기계공학 (Mechanical Engineering)

정의 1 함수 \(f\)가 점 \(c\)를 품은 개구간 에서 정의되어 있을 때, 충분히 작은 양수 \(\delta\)에 대하여, \(c\)의 \(\delta\) 근방 \((c-\delta,\,c+\delta)\)에서 \[f(x)<f(c)\ (f(x)>f(c))\] 이면, \(f\)는 \(x=c\)에서 극대(극소)가 된다고 하면 \(f(x)\)를 극대치 (極大値)( 극소치 (極小値))라 한다. 또한, 극대치와 극소치를 합쳐서 극치 (極値)라 한다. 정리 1 \(f\)는 \(c\)를 품는 개구간에서  미분가능 이라 하자. (1) \(f\)가 \(c\)에서 극치를 갖는다면, \(f'(c)=0\) 이다. (2) 적당한 양수 \(\delta\)에 대하여, \(c\)의 근방 \((c-\delta,\,c+\delta)\)에서 \[\begin{split}&c-\delta<x<c\ \text{일 때}\ f'(x)>0\ (f'(x)<0)\\&c<x<c+\delta\ \text{일 때}\ f'(x)<0\ (f'(x)>0)\end{split}\]이면, \(f\)는 \(c\)에서 극대(극소)가 된다. < 증명 > (1) \(f'(c)>0\) 이면, \(c\)에서 \(f\)는 증가상태, \(f'(c)<0\) 이면 \(c\)에서 \(f\)는 감소상태이므로 ( 「평균치의 정리와 그 응용」 정리 1), \(f\)는 \(c\)에서 극치를 가질 수 없다. 따라서, \(f\)가 \(c\)에서 극치를 갖는다면, \(f'(c)=0\) 이어야 한다. (2) \(f(x)\)는 \((c-\delta,\,c]\)에서 연속 이고, \((c-\delta,\,c)\)에서 \(f'(x)>0\) 이므로, 「평균치의 정리와 그 응용」 정리 5에 의해, \(f\)는 \((c-\delta,\,c]\)에서 ...

1. 다음 적분 을 계산하여라. \((1)\ \displaystyle\int\sqrt{3x+1}dx={2\over9}(3x+1)^{3\over2}\) \((2)\ \displaystyle\int x(x^2-2)^2dx=\frac{(x^2-2)^3}{6}\) \((3)\ \displaystyle\int(x^2-2)^2dx=\int(x^4-2x^2+4)dx={x^5\over5}-{2\over3}x^3+4x\) \((4)\ \displaystyle\int\frac{dx}{5-2x}=-\frac{\ln|5-2x|}{2}\) \((5)\ \displaystyle\int\frac{\sqrt{x}}{1+x\sqrt{x}}dx={2\over3}\int\frac{dt}{1+t}={2\over3}\ln(1+t)={2\over3}\ln\left(1+x^{3\over2}\right)\) \((6)\ \displaystyle\int\left(1-{1\over z}\right)^2\frac{dz}{z^2}=-\int(1-t)^2dt=\frac{(1-t)^3}{3}={1\over3}\left(1-{1\over z}\right)^3\) 2. 다음 적분을 계산하여라. \((1)\ \displaystyle\int\frac{\cos3x}{\sin3x}dx={1\over3}\int\frac{d(\sin3x)}{\sin3x}=\frac{\ln|\sin3x|}{3}\) \((2)\ \displaystyle\int2\sqrt{7t-13}dt={4\over21}(7t-13)^{3/2}\) \((3)\ \displaystyle\int(\ln{x}+1)e^{x\ln{x}}dx=\int(\ln{x}+1)x^xdx=\int dt=t=x^x\) \((4)\ \displaystyle\int\frac{5x-1}{5x^2-2x+1}dx={1\over2}\int\frac{(5x^2-2x+1)'}{5x^2-2x+1}dx=\frac{\ln(5x^2-2x+1)}{2}\) \((5)\ \displaystyle\i...