처짐곡선의 미분 방정식 -보의 처짐 (Differential Equation of Beam Deflection Curve)

개요 (Introduction)

보(beam)가 하중을 받으면 초기의 직선 종축이 곡선으로 변하게 되는데, 이것을 보의 처짐곡선(deflection curve)이라 한다. 처짐의 계산은 부정정보(statically indeterminate beams)의 해석에 있어서 필수적이다. 더우기 때로는 처짐이 최대 허용치를 초과하지 않는지 검증하기 위해 반드시 계산되어야 한다. 이러한 경우는 건물의 설계에서 발생할 수 있는데, 통상 처짐이 크게 되면 외관불량 및 구조물의 지나친 유연성을 유발하므로 처짐의 상한이 존재하게 된다.

처짐곡선의 미분 방정식 (Differential Equations Of The Deflection Curve)

처짐곡선의 일반적인 방정식을 얻기 위하여, 위의 그림과 같은 외팔보를 생각한다. 원점으로부터 거리 x점에서 보의 처짐(deflection) v는 x축으로부터 처짐곡선까지 측정되는 y 방향의 변위이다. v가 x의 함수로 표현될 때, 우리는 처짐곡선의 방정식을 얻게 된다.

보의 임의의 점에서의 축의 회전각도(angle of orientation) θ는 x축과 처짐곡선의 접선 사이의 각도이다.

이제 처짐곡선 상의 미소거리 ds 만큼 떨어져 있고, 원점에서 x+dx의 거리에 있는 점을 생각하자. 이 점의 처짐은 v+dv 이고, 여기서 dv는 ds 만큼 이동할 때의 처짐증분(increment in deflection) 이다. 회전각도 또한 θ+dθ로 되면, dθ는 회전각도 증분이다.

처짐곡선의 기울기(slope)는 미적분학에서 아는바와 같이 1차도함수 dv/dx 이다. 위의 그림에서 보는바와 같이 기울기는 dx가 미소하므로 회전각도 θ의 탄젠트와 같다. 또한 θ가 미소량이면 tanθ≒θ 이므로, 다음과 같이 근사할 수 있다.

\[\theta=\text{Tan}^{-1}{dv\over dx}\approx\tan\theta={dv\over dx}\]

대부분의 보는 하중을 받을 때 단지 미소한 회전을 경험하므로 처짐곡선은 매우 평편하여 극히 작은 곡률을 갖는다. 이러한 조건하에 각도 θ는 매우 작은값이므로 cosθ≒1 이다. 따라서, 위의 그림으로부터 다음 근사식을 얻는다.

\[ds={dx\over\cos\theta}\approx dx\]

한편 위의 미소요소 ds 양끝단에서 처짐곡선 접선에 수직한 선분을 그릴 수 있다. 이 수직선들의 교점은 곡률중심(center of curvature) O'에 위치하며, O'로부터 곡선까지의 거리를 곡률반경(radius of curvature) ρ라 한다. 곡률과 굽힘모멘트의 부호규약(sign convention)은 아래 그림과 같다. 양(+)의 곡률은 양의 dθ/ds 값에 해당하고, 이것은 양의 x방향으로 보를 따라 이동할 때 각도 θ가 증가함을 의미한다.

앞의 그림에서 알 수 있듯이 ρdθ=ds 이고, 위의 두 근사식으로부터

\[\kappa={1\over\rho}={d\theta\over ds}\approx{d\theta\over dx}={d^2v\over dx^2}\]

이 방정식은 보의 처짐 v와 곡률 간의 관계식이다. 이것은 회전이 미소하면 어떤 재질의 보에도 유효하다. 만약 그 재질이 선형탄성(linear elastic)이고 후크의 법칙(Hooke's law)를 따르면, 그 곡률은(보의 응력 참조) :

\[\kappa=-{M\over EI}\]

여기서 M은 굽힘모멘트이고 EI는 보의 굽힘강성계수(flexural rigidity) 이다. 이 방정식은 미소회전뿐만 아니라 회전이 큰 경우에도 유효하다는 점에 유의한다. 미소회전으로 제한된 앞의 식과 결합하면

\[\frac{d^2v}{dx^2}=-{M\over EI}\]

이것이 보의 처짐곡선의 기본 미분방정식이다. 굽힘모멘트 M을 알고 있으면 회전각도 θ와 첨짐 v를 구하기 위해 아 방정식을 각각의 특별한 경우에 적용할 수 있다.

이 방정식을 x에 관하여 미분하고 방정식 q=-dV/dx와 V=dM/dx를 대입하면 다음식을 얻는다(전단력과 굽힘모멘트 참조) :

\[\begin{split}&\frac{d^3v}{dx^3}=-{V\over EI}\\&\frac{d^4v}{dx^4}={q\over EI}\end{split}\]

여기서 V는 전단력이고 q는 분포하중의 강도이다. 처짐 v는 위의 방정식 중에서 수학적 편의성에 따라 하나를 택하여 구해질 수 있다.

단순화를 위해 위에 주어진 미분방정식들을 프라임(prime)을 이용하여 표현하면:

\[EIv''=-M\qquad EIv'''=-V\qquad EIv^{(4)}=q\]

이 방정식들의 유도과정으로부터 재질에 후크의 법칙이 적용되고 처짐의 기울기가 미소할 때만 이 식들이 유효하다는 것을 보았다. 또한 이 방정식들은 전단변형이 무시된 순수굽힘(pure bending)을 고려하여 유도된 것임을 알아야 한다. 이러한 한계점으로 인해 때로는 전단효과(shear effect)에 따른 추가변형을 고려해야 하지만 대분분의 실제 목적을 위해서는 만족스러운 결과를 준다.