유리수의 지수

임의의 정수 p에 대하여 함수 f를

\[f(x)=x^p,\ x>0\]

으로 정의한다.

p=0 일 때는 f(x)=1 이므로 상수함수

p<0 일 때는 p'=-p라 두면 \(f(x)=x^p=x^{-p'}=1/x^{p'}\)

따라서 p≠0 일 때 f에 대하여 \(D_f=R_f=(0,\infty)\)이고, 연속이며

p>0 이면 강한 의미의 단조등가함수

p<0 이면 강한 의미의 단조감소함수

임을 알 수 있다.

그러므로 p≠0 일 때에는 f의 역함수가 존재하고 이것을 g라 하면

\[g(x)=x^{1\over p}=\sqrt[p]{x}\]

로 나타낸다. g에 대해서도 역함수 정리 1에 의해서  \(D_f=R_f=(0,\infty)\)이고, 연속이며

p>0 이면 강한 의미의 단조등가함수

p<0 이면 강한 의미의 단조감소함수

임을 알 수 있다.

특히 양의 정수 q에 대하여 함수 h를

\[h(x)=x^{1\over q},\ x>0\]

로 정의하고, p가 0이 아닌 임의의 정수일 때 f와 h의 합성함수 F를 다음과 같이 정의한다.

\[F(x)=(f\circ h)(x)=f\{h(x)\}=\left(x^{1\over q}\right)^p=x^{p\over q}=\sqrt[q]{x^p}\]

F는 연속함수 f와 h의 합성함수이므로 연속함수이다.

따라서 정의역·치역은 모두 \(D_f=R_f=(0,\infty)\). 그런데 p=0 이면 p/q=0, \(x^0=1\) 이므로 p=0 인 경우도 포함하여 \(x^{p/q}\)를 정의할 수 있다.

p가 임의의 정수이고, q가 양의 정수이면 p/q는 유리수이므로 임의의 유리수 r에 대하여

\[x^r\ \text{(x는 양의 실수)}\]

이 정의된다.

이들에 대한 내수적 계산은 다음 지수법칙을 활용한다.

지수법칙(지수가 유리수인 경우)

r, s를 임의의 유리수, a, b를 임의의 양수라 할 때

\[a^r\cdot a^s=a^{r+s},\qquad(a\cdot b)^r=a^r\cdot b^r,\qquad(a^r)^s=a^{rs}\]

이 성립한다.

정리 1 r을 임의의 유리수라 할 때 함수 F는 \(F(x)=x^r,\,x>0\) 으로 정의되어 있다. 이 때 \[\begin{split}&\text{r>0 이면 F는 강한 의미의 증가함수}\\&\text{r<0 이면 F는 강한 의미의 감소함수}\\&\text{r=0 이면 F는 상수함수}\end{split}\]이다.

<증명> p를 임의의 정수로 하여 f를

\[f(x)=x^p,\ x>0\]

으로 정의하면

p>0 일 때 f는 강한 의미의 증가함수

p<0 일 때 f는 강한 의미의 증가함수

또한 q를 양의 정수로 하여 h를

\[h(x)=x^{1\over q}=\sqrt[q]{x},\ x>0\]

으로 정의하면 h는 강한 의미의 증가함수이다. 한편 유리수 r은 적당한 정수p와 양의 정수 q를 선택하여 r=p/q로 놓으면

r>0 이면 p>0

r<0 이면 p<0

r=0 이면 p=0

이다. 따라서 f와 h를 함성함수로서 \(F(x)=f\{h(x)\}=x^{p/q}=x^r\) 이라 하면

r>0 일 때 p>0 이므로 \(x_1<x_2\) 이면 \(h(x_1)<h(x_2)\).

\[\therefore\ F(x_1)=f\{h(x_1)\}<f\{h(x_2)\}=F(x_2).\]

곧, F는 강한 의미의 증가함수이다.

r<0 일 때 p<0 이므로 \(x_1<x_2\) 이면 \(h(x_1)<h(x_2)\).

\[\therefore\ F(x_1)=f\{h(x_1)\}>f\{h(x_2)\}=F(x_2).\]

곧, F는 강한 의미의 감소함수이다.

r=0 일 때 F(x)=1. x>0 이므로 F는 상수함수이다.

계 1 r는 임의의 유리수이고, x>0 이다.
r>0 일 때

\[\begin{split}&0<x<1\text{ 이면 }0<x^r<1\\&1<x\text{ 이면 }1<x^r\end{split}\]

r<0 일 때

\[\begin{split}&0<x<1\text{ 이면 }1<x^r\\&1<x \text{ 이면 }0<x^r<1\end{split}\]

<증명> \(F(x)=x^r\) 이라 하면 정리 1에 의하여

r>0 이면 F는 강한 의미의 증가함수

r<0 이면 F는 강한 의미의 감소함수

이다. 그런데 r=p/q(p, q는 정수, q>0)이라 놓으면

\[F(x)=x^r=\sqrt[q]{x^p},\ F(1)=1\]

이므로 r>0 일 때

\[\begin{split}&0<x<1\text{ 이면 }0<F(x)<1\\&1<x\text{ 이면 }1<F(x)\end{split}\]

r<0 일 때

\[\begin{split}&0<x<1\text{ 이면 }1<F(x)\\&1<x\text{ 이면 }0<F(x)<1\end{split}\]

계 2 a를 양수, r, s를 유리수라고 하면
\[\begin{split}&a>1\text{ 일 때 }r<s\text{ 이면 }a^r<a^s\\&0<a<1\text{ 일 때 }r<s\text{ 이면 }a^r<a^s\end{split}\]

<증명> \(a^s-a^r=a^r(a^{s-r}-1),\,a^r>0,\,s-r>0\) 이므로 계 1에 의해서 a>1 일 때 \(a^{s-r}>1\).

\[\therefore\ a^s-a^r>0\text{ 곧, }a^s>s^r\]

또, 0<a<1 일 때에는 a^{a-r}<1.

\[\therefore\ a^s-a^r<0\text{ 곧, }a^s<s^r\]