상당 응력 (Von Mises Stress)

상당 응력(von Mises stress)은 종종 복합하중을 받는 정방성, 연성 금속의 항복 여부를 판단하는데 쓰인다. 상당 응력을 계산한 후 재료의 항복응력과 비교함으로서 이루어지는 데 이를 von Mises Yield Criterion(항복조건)이라 한다.

그 목적은 수직/전단 응력의 조합과 상관없이, 복합 3-D 하중 조건하에서 연성 금속의 항복 조건(yield criterion)을 전개하는데 있다. 상당 응력은 복합 응력 상태를 단일 스칼라 값으로 변환하고 이를 실험실에서 재료의 단축인장 시험으로부터 결정된 (이 역시) 단일 스칼라 값인 항복강도(yield strength)와 비교함으로써 가능케 한다.

이는 정확한 과학이라기 보다는 오차와 편차를 내재한 실험적인 과정임을 유의해야 한다. 사실 금속이 반드시 von Mises yield criterion에 따라 항복한다고 단정할 수는 없다. 하지만 처음 제안된 이후 세기에 걸처 선택할 수 있는 방법의 하나로 사용되고 있다.

역사

상당 응력의 정의는 1904년 Huber가 처음 제안하였으나 1913년 von Mises가 다시 제안할 때 까지는 그다지 주목 받지 못하였다. 그러나 Huber와 von Mises의 정의는 물리적 의미가 없는, 단지 수학적인 것 이었으나 1924년 Hencky가 편향 변형률에너지(deviatoric strain energy)와 관련이 있다는 것을 알아냈다.

1931년 Taylor와 Quinney는 구리, 알루미늄 및 연강이 1864년 Tresca가 제안한 최대 전단응력 조건(maximum shear stress criterion)보다 금속의 항복을 더 정확히 예측하는 시험 결과를 발표하였고 오늘날까지 금속 항복 예측의 최선의 방법으로 여겨지고 있다.

정수압과 편향 성분(Hydrostatic and Deviatoric Components)

응력 텐서는 정수압과 편향 응력의 합으로 다음과 같이 분해된다.

\(\sigma_{ij}={1 \over3} \delta_{ij} \sigma_{kk} + \sigma'_{ij} \)

여기서 \({1 \over3} \delta_{ij} \sigma_{kk} \)는 정수압항, \( \sigma'_{ij} \)는 편향 응력, 그리고 \(\delta_{ij} \)는 크로넥커 델타(kronecker delta)이다.

변형률의 경우도 동일하게

\(\epsilon_{ij}={1 \over3} \delta_{ij} \epsilon_{kk} + \epsilon'_{ij} \)

여기서 \({1 \over3} \delta_{ij} \epsilon_{ij} \)는 정수압항, 그리고 \( \epsilon'_{ij} \)는 편향 변형률이다.

후크의 법칙(Hooke's Law)

후크의 법칙은 다음과 같이 쓸 수 있다.

\(\epsilon_{ij}={1 \over E} [(1+\nu)\sigma_{ij}-\nu\delta_{ij}\sigma_{kk}]\)

여기서 E는 탄성계수(young's modulus), ν는 포아송 비(poisson's ratio)이다. 위의 식은 다음 식의 텐서 표기법이다.

\(\begin{bmatrix}\epsilon_{xx}&\epsilon_{xy}&\epsilon_{xz}\\\epsilon_{yx}&\epsilon_{yy}&\epsilon_{yz}\\\epsilon_{zx}&\epsilon_{zy}&\epsilon_{zz}\end{bmatrix}={1 \over E} \left\{ (1+\nu) \begin{bmatrix}\sigma_{xx}&\sigma_{xy}&\sigma_{xz}\\\sigma_{yx}&\sigma_{yy}&\sigma_{yz}\\\sigma_{zx}&\sigma_{zy}&\sigma_{zz}\end{bmatrix} -3\nu \begin{bmatrix}\sigma_H&0&0\\0&\sigma_H&0\\0&0&\sigma_H \end{bmatrix} \right\} \)

결과적으로 위의 행렬 표기식으로부터 수직 응력항은

\(\epsilon_{xx}={1\over E}[\sigma_{xx}-\nu(\sigma_{yy}+\sigma_{zz})] \)

\(\epsilon_{yy}={1\over E}[\sigma_{yy}-\nu(\sigma_{zz}+\sigma_{xx})] \)

\(\epsilon_{zz}={1\over E}[\sigma_{zz}-\nu(\sigma_{xx}+\sigma_{yy})] \)

전단 응력항은 \(2\epsilon_{ij}=\gamma_{ij}\)이고 전단 탄성계수(shear modulus)는 G=E/{2(1+ν)} 이므로

\(\gamma_{xy}=\frac{\tau_{xy}}{G},\: \gamma_{yz}=\frac{\tau_{yz}}{G},\:\gamma_{zx}=\frac{\tau_{zx}}{G}\)

다시 텐서 표기법으로 와서 양변에 \(\delta_{ij}\)를 곱하면

\(\begin{split}\delta_{ij}\epsilon_{ij}&={1\over E}[(1+\nu)\sigma_{ij}-\nu\delta_{ij}\sigma_{kk}]\delta_{kk}\\&={1\over E}[(1+\nu)\delta_{ij}\sigma_{ij}-\nu\delta_{ij}\delta_{ij}\sigma_{kk}]\\&={1\over E}[(1+\nu)\sigma_{kk}-3\nu\sigma_{kk}]\end{split}\)

정리하면

\(\epsilon_{kk}=\frac{1-2\nu}{E}\sigma_{kk}\)

다시 위의 식의 양변에 \({1 \over 3}\delta_{ij}\)를 곱하면

\({1 \over 3}\delta_{ij}\epsilon_{kk}=\frac{1-2\nu}{3E}\delta_{ij}\sigma_{kk}\)

위의 식은 정수압 응력과 변형률의 관계를 나타낸다.

이제 위의 식을 후크의 법칙 원식에서 빼주면 다음을 얻는다.

 \(\begin{split}\epsilon_{ij}-{1 \over 3}\delta_{ij}\epsilon_{kk}&={1 \over E}[(1+\nu)\sigma_{ij}-\nu\delta_{ij}\sigma_{kk}]\\&=\frac{1+\nu}{E}\left(\sigma_{ij}-{1 \over 3}\delta_{ij}\sigma_{kk}\right)\end{split}\)

양변은 모두 편향 텐서의 식이므로 다음과 같이 간략화된다.

\(\epsilon'_{ij}=\frac{1+\nu}{E}\sigma'_{ij}\)

또한, G=E/{2(1+ν)} 이므로

\(\sigma'_{ij}=2G\epsilon'_{ij}\)

따라서 편향 응력과 편향 변형률은 직접적인 비례관계가 있다. 이것은 후크의 법칙에 있어서 수직 변형률 성분에 대해서도 성립한다. 

후크의 법칙에서 편향 성분 예제 (Deviatoric Example of Hooke's Law) 포아송 비 ν=0.5와 영계수 E=15MPa의 재질이 있다고 하자. 응력 텐서가 아래와 같을 때 후크의 법칙을 사용하여 변형률 상태를 계산하라. 그 다음 편향 응력과 변형률을 구하고 2G의 비율로 서로 비례함을 보여라. \(\sigma=\begin{bmatrix}8&2&4\\2&6&6\\4&6&4\end{bmatrix}\) 이 응력 텐서는 분명히 상당량의 정수압 응력을 가지고 있다. 이 정수압 응력은 수직 응력의 평균이므로 \(\sigma_H=\begin{bmatrix}8&0&0\\0&6&0\\0&0&6\end{bmatrix}\) 후크의 법칙을 이용하면 변형률 텐서는 \(\begin{split}\epsilon&={1 \over 15}\left\{1+0.5)\begin{bmatrix}8&2&4\\2&6&6\\4&6&4\end{bmatrix}-3(0.5)\begin{bmatrix}6&0&0\\0&6&0\\0&0&6\end{bmatrix}\right\}\\&=\begin{bmatrix}0.2&0.2&0.4\\0.2&0.0&0.6\\0.4&0.6&-0.2\end{bmatrix}=\epsilon'\end{split}\) 변형률 텐서는 대각합이 '0'(traceless)이므로 편향 상태이다. 이는 ν=0.5 인 비압축성(incompressible)재질이기 때문이다. 따라서 비정수압 변형률 텐서를 결과로 얻었다. 이제 σ'=2Gε'를 증명한다. 먼저 G를 계산하면 \(G=\frac{E}{2(1+\nu)}=\frac{15}{2(1+0.5)}=5MPa\) 따라서 2Gε'를 구하면 \(2G\epsilon'=\begin{bmatrix}2&2&4\\2&0&6\\4&6&-2\end{bmatrix}\) 그리고 이것을 \(\sigma'=\sigma-\sigma_H\)와 비교하면 \(\sigma-\sigma_H=\begin{bmatrix}8&2&4\\2&6&6\\4&6&4\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}6&0&0\\0&6&0\\0&0&6\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2&2&4\\2&0&6\\4&6&-2\end{bmatrix}\) 위의 결과로부터 σ'=2Gε'이 증명되었다. 본 예제는 ν=0.5인 비압축성 재질이지만 압축성인 경우도 동일하게 적용된다.

변형률 에너지 밀도 (Strain Energy density)

변형률 에너지 밀도 W는 에너지/체적 단위이며 선형 탄성 재질은 다음과 같다.

\(W=\int\sigma:d\epsilon={1 \over 2}\sigma:\epsilon={1\over 2}[\sigma_{xx}\epsilon_{xx}+\sigma_{yy}\epsilon_{yy}+\sigma_{zz}\epsilon_{zz}+2(\sigma_{xy}\epsilon_{xy}+\sigma_{yz}\epsilon_{yz}+\sigma_{zx}\epsilon_{zx})]\)

그러나 \(\sigma=\sigma_H+\sigma'\) 그리고 \(\epsilon=\epsilon_H+\epsilon'\) 이므로 위의 식에 대입하면 \(\left(\sigma_H:\epsilon'\right)\)과 \(\left(\sigma':\epsilon_H\right)\)는 '0' 이므로

\(W={1\over 2}(\sigma_H+\sigma'):(\epsilon_H+\epsilon')={1\over 2}\sigma_H:\epsilon_H+{1\over2}\sigma':\epsilon'\)

이 식은 변형률 에너지가 정수압과 편향 성분으로 나눌 수 있음을 보여준다.

상당 응력 (Von Mises Stress)

상당 응력은 변형률 에너지의 편향 성분과 직접적인 관계가 있으며 후크의 법칙, \(\epsilon'=\frac{\sigma'}{2G}\)과 조합하면

\(W'={1\over 2}\sigma':\epsilon'=\frac{1}{4G}\sigma':\sigma'=\frac{1}{4G}\sigma^2_{\text{Rep}}\)

여기서 상당 응력과 비례할 것으로 예상되는 스칼라 응력으로 \(\sigma_{\text{Rep}}\)를 도입하였다.

마지막으로 단축 인장의 경우 응력 상태는 다음과 같다.

\(\bf{\sigma=\sigma_H+\sigma'=}\begin{bmatrix}\sigma&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{\sigma}{3}&0&0\\0&\frac{\sigma}{3}&0\\0&0&\frac{\sigma}{3}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}\frac{2\sigma}{3}&0&\\0&-\frac{\sigma}{3}&0\\0&0&-\frac{\sigma}{3}\end{bmatrix}\)

따라서 \(\sigma':\sigma'=2\sigma^2/3\) 이므로

\(\sigma_\text{Rep}=\sqrt{\sigma':\sigma'}=\sqrt{{2\over 3}\sigma}\)

단축인장 응력은 상당 응력과 동일해야 하므로 최종적으로 상당 응력을 정의할 수 있다.

\(\sigma_{\text{VM}}=\sqrt{{3\over 2}\sigma':\sigma'}\)

기타 정의 (Alternate Forms)

위의 식을 조작하면 아래와 같은 등가의 방정식을 얻을 수 있다.

\(\begin{align}\sigma_{\text{VM}}&=\sqrt{{1\over 2}\left\{(\sigma_{xx}-\sigma_{yy})^2+(\sigma_{yy}-\sigma_{zz})^2+(\sigma_{zz}-\sigma_{xx})^2+3(\tau^2_{xy}+\tau^2_{yz}+\tau^2_{zx})\right\}}\\&=\sqrt{\sigma^2_{xx}+\sigma^2_{yy}+\sigma^2_{zz}-\sigma_{xx}\sigma_{yy}-\sigma_{yy}\sigma_{zz}-\sigma_{zz}\sigma_{xx}+3(\tau^2_{xy}+\tau^2_{yz}+\tau^2_{zx})}\end{align}\)

텐서 표기법으로 쓰면

\(\sigma_{\text{VM}}=\sqrt{{2\over 3}\sigma_{ij}\sigma_{ij}-\frac{\sigma^2_{kk}}{2}}=\sqrt{{3\over 2}\sigma'_{ij}\sigma'_{ij}}\)

2-D의 경우 \(\sigma_{zz}=\tau_{xz}=\tau_{yz}=0\) 이므로

\(\sigma_{\text{VM}}=\sqrt{\sigma^2_{xx}+\sigma^2_{yy}-\sigma_{xx}\sigma_{yy}+3\tau^2_{xy}}\)

상당 응력 방정식 텐서 조작 (Tensor Manipulation of Von Mises Equation) 편향값 기반 방정식의 텐서 조작을 통하여 상당 응력의 다른 형태의 방정식을 쉽게 얻을 수 있다. 다음식으로 출발해 본다. \(\sigma_{\text{VM}}=\sqrt{{3\over 2}\sigma'_{ij}\sigma'_{ij}}\) \(\sigma'_{ij}\)를 전체 응력 텐서항으로 쓰면 \(\sigma'_{ij}=\sigma_{ij}-{1\over 3}\delta_{ij}\sigma_{kk}\) 위의 식을 첫번째 식에 대입하고 정리하면 \(\begin{align}\sigma_{\text{VM}}&=\sqrt{{3\over 2}\left(\sigma_{ij}-{1\over 3}\delta_{ij}\sigma_{kk}\right)\left(\sigma_{ij}-{1\over 3}\delta_{ij}\sigma_{kk}\right)}\\&=\sqrt{{3\over 2}\left(\sigma_{ij}\sigma{ij}-{2\over 3}\delta_{ij}\sigma_{ij}\sigma_{kk}+{1\over 9}\delta_{ij}\delta_{ij}\sigma^2_{kk}\right)}\\&=\sqrt{{3\over 2}\sigma_{ij}\sigma_{ij}-{1\over 2}\sigma^2_{kk}}\end{align}\) 위에 열거된 다른 형태의 방정식도 이 방정식을 \(\sigma_{xx},\:\sigma_{xy},\:\sigma_{zx}\) 등의 항으로 표현하면 구할 수 있다.

특이 하중 조건 (Specific Loading Cases)

단축 압축(uniaxial compression)의 경우도 압축 응력과 상당 응력을 동일하게 취급할 수 있다. 문제는 압축 응력은 음의 부호를 가지는데 상당응력은 항상 양수이다. 요컨데 상당 응력이 10MPa 이라고 하면 이것만 가지고는 인장/압축 상태를 구분할 수 없다. 이를 결정하려면 주응력을 보면 된다.

실제로 유한요소 후처리기(FEA post-processors)에서 부호를 가진 상당 응력(signed von Mises stress)의 컬러 응력 컨투어(color stress contour)를 보여 준다. 이것은 기존 상당 응력의 절대값을 가지나 정수압 응력을 확인해 +/- 부호를 결정한다. 만약 정수압이 음수이면 상당 응력도 음수인 것이다.

순수 전단(pure shear)의 경우 순수 전단 응력을 τ라 하면 위의 식에서 상당 응력은

\(\sigma_{\text{VM}}=\sqrt{3}\tau\)

따라서 금속이 단축 인장/압축 하에서 σ=±500 MPa 에서 항복한다고 하면 전단 하에서는 단지 이 값의 58% 인 τ=±290 MPa 에서 항복할 것이다.

항복면 그래프 (Graphical Representation)

아래 그림은 3-D 주응력 좌표계에서 상당 응력이 상수값을 갖는 면을 보여 준다. (이것을 소위 High-Westerguard Space라 칭한다.) 이것은 어떠한 응력 상태도 주응력 값으로 변환할 수 있고 이 그림과 같이 비교할 수 있다는 사실에 근거한 것이다. 만약 결정된 주응력 값이 원통 내에 위치하면 아직 항복 상태에 이르지 못 한 것이다. 만약 원통면 상에 있으면 항복에 이른 것이다. 그리고  원통 밖에 있다면 항복 이후이므로 탄성에 근거한 분석을 할 수 없다는 의미이다.

출처 : http://en.wikipedia.org/wiki/File:Yield_surfaces.svg 

\(\sigma_1=\sigma_2=\sigma_3\)축 방향에서 보면 원통면은 완전한 원으로 보여 진다. 이 경우 정수압 응력은 완전히 배제된다.

실험 데이터 (Experimental Data)

아래 그림은 연성 금속이 다른 조건들 보다 상당 응력 수준에서 항복한다는 실험적 근거를 보여준다. 이 그래프는 \(\sigma_1-\sigma_2\)면에서 원통면을 경사로 자른 단면이므로 타원으로 나타난다.

예외적으로 주철은 항복(실제로는 파단)이 일정 최대 주응력 조건에서 발생한다, 이것은 주철이 연성 금속보다 유리와 같은 취성(brittle) 거동을 가진다는 것을 의미한다.

 

출처 : Dowling, N.E., Mechanical Behavior of Materials, Prentice Hall, 1993.

유의할 점은 상관성(correlation)이 완벽하지 않다는 것이다. 이것은 소위 상당 응력 항복조건(von Mises Yield Criterion)이 자연 법칙은 아닌 것으로 귀결된다. 항복은 수많은 원자들의 면이 미끄러지면서 전위된 결과로 미시적인 현상이다. 그 원자 면들의 방향은 임의로 정해지는 반면에 그 결과 상당 응력 항복조건은 거시적인 것이므로 당연한 것이다. 

응력과 변형률 대조 (Contrasting Stress and Strain) 상당 응력에 대응하는 유효 변형률(effective strain)의 정의는 다음과 같다. \(\epsilon_{\text{eff}}=\sqrt{{2\over 3}\epsilon':\epsilon'}\) 여기서 계수가 3/2가 아닌 2/3인 것에 유의한다. 그 이유는 다음과 같다. 금속의 소성과 같은 비압축성 재질의 단축인장 시 변형률 텐서는 \(\epsilon=\begin{bmatrix}\epsilon&0&0\\0&-\frac{\epsilon}{2}&0\\0&0&-\frac{\epsilon}{2}\end{bmatrix}\) 이 경우 \(\epsilon:\epsilon=3\epsilon^2/2\) 이다. 따라서 이것을 \(\epsilon_{\text{eff}}\)와 동일하게 만들기 위해서는 2/3을 곱해 주어야 한다. 이것은 정방성 금속이 소성 변형에서 인장과 전단의 구별없이 응력과 변형률의 동일 곡선을 얻을 수 있게 해준다. 하지만 실제로는 금속은 항복 이후에 이방성이 증가한다.

출처 http://www.continuummechnics.org