Schwarz의 부등식

[예제] \(f(x)\)와 \(g(x)\)는 구간 \([a,\,b]\)에서 연속이라 한다. 다음 Schwarz의 부등식을 증명하여라.

\[\left\{\int_a^bf(x)g(x)dx\right\}^2\le\int_a^b\{f(x)\}^2dx\int_a^b\{g(x)\}^2dx\]

<풀이> \(t\)를 임의의 상수라 하면 \(\{tf(x)+g(x)\}^2\ge0\) 이다. 따라서 「정적분」정리 4에 의해서

\[\begin{gather}\int_a^b\{tf(x)+g(x)\}^2dx\ge0\\\therefore\ t^2\int_a^b\{f(x)\}^2dx+2t\int_a^bf(x)g(x)dx+\int_a^b\{g(x)\}^2dx\ge0\end{gather}\]

이 부증식의 좌변을 \(t\)에 관한 이차식으로 보면, 그 판별식 \(D\)는 \(D\le0\)를 만족한다. 즉

\[D=\left\{\int_a^bf(x)g(x)dx\right\}^2-\int_a^b\{f(x)\}^2dx\int_a^b\{g(x)\}^2dx\le0\]

따라서 Schwarz의 부등식이 성립한다.