부분적분법
정리 1 \[\int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx\cdots(1)\] <증명> 적(積)의 미분법 으로부터 다음 관계식이 성립한다. \[\begin{split}&\{f(x)g(x)\}'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\\&f(x)g'(x)=\{f(x)g(x)\}'-f'(x)g(x)\end{split}\] 양변을 적분 하면 \[\begin{split}\int f(x)g'(x)dx&=\int\{f(x)g(x)\}'dx-\int f'(x)g(x)dx\\&=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx\end{split}\] 이 공식을 부분적분법 의 공식이라 한다. 특히 \(g(x)=1\) 일 때는 다음과 같이 된다. \[\int f(x)dx=xf(x)-\int xf'(x)dx\cdots(2)\] 먼저, 공식 (1)을 이용하여 다음 적분을 계산해 본다. \[\int x\cos{x}dx=x\sin{x}-\int\sin{x}dx=x\sin{x}+\cos{x}\] 다음 적분은 공식 (2)를 이용하여 계산해 본다. \[\int\ln{x}dx=x\ln{x}-\int dx=x\ln{x}-x\] [예제 1] 다음 함수 를 적분하여라. \((1)\ x\sin{x}\qquad(2)\ xe^x\qquad(3)\ x{\rm Tan}^{-1}x\qquad(4)\ x^2e^x\qquad(5)\ {\rm Tan}^{-1}x\qquad(6)\ x{\rm Sin}^{-1}x\) \((7)\ x\ln{x}\) <풀이> \(\displaystyle(1)\ \int x\sin{x}dx=-x\cos{x}+\int\cos{x}dx=-x\cos{x}+\sin{x}\) \(\displaystyle(2)\ \int xe^xdx=xe^x-\int e^xdx=xe^x-e^x\)...