+\sin \alpha p_1\\ (1-\cos \alpha )p_3{p}_1+\sin \alpha p_2& (1-\cos \alpha )p_3{p}_2-\sin \alpha p_1& \cos \alpha +(1-\cos \alpha )p_3^2\end{array}\right]$$

통상 그렇듯이 윗 식은 텐서표기법으로 간결하게 쓸 수 있다.

$$Q_{ij}=\cos \alpha {\delta }_{ij}+(1-\cos \alpha )p_i{p}_j+\sin \alpha {ϵ}_{ijk}{p}_k$$

p는 단위벡터라는 것에 유의한다. 다른 길이를 사용하면 잘못된 결과를 낳게된다.

로우 각도와 같이 주어진 변환행열 Q로부터 p와 α를 구할 수 있다. 첫번째 단계로 α를 결정한다. 이것은 행열의 대각합을 취함으로써 구해진다. 

$$\alpha ={\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{s}}^{-1}\left[\frac{1}{2}\{\text{tr}(\mathbf{Q})-1\}\right]$$

α가 결정되면, p의 성분들은 다음 식들로 계산된다.

$$p_1=\frac{q_{23}-q_{32}}{2\sin \alpha }{p}_2=\frac{q_{31}-q_{13}}{2\sin \alpha }{p}_3=\frac{q_{12}-q_{21}}{2\sin \alpha }$$

이 3개의 방정식은 텐서표기법으로 간편하게 요약된다.

$$p_i=\frac{{ϵ}_{ijk}{q}_{jk}}{2\sin \alpha }$$

α=0 일 때는 p가 정의되지 않는다. 이것은 "만약 회전이 전제되지 않으면 회전축은 의미가 없다"는 것을 보여준다.

p와 α의 역산(Backing Out p and α) 앞의 로우 각도: ψ=60˚, θ=30˚, 및 Φ=45˚ 와 동일한 단일회전 p와 α를 결정하라. α에 대해서 풀면 $$\alpha ={\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{s}}^{-1}\{\frac{1}{2}(-0.3062-0.1768+0.8660-1)\}={108}^{\circ }$$ p에 대해서 풀면 $$\begin{array}{rl}& p_1=\frac{0.3536-0.4330}{2\sin {108}^{\circ }}=-0.0417\\ & p_2=\frac{0.2500+0.3536}{2\sin {108}^{\circ }}=0.3173\\ & p_3=\frac{0.8839+0.9186}{2\sin {108}^{\circ }}=0.9475\end{array}$$ 따라서 로우 각도 ψ=60˚, θ=30˚, 및 Φ=45˚ 는 p=(-0.0417, 0.3173, 0.9475)로 주어진 축을 중심으로 하는 108˚ 단일 회전과 동일하다.

역행열과 전치행열(Inverse and Transposes)

모든 좌표 변환행열은 다소 주목할 만한 성질을 가진다. - 그들의 전치행열은 역행열과 같다. 따라서 이 행열의 역행열을 구하는 것은 쉬운 일이다.

$${\mathbf{Q}}^T={\mathbf{Q}}^{-1}\text{그러므로}{\mathbf{Q}}^T\cdot \mathbf{Q}={\mathbf{Q}}^{-1}\cdot \mathbf{Q}=\mathbf{I}$$

전치행열과의 곱 예제(Transpose Product Example) 앞의 Q 행열을 그의 전치행열과 곱하면 단위행열임을 알 수 있고, 그러므로 그것의 전치행열은 역행열과 같아야 한다. $$\begin{array}{rl}{\mathbf{Q}}^T\cdot \mathbf{Q}& =\left[\begin{array}{ccc}-0.3062& -0.9186& 0.2500\\ 0.8839& -0.1768& 0.4330\\ -0.3536& 0.3536& 0.8660\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}-0.3062& 0.8839& -0.3536\\ -0.9186& -0.1768& 0.3536\\ 0.2500& 0.4330& 0.8660\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\end{array}$$