[연습문제] 극한

1. 다음의 극한값을 구하여라.

(1) ${\displaystyle \underset{x\to 2}{lim}\frac{x^3+2x^2-3x-4}{x+2}=\frac{2^3+(2)2^2-(3)(2)-4}{2+2}=\frac{3}{2}}$

(2) ${\displaystyle \underset{x\to -2}{lim}\frac{x+2}{x^2-4x-12}=\underset{x\to -2}{lim}\frac{1}{x-6}=-\frac{1}{8}}$

(3) ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{2x^2-x}{x^2-3x}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{2x-1}{x-3}=\frac{1}{3}}$

(4) ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{x}{\tan 2x}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{2x}{2\tan 2x}=\frac{1}{2}}$

(5) ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{1-\cos x}{{\sin }^{2}x}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{1+\cos x}=\frac{1}{2}}$

(6) ${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{4x^3-5x^2+1}{x-x^2-7x^3}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{4-\frac{5}{x}+\frac{1}{x^2}}{\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x}-7}=-\frac{4}{7}}$

(7) ${\displaystyle \underset{x\to 1}{lim}\frac{x^n-1}{x-1}\text{(n은 자연수)}=\underset{x\to 1}{lim}(1+x+x^2+\cdots +x^{n-1})=n}$

위의 문제는 등비수열을 참조한다.

(8) ${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}=0}$

(9) ${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}x(x-\sqrt{x^2-a^2})=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a^{2}x}{x+\sqrt{x^2-a^2}}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a^2}{1+\sqrt{1-\frac{a^2}{x^2}}}=\frac{a^2}{2}}$

(10) ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{\sqrt{a^2+x}-\sqrt{a^2-x}}{x}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{2}{\sqrt{a^2+x}+\sqrt{a^2-x}}=\frac{1}{|a|}}$

(11) ${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(\sqrt{1+x+x^2}-x)=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1+x}{\sqrt{1+x+x^2}+x}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{1}{x}+1}{\sqrt{\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x}+1}+1}=\frac{1}{2}}$

(12) ${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x}{x-\sin x}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{1-\frac{\sin x}{x}}=1}$

2. ${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}{x}^2=a^2}$임을 ε-δ법에 의하여 증명하여라.

<증명> 임의의 ε>0가 주어지고 $|f(x)-a^2|<ϵ$ 이기 위해서는 $|x^2-a^2|=|x-a||x+a|<ϵ.$ 즉, $|x-a|<\frac{ϵ}{|x+a|}$ 이면 된다. $0<|x-a|<\delta$에서 δ=1로 놓으면 $|x|-|a|\le |x-a|<1$ 이므로 $|x|<|a|+1.$ 따라서 $|x+a|\le |x|+|a|<1+2|a|$ 이다. 곧, $\frac{ϵ}{1+2|a|}<\frac{ϵ}{|x+a|}$ 이다.

위의 사실로부터 $\delta =min(1,\frac{ϵ}{1+2|a|})$ 이고 $0<|x-a|<\delta$인 x에 대하여 $|f(x)-a^2|<ϵ.$

${\displaystyle \therefore \underset{x\to a}{lim}{x}^2=a^2}$

3. ${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}\frac{1}{(x-a{)}^2}=\mathrm{\infty }}$ 임을 밝혀라.

<증명> 임의의 양수 M에 대하여 $\frac{1}{(x-a{)}^2}>M$ 이기 위해서는 $\frac{1}{\sqrt{M}}>|x-a|$ 이어야 한다. 따라서 $\delta =\frac{1}{\sqrt{M}}$ 이라하면 $0<|x-a|<\delta =\frac{1}{\sqrt{M}}$인 모든 x에 대하여 $\frac{1}{(x-a{)}^2}>\frac{1}{{\delta }^2}=M.$

${\displaystyle \therefore \underset{x\to a}{lim}\frac{1}{(x-a{)}^2}=\mathrm{\infty }}$

4. $f(x)=x^2$에서 $0<|x-a|<\delta$ 이면 $|x^2-4|<ϵ$인 δ를

(1) ε=1          (2) ε=0.1          (3) 0<ε<5

일 때 구하여라.

<풀이>

(1) $\delta =min(1,\frac{1}{2|2|+1})=min(1,\frac{1}{5})=\frac{1}{5}$.

(2) $\delta =min(1,\frac{0.1}{2|2|+1})=min(1,\frac{1}{50})=\frac{1}{50}$.

(3) $\delta =\frac{ϵ}{2|2|+1}=\frac{ϵ}{5}$ 이므로 $0<\frac{ϵ}{5}<1$ 이다. 곧, 0<δ<1.

5. f(x)는 x=a의 근방에서 유계이고, ${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}g(x)=0}$ 이라 한다. 이 때 ${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}f(x)g(x)=0}$ 임을 증명하여라.

<증명> 가정에 의해 $|f(x)|\le A$(A는 양수)이고 $0<|x-a|<\delta$인 x에 대하여 $|g(x)|<{ϵ}_o$ 이다. 따라서 $|f(x)||g(x)|=|f(x)g(x)|<A{ϵ}_o=ϵ$.

${\displaystyle \therefore \underset{x\to a}{lim}f(x)g(x)=0}$.

6. u가 x의 함수이고 $x\to a$ 일 때 $u\to 0$ 이면 u는 무한소(無限小)라고 한다. u, v가 무한소이고 ${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}\frac{u}{v}=r}$ 일 때 r=0 이면 u는 v 보다 고위(高位)의 무한소이라 하고 r≠0 이면 u와 v는 동위(同位)의 무한소라 한다. 또한 u가 $x^n$과 동위의 무한소일 때 무한소 u를 x에 대해서 n위(位)의 무한소라 말한다. 이를테면 $x\to 0$ 일 때 $x^2,\sqrt[3]{x}$는 각각 2위, $\frac{1}{3}$위의 무한소이다. 다음 함수는 $x\to 0$ 일 때 몇 위의 무한소인가?(1) $x^2+3x$     (2) $\tan x$     (3) $1-\cos x$     (4) $\tan x-\sin x$

<풀이>

(1) ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{x^2+3x}{x}=\underset{x\to 0}{lim}(x+3)=3\ne 0}$ (1위)

(2) ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{\tan x}{x}=1\ne 0}$ (1위)

(3) ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{1-\cos x}{x^2}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{{\sin }^{2}x}{x^2(1+\cos x)}=\frac{1}{2}=\ne 0}$ (2위)

(4) ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{\tan x-\sin x}{x^3}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{{\sin }^{3}x}{x^3\cos x(1+\cos x)}=\frac{1}{2}\ne 0}$ (3위)