극대ㆍ극소와 최대ㆍ최소

정의 1 함수 \(f\)가 점 \(c\)를 품은 개구간에서 정의되어 있을 때, 충분히 작은 양수 \(\delta\)에 대하여, \(c\)의 \(\delta\) 근방 \((c-\delta,\,c+\delta)\)에서

\[f(x)<f(c)\ (f(x)>f(c))\]

이면, \(f\)는 \(x=c\)에서 극대(극소)가 된다고 하면 \(f(x)\)를 극대치(極大値)(극소치(極小値))라 한다. 또한, 극대치와 극소치를 합쳐서 극치(極値)라 한다.

정리 1 \(f\)는 \(c\)를 품는 개구간에서 미분가능이라 하자. (1) \(f\)가 \(c\)에서 극치를 갖는다면, \(f'(c)=0\) 이다. (2) 적당한 양수 \(\delta\)에 대하여, \(c\)의 근방 \((c-\delta,\,c+\delta)\)에서 \[\begin{split}&c-\delta<x<c\ \text{일 때}\ f'(x)>0\ (f'(x)<0)\\&c<x<c+\delta\ \text{일 때}\ f'(x)<0\ (f'(x)>0)\end{split}\]이면, \(f\)는 \(c\)에서 극대(극소)가 된다.

<증명> (1) \(f'(c)>0\) 이면, \(c\)에서 \(f\)는 증가상태, \(f'(c)<0\) 이면 \(c\)에서 \(f\)는 감소상태이므로 (「평균치의 정리와 그 응용」 정리 1), \(f\)는 \(c\)에서 극치를 가질 수 없다. 따라서, \(f\)가 \(c\)에서 극치를 갖는다면, \(f'(c)=0\) 이어야 한다.

(2) \(f(x)\)는 \((c-\delta,\,c]\)에서 연속이고, \((c-\delta,\,c)\)에서 \(f'(x)>0\) 이므로, 「평균치의 정리와 그 응용」 정리 5에 의해, \(f\)는 \((c-\delta,\,c]\)에서 단조증가이고, \(f(c)\)는 \((c-\delta,\,c]\)에서 최대치이다. 따라서 \(f(c)\)는 \((c-\delta,\,c+\delta)\)에서 \(f\)의 극대치이다.

극소인 경우도 마찬가지로 증명할 수 있다.

[예제 1] \(f(x)=\displaystyle{1\over27}x^2(5-2x)^3\)의 극치를 구하여라.

<풀이> \(f'(x)=\dfrac{10}{27}x(1-x)(5-2x)^2\) 이므로, \(f'(x)=0\)인 점은

\[x=0,\,x=1,\,x={5\over2}\]

이다. \(f'(x)\)의 부호에 의한 \(f(x)\)의 변화를 조사하면 다음과 같다.

\(x\)	\(\qquad\ 0\qquad\ 1\qquad5/2\)
\(f'(x)\)	\(\ \ -\ \ 0\ \ +\ \ 0\ \ -\ \ 0\ -\ \ \)
\(f(x)\)	\(\ \ ↘\ 0\ ↗\  1\  ↘\ \ 0\ ↘\)

따라서, \(f\)는 \(x=0\)에서 극소치 \(f(0)=0,\,x=1\)에서 극대치 \(f(1)=1\)을 갖는다.

[주의] \(f'(5/2)=0\) 이지만, \(x=5/2\)에서 극치를 갖지 않는다.

[예제 2] \(\displaystyle g(x)={1\over3}x^{2\over3}(5-2x)\)의 극치를 구하여라.

<풀이> \(g'(x)=\dfrac{10(1-x)}{9x^{1\over3}}\ (x\ne0)\) 이므로 \(g'(x)=0\)인 점은 \(x=1\) 이다.

\(g'(x)\)의 부호에 의해 \(g(x)\)의 변화를 조사하면 다음과 같다.

\(x\)	\(\ \ \qquad\quad0\qquad\quad1\ \)
\(g'(x)\)	\(\ \quad-\ \ \,△\ \ +\ \ \ 0\quad\ -\)
\(g(x)\)	\(\quad\ ↘\ \ \ 0\ \ \ ↗\  \ 1\  \ \ ↘\)

따라서, \(g\)는 \(x=0\)에서 극소치 \(g(0)=0,\,x=1\)에서 극대치 \(g(1)=1\)을 갖는다.

정리 2 함수 \(f\)가 점 \(c\) 근방에서 \(n-1\)회 미분가능이며, \(f^{(n)}(x)\)는 \(x=c\)에서 연속이라 한다. 만일 \[f'(c)=f''(c)=\cdots=f^{(n-1)}(c)=0,\,f^{(n)}(c)\ne0\]이라 하자. (1) \(n\)이 홀수일 때\[\begin{align}&f^{(n)}(c)>0\ \text{이면}\ f\text{는}\ c\text{에서 증가상태에 있다.}\\&f^{(n)}(c)<0\ \text{이면}\ f\text{는}\ c\text{에서 감소상태에 있다.}\end{align}\](2) \(n\)이 짝수일 때\[\begin{align}&f^{(n)}(c)>0\ \text{이면}\ f\text{는}\ c\text{에서 극소가 된다.}\\&f^{(n)}(c)<0\ \text{이면}\ f\text{는}\ c\text{에서 극대가 된다.}\end{align}\]

<증명> 점 \(c\)의 근방의 점 \(x\)를 잡아 \(x-c=h\) 즉, \(x=c+h\)라 두면, Taylor의 정리에 의해

\[f(c+h)-f(c)=\frac{h^n}{n!}f^{(n)}(c+\theta h),\,0<\theta<1\]

이다. 한편 \(f^{(n)}(x)\)는 연속이므로, \(c\)의 적당한 근방 \((c-\delta,\,c+\delta)\)내에서 \(f^{(n)}(x)\)와 \(f^{(n)}(c)\)는 동부호가 되게 할 수 있다(「연속함수의 성질」 문제 6). 따라서 이 구간에서

(1) \(n\)이 홀수일 때, \(h^n\)의 부호는 \(h\)의 부호와 같아서 \(f^{(n)}(c)>0\) 이면 \(f^{(n)}(c+\theta h)>0\) 이므로

\[\begin{split}&h<0\ \text{이면}\ f(c+h)-f(c)<0\\&h>0\ \text{이면}\ f(c+h)-f(c)>0\end{split}\]

또한 \(f^{(n)}(c)<0\) 이면 \(f^{(n)}(c+\theta h)<0\) 이므로

\[\begin{split}&h<0\ \text{이면}\ f(c+h)-f(c)>0\\&h>0\ \text{이면}\ f(c+h)-f(c)<0\end{split}\]

따라서, \(n\)이 홀수일 때

\[\begin{split}&f^{(n)}(c)>0\ \text{이면}\ f\text{는}\ c\text{에서 증가상태에 있고,}\\&f^{(n)}(c)<0\ \text{이면}\ f\text{는}\ c\text{에서 감소상태에 있다.}\end{split}\]

(2) \(n\)이 짝수일 때는, \(h^n\)은 항상 양이다. 그리고 \(f^{(n)}(c)>0\) 이면, \(f^{(n)}(c+\theta h)>0\) 이므로 \(h\)의 부호에 관계없이

\[f(c+h)-f(c)>0\]

\(f^{(n)}(c)<0\) 이면, \(f^{(n)}(c+\theta h)<0\) 이므로 \(h\)의 부호에 관계없이

\[f(c+h)-f(c)<0\]

따라서, \(n\)이 짝수이면

\[\begin{align}&f^{(n)}(c)>0\ \text{일 때}\ f\text{는}\ c\text{에서 극소이고,}\\&f^{(n)}(c)<0\ \text{일 때}\ f\text{는}\ c\text{에서 극대이다.}\end{align}\]

[예제 3] \(f(x)=x^3-3x^2-45x+21\)의 극치를 구하여라.

<풀이> \(f'(x)=2(x+3)(x-5).\ f''(x)=6(x-1)\) 이다.

\(f'(-3)=0,\,f''(-3)=-24<0\) 이므로, \(f\)는 \(x=-3\)에서 극대치 \(f(-3)=102\)를 갖는다.

\(f'(5)=0,\,f''(5)=24>0\) 이므로, \(f\)는 \(x=5\)에서 극소치 \(f(5)=-154\)를 갖는다.

[예제 4] 아래 그림과 같이 반경 \(r\)인 원에 내접하는 장방형의 면적이 최대가 되는 것을 구하여라.

<풀이> 장방형의 두 변을 \(x,\,y\), 그 면적은 \(S\)라 하면

\[(1)\ x^2+y^2=4r^2,\qquad(2)\ S=xy\]

\(y>0\) 이므로, (1) 에서 \(y=\sqrt{4r^2-x^2}\). 그러므로 (2)로부터

\[S(x)=x\sqrt{4r^2-x^2}.\]

\(S\)는 \(0<x<2r\)에서 정의되고 미분가능하다. 따라서

\[S'(x)=\frac{2(2r^2-x^2)}{\sqrt{4r^2-x^2}}\]

이므로, \(x=\sqrt{2}r\)에서 \(S'(x)=0\) 이다. 그런데

\[\begin{align}&0<x<\sqrt{2}r\ \ \,\text{이면}\ S'(x)>0\\&\sqrt{2}r<x<2r\ \text{이면}\ S'(x)<0\end{align}\]

이므로, \(S\)는 \(x=\sqrt{2}r\)에서 최대가 된다. 이 때 \(y=\sqrt{4r^2-x^2}=\sqrt{2}r.\)

따라서, 면적이 최대가 되는 것은 한변의 길이가 \(\sqrt{2}r\)인 정방형이다.

《문      제》

1. 다음 함수의 극치 및 최대ㆍ최소치를 구하여라.

(1) \(f(x)=x^3+x^2-x-1\)              (2) \(f(x)=|x^3+x^2-x-1|\ (x\ge0)\)

(3) \(f(x)=\begin{cases}&x+\dfrac{1}{x}\ (x\ne0)\\&0\qquad\ \ (x=0)\end{cases}\)        (4) \(y^3=2x^2+1\)

(5) \(f(x)=x-[x]\)                            (6) \(f(x)=3x+4\sqrt{25-x^2}\)

<풀이>

(1) \(f'(x)=(3x-1)(x+1)\) 이므로 \(x=1/3,\,-1\)에서 \(f'(x)=0\) 이다.

\(x\)	\(\ \ \qquad\ -1\qquad\quad\ 1/3\ \)
\(f'(x)\)	\(\ \quad+\quad\ \ 0\ \ \ \ -\quad\ \ 0\quad\ \ \ \ +\)
\(f(x)\)	\(\quad\ ↗\quad\ 0\ \ \ ↘-32/27\  ↗\)

따라서, 극대치 \(f(-1)=0\), 극소치 \(f(1/3)=-32/27\) 이며, 최대, 최소치는 없다.

(2) \(f(x)=|(x+1)^2(x-1)|\). 따라서, \(0\le x<1\) 이면 \(f(x)=(x+1)^2(1-x)\) 이므로 \(f'(x)=(x+1)(1-3x)\) 이다. 또한, \(x>1\) 이면 \(f(x)=(x+1)^2(x-1)\) 이므로 \(f'(x)=(x+1)(3x-1)\) 이다. 그러므로 \(f'(x)=0\) 인 점은 \(x=1/3\) 이다.

\(x\)	\(\quad0\ \qquad\quad\  1/3\qquad\quad\ 1\ \)
\(f'(x)\)	\(\quad1\ \quad+\quad\ \ 0\quad\ -\quad\,△\quad\ +\)
\(f(x)\)	\(\quad1\quad\ ↗\ 32/27\ ↘\ \ \ \,0\ \ \ ↗\)

따라서, 극대치 \(f(1/3)=32/27\), 극소치와 최소치 \(f(1)=0\) 이며, 최대치는 없다.

(3) \(x\ne0\) 이면 \(f'(x)=\dfrac{(x+1)(x-1)}{x^2}\) 이므로 \(x=\pm1\)에서 \(f'(x)=0\) 이다.

\(x\)	\(\qquad-1\ \qquad\quad\,0\qquad\quad\ \,1\ \)
\(f'(x)\)	\(\quad+\quad0\quad-\quad△\quad-\quad0\ \ \ +\)
\(f(x)\)	\(\ \ ↗-2\ \ \ \ ↘\ \ \ 0\quad\ ↘\ \ \,2\ ↗\)

따라서, 극대치 \(f(-1)=-2\), 극소치 \(f(1)=2\) 이며, 최대, 최소치는 없다.