응력 변환 (Stress Transformation)

변형률처럼 응력 텐서는 정의와 상관없이 좌표변환 또는 회전행렬의 전/후 곱을 통하여 변환(transform)할 수 있다.

2-D 응력 좌표 변환 (coordinate transforms)

좌표변환은 물체는 그대로 있고 좌표축이 회전한 경우이다. 주로 응력의 주방향(principal directions)을 찾는데 활용된다.

x, y 방향 힘의 평형은 다음과 같다.

$\begin{array}{rl}{\sigma }_{xx}A\cos \theta +{\tau }_{xy}A\sin \theta & ={\sigma }_{xx}^{\prime }A\cos \theta -{\tau }_{xy}^{\prime }A\sin \theta \\ {\tau }_{xy}A\cos \theta +{\sigma }_{yy}A\sin \theta & ={\sigma }_{xx}^{\prime }A\sin \theta +{\tau }_{xy}^{\prime }A\cos \theta \end{array}$

면적 A를 소거하고 미지수 ${\sigma }_{xx}^{\prime },{\tau }_{xy}^{\prime }$ 및 θ+90˚ 면수직응력 ${\sigma }_{yy}^{\prime }$를 구하면

$\begin{array}{rl}{\sigma }_{xx}^{\prime }& ={\sigma }_{xx}{\cos }^2\theta +{\sigma }_{yy}{\sin }^2\theta +2{\tau }_{xy}\sin \theta \cos \theta \\ {\sigma }_{yy}^{\prime }& ={\sigma }_{xx}{\sin }^2\theta +{\sigma }_{yy}{\cos }^2\theta -2{\tau }_{xy}\sin \theta \cos \theta \\ {\tau }_{xy}^{\prime }& =({\sigma }_{yy}-{\sigma }_{xx})\sin \theta \cos \theta +{\tau }_{xy}({\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta )\end{array}$

행렬 표기법으로 쓰면

$\left[\begin{array}{cc}{\sigma }_{xx}^{\prime }& {\tau }_{xy}^{\prime }\\ {\tau }_{yx}^{\prime }& {\sigma }_{yy}^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{\sigma }_{xx}& {\tau }_{xy}\\ {\tau }_{yx}& {\sigma }_{yy}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]$

앞 행렬을 Q로 쓰면 뒷 행렬은 그의 전치행렬이므로 다음과 같다.

${\mathit{\sigma }}^{\prime }=\mathbf{Q}\mathit{\sigma }{\mathbf{Q}}^T$

[예제] 응력텐서 σ가 기준좌표계에서 다음과 같을 때 좌표계가 50˚ 회전했을 때 응력 텐서 σ'는

$\begin{array}{rl}\mathit{\sigma }& =\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 3\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{cc}\cos {50}^{\circ }& \sin {50}^{\circ }\\ -\sin {50}^{\circ }& \cos {50}^{\circ }\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\cos {50}^{\circ }& -\sin {50}^{\circ }\\ \sin {50}^{\circ }& \cos {50}^{\circ }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}4.143& 0.638\\ 0.638& -0.143\end{array}\right]\end{array}$

좌표변환을 텐서표기법(tensor notation)으로 쓰면

${\sigma }_{mn}^{\prime }=Q_{mi}{Q}_{nj}{\sigma }_{ij}$

3-D 응력 좌표 변환 (coordinate transforms)

좌표축이 추가되었을뿐 원칙은 2-D와 동일하다.

${\mathit{\sigma }}^{\prime }=\mathbf{Q}\mathit{\sigma }{\mathbf{Q}}^T{\sigma }_{mn}^{\prime }=Q_{mi}{Q}_{nj}{\sigma }_{ij}{Q}_{ij}=\cos (x_i^{\prime },x_j)$

행렬을 풀어 쓰면

$\left[\begin{array}{ccc}{\sigma }_{xx}^{\prime }& {\tau }_{xy}^{\prime }& {\tau }_{xz}^{\prime }\\ {\tau }_{yx}^{\prime }& {\sigma }_{yy}^{\prime }& {\tau }_{yz}^{\prime }\\ {\tau }_{zx}^{\prime }& {\tau }_{zy}^{\prime }& {\sigma }_{zz}^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{Q}_{11}& Q_{12}& Q_{13}\\ Q_{21}& Q_{22}& Q_{23}\\ Q_{31}& Q_{32}& Q_{33}\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}{\sigma }_{xx}& {\tau }_{xy}& {\tau }_{xz}\\ {\tau }_{yz}& {\sigma }_{yy}& {\tau }_{yz}\\ {\tau }_{zx}& {\tau }_{zy}& {\tau }_{zz}\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}{Q}_{11}& Q_{21}& Q_{31}\\ Q_{12}& Q_{22}& Q_{32}\\ Q_{13}& Q_{23}& Q_{33}\end{array}\right]$

회전 변환 (Rotations)

회전 변환은 좌표축을 유지하면서 물체를 회전한 경우이다. 회전 행렬 R은 극좌표 분해(polar decomposition)로부터 계산된다.

응력텐서의 회전은

${\mathit{\sigma }}^{\prime }=\mathbf{R}\mathit{\sigma }{\mathbf{R}}^T$

2-D에서 회전행렬은 변환행렬의 전치($\mathbf{R}={\mathbf{Q}}^T$)이므로 각도 θ 만큼 강체 회전의 경우

$\left[\begin{array}{cc}{\sigma }_{xx}^{\prime }& {\tau }_{xy}^{\prime }\\ {\tau }_{yx}^{\prime }& {\sigma }_{yy}^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{\sigma }_{xx}& {\tau }_{xy}\\ {\tau }_{yx}& {\sigma }_{yy}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]$

변환 후 각 응력성분을 풀어 쓰면

$\begin{array}{rl}{\sigma }_{xx}^{\prime }& ={\sigma }_{xx}{\cos }^2\theta +{\sigma }_{yy}{\sin }^2\theta -2{\tau }_{xy}\sin \theta \cos \theta \\ {\sigma }_{yy}^{\prime }& ={\sigma }_{xx}{\sin }^2\theta +{\sigma }_{yy}{\cos }^2\theta +2{\tau }_{xy}\sin \theta \cos \theta \\ {\tau }_{xy}^{\prime }& =({\sigma }_{xx}-{\sigma }_{yy})\sin \theta \cos \theta +{\tau }_{xy}({\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta )\end{array}$

3-D에서는

$\left[\begin{array}{ccc}{\sigma }_{xx}^{\prime }& {\tau }_{xy}^{\prime }& {\tau }_{xz}^{\prime }\\ {\tau }_{yx}^{\prime }& {\sigma }_{yy}^{\prime }& {\tau }_{yz}^{\prime }\\ {\tau }_{zx}^{\prime }& {\tau }_{zy}^{\prime }& {\sigma }_{zz}^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{R}_{11}& R_{12}& R_{13}\\ R_{21}& R_{22}& R_{23}\\ R_{31}& R_{32}& R_{33}\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}{\sigma }_{xx}& {\tau }_{xy}& {\tau }_{xz}\\ {\tau }_{yz}& {\sigma }_{yy}& {\tau }_{yz}\\ {\tau }_{zx}& {\tau }_{zy}& {\tau }_{zz}\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}{R}_{11}& R_{21}& R_{31}\\ R_{12}& R_{22}& R_{32}\\ R_{13}& R_{23}& R_{33}\end{array}\right]$

[예제] 위의 좌표계 변환 예제를 이번에는 각도 50˚의 강체회전에 적용한다.

${\mathit{\sigma }}^{\prime }=\left[\begin{array}{cc}\cos {50}^{\circ }& -\sin {50}^{\circ }\\ \sin {50}^{\circ }& \cos {50}^{\circ }\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\cos {50}^{\circ }& \sin {50}^{\circ }\\ -\sin {50}^{\circ }& \cos {50}^{\circ }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0.204& -1.332\\ -1.332& 3.796\end{array}\right]$

좌표 및 회전 역변환 (Transforming and rotating back)

좌표 변환식 양변의 앞에 ${\mathbf{Q}}^T$, 뒤에 $\mathbf{Q}$를 곱하면 ${\mathbf{Q}}^T={\mathbf{Q}}^{-1}$ 이므로

${\mathbf{Q}}^T{\mathit{\sigma }}^{\prime }\mathbf{Q}={\mathbf{Q}}^T\mathbf{Q}\mathit{\sigma }{\mathbf{Q}}^T\mathbf{Q}=\mathit{\sigma }$ 

같은 방법으로 물체가 회전 후 원래 각도로 복귀하는 변환은

$\mathit{\sigma }={\mathbf{R}}^T{\mathit{\sigma }}^{\prime }\mathbf{R}$

출처 http://www.continuummechanics.org