변형구배 (Deformation Gradient)

개요 (Introduction)

변형구배는 응력을 유발시키는 변형(deformation)으로부터 병진(translation) 및 회전(rotation)의 강체 운동(rigid body motion)을 분리하는데 쓰인다.

연속체 역학(continuum mechanics)의 규약에 따라 벡터 X는 변형전 초기 상태(undeformed reference configuration)를 그리고 x는 변형 후 현재 상태(deformed current configuration)를 정의한다.

변형구배 (Deformation Gradient)

변형구배 F는 변형후 x 벡터 각 성분의 초기 X 벡터 각 성분에 대한 도함수이다. x=x(X) 로 두면

$$F_{ij}=x_{i,j}=\frac{\partial x_i}{\partial X_j}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\partial x_1}{\partial X_1}& \frac{\partial x_1}{\partial X_2}& \frac{\partial x_1}{\partial X_3}\\ \frac{\partial x_2}{\partial X_1}& \frac{\partial x_2}{\partial X_2}& \frac{\partial x_2}{\partial X_3}\\ \frac{\partial x_3}{\partial X_1}& \frac{\partial x_3}{\partial X_2}& \frac{\partial x_3}{\partial X_3}\end{array}\right]$$

임의의 점의 변위 u는 다음과 같이 정의할 수 있다.

$$\mathbf{u}=\mathbf{x}-\mathbf{X}$$

위의 식으로부터 x=X+u 이므로

$$\mathbf{F}=\frac{\partial }{\partial \mathbf{X}}(\mathbf{X}+\mathbf{u})=\frac{\partial \mathbf{X}}{\partial \mathbf{X}}+\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial \mathbf{X}}=\mathbf{I}+\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial \mathbf{X}}$$

텐서 표기법으로 쓰면

$$F_{ij}={\delta }_{ij}+u_{i,j}$$

강체 변위 (Rigid Body Displacement)

강체 변위의 예는 다음과 같다.

$$\begin{array}{rl}& x=X+5\\ & y=Y+2\end{array}$$

이 경우는, F=I 이고 변형이 없음을 의미한다. 이것은 또한 회전도 없음을 나타낸다. 명백히 강체 변위는 변형구배를 수반하지 않는다. 이 사실은 응력, 변형률에 기여하지 않으므로 당연한 것이다.

강체 회전 (Rigid Body Rotations)

강체 회전의 예는 다음과 같다.

$$\begin{array}{rl}& x=X\cos \theta -Y\sin \theta \\ & y=X\sin \theta +Y\cos \theta \end{array}$$

이 방정식은 물체를 z축을 중심으로 반시계 방향으로 회전시킨다. 이 경우 F는

$$\mathbf{F}=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]$$

회전은 변형이 존재하지 않지만 F의 값은 더이상 I가 아니다. 이것은 강체 회전이 변형과 변형률을 수반하는 것으로 잘못 해석될 수 있다. 이는 유한변형 역학(finite deformation mechanics)을 복잡하게 만드는 주된 요소이다. 회전(rotation)과 변형(deformation)이 같이 존재할 때는 이를 더욱 어렵게 만든다.

단순 변형 (Simple Deformation)

경우 1 - 신장 (Case 1 - Stretching)

x와 y 방향 늘음을 생각한다. 이 경우 아래 식은 x 방향으로는 100%, y 방향은 50%의 연신율을 나타낸다.

$$\begin{array}{rl}& x=2X\\ & y=1.5Y\end{array}$$

변형구배는

$$\mathbf{F}=\left[\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 1.5\end{array}\right]$$

모든 비대각(off-diagonal) 성분은 영이라는 사실에 주목한다. $F_{11}$은 x 방향 신장을 나타내고, \(F_{22})는 y 방향 신장을 나타낸다.

경우 2 - 전단 (회전 수반) (Case 2 - Shear) (with Rotation)

아래 식은 위의 그림과 같은 정사각형의 전단을 나타낸다.

$$\begin{array}{rl}& x=X\\ & y=0..5X+Y\end{array}$$

변형구배는

$$\mathbf{F}=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0.5& 1\end{array}\right]$$

영이 아닌 비대각(off-diagonal) 값으로부터 전단임을 알 수 있다. 또한 그림으로부터 사각형은 반시계 방향으로 회전하려는 경향을 보여준다. 이것은 변형구배에 반영되어 행열 성분이 비대칭임을 알 수 있다.

경우 3 - 순수전단 (Case 3 - Pure Shear)

아래 식은 회전 없는 정사각형의 전단을 나타낸다.

$$\begin{array}{rl}& x=X+0.5Y\\ & y=0.5X+Y\end{array}$$

변형구배는

$$\mathbf{F}=\left[\begin{array}{cc}1& 0.5\\ 0.5& 1\end{array}\right]$$

영이 아닌 비대각(off-diagonal) 값은 전단이 존재함을 의미한다. F가 대칭이라는 사실은 회전이 수반되지 않음을 반영한다. 순(純) 회전이 영이라는 것은 동시에 사각형의 우하단은 시계 반대방향으로, 좌상단은 시계 방향으로 회전하려는 경향이 있다는 것으로부터 알 수 있다.

일반 변형 (General Deformation)

어느 물체가 정사각형에서 위의 그림과 같이 변형되었다고 생각하자. 이를 위한 식은 다음과 같고

$$\begin{array}{rl}& x=1.3X-0.375Y\\ & y=0.75X+0.65Y\end{array}$$

해당 변형구배는

$$\mathbf{F}=\left[\begin{array}{cc}1.3& -0.375\\ 0.75& 0.65\end{array}\right]$$

이 물체는 분명히 신장(stretched) 및 회전(rotated)되었다. 하지만 회전은 응력에 기여하지 않지만 변형은 기여한다. 따라서 응력과 변형 상태를 결정하기 위해서는 F로부터 두 거동을 분리하지 않으면 안된다.

극좌표 분해(polar decomposition)를 쓰면 이를 행할 수 있으나 여기서는 이해를 위해 다음 두 과정을 거친다.

첫 단계는 x 방향으로 50%를 신장시키고, y 방향으로 25%를 압축시킨다. 이는 X 기준 좌표계로부터 x' 중간 좌표계로의 변환식으로 표현된다.

$$\begin{array}{rl}& x^{\prime }=1.5X\\ & y^{\prime }=0.75Y\end{array}$$

두번째 단계는 이 x'에 대한 표현식을 최종 x 좌표계로 회전시키는 것이다.

$$\begin{array}{rl}& x=x^{\prime }\cos {30}^{\circ }-y^{\prime }\sin {30}^{\circ }=1.3X-0.375Y\\ & y=x^{\prime }\sin {30}^{\circ }+y^{\prime }\cos {30}^{\circ }=0.75X+0.65Y\end{array}$$

행열 표기법으로는

$$\left\{\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right\}=\left[\begin{array}{cc}0.866& -0.5\\ 0.5& 0.866\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1.5& 0\\ 0& 0.75\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}X\\ Y\end{array}\right\}$$

이고 변형구배는 회전 행열과 변형을 표현하는 대칭 행열의 곱으로 쓸 수 있다.

$$\mathbf{F}=\left[\begin{array}{cc}1.3& -0.375\\ 0.75& 0.65\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0.866& -0.5\\ 0.5& 0.866\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1.5& 0\\ 0& 0.75\end{array}\right]$$

회전 행열은 30˚에 해당함을 쉽게 알 수 있다. 이 행열 곱은 일반적으로 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$\mathbf{F}=\mathbf{R}\cdot \mathbf{U}$$

여기서 R은 회전 행열(rotation matrix), U는 모든 응력, 변형률, 피로, 균열, 파단 등을 유발하는 오른쪽 신장 텐서(right stretch tensor)이다. 이 과정은 오른쪽에서 왼쪽으로 읽어야함에 유의한다. 즉, U를 먼저 적용하고 R은 그 다음이다.

이렇게 변형구배를 회전 행열과 신장 텐서로 분해하는 것을 극좌표 분해(polar decomposition)라 한다.

또는 다른 방법... (Or Alternatively)

위의 변형과 회전 상태는 회전을 먼저하고 변형을 그 다음 적용함으로서 동일하게 이루어질 수 있다. 이 경우, 초기 구성식(reference configuration), X를 먼저 동일하게 30˚회전시켜 중간 구성식(intermediate configuration), x'을 얻는다.

$$\begin{array}{rl}& x^{\prime }=X\cos {30}^{\circ }-Y\sin {30}^{\circ }\\ & y^{\prime }=X\sin {30}^{\circ }+Y\cos {30}^{\circ }\end{array}$$

그 다음 이 중간 구성식을 최종 변형 상태로 변형 시킨다.

$$\begin{array}{rl}& x=1.313x^{\prime }+0.325y^{\prime }\\ & y=0.325x^{\prime }+0.938y^{\prime }\end{array}$$

비대각 값들은 물체가 신장/압축 외에 전단을 받고 있음을 나타낸다. 변형구배는 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$\mathbf{F}=\left[\begin{array}{cc}1.3& -0.375\\ 0.75& 0.65\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1.313& 0.375\\ 0.325& 0.938\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}0.866& -0.5\\ 0.5& 0.866\end{array}\right]$$ 

이를 일반적으로 쓰면 다음과 같다.

$$\mathbf{F}=\mathbf{V}\cdot \mathbf{R}$$

여기서 R은 동일한 회전 행열이고 V는 왼쪽 신장 텐서(left stretch tensor)이다. 이 역시 극좌표 분해(polar decomposition)이다.

V와 U의 관계(Relationship between V and U)

F=V·R=R·U 이고 양변 끝에 ${\mathbf{R}}^T$를 곱하면

$$\mathbf{V}\cdot \mathbf{R}\cdot {\mathbf{R}}^T=\mathbf{R}\cdot \mathbf{U}\cdot {\mathbf{R}}^T$$

한편 $\mathbf{R}\cdot {\mathbf{R}}^T=\mathbf{I}$ 이므로 위의 식은 아래와 같이 V와 U의 관계를 보여준다.

$$\mathbf{V}=\mathbf{R}\cdot \mathbf{U}\cdot {\mathbf{R}}^T$$

또는 U에 관하여 풀면 다음과 같다.

$$\mathbf{U}={\mathbf{R}}^T\cdot \mathbf{U}\cdot \mathbf{R}$$

V와 U의 관계 증명 (Verifying Relationship between V and U)

위의 일반 변형 예시에서

$$\mathbf{V}=\left[\begin{array}{cc}1.313& 0.325\\ 0.325& 0.938\end{array}\right]\mathbf{R}=\left[\begin{array}{cc}0.866& -0.5\\ 0.5& 0.866\end{array}\right]\mathbf{U}\left[\begin{array}{cc}1.5& 0\\ 0& 0.75\end{array}\right]$$

$\mathbf{R}\cdot \mathbf{U}\cdot {\mathbf{R}}^T$을 계산하면 아래와 같이 V와 같음을 알 수 있다.

$$\begin{array}{rl}\mathbf{R}\cdot \mathbf{U}\cdot {\mathbf{R}}^T& =\left[\begin{array}{cc}0.866& -0.5\\ 0.5& 0.866\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1.5& 0\\ 0& 0.75\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}0.866& 0.5\\ -0.5& 0.866\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{cc}1.313& 0.325\\ 0.325& 0.938\end{array}\right]\end{array}$$

서로 다른 강체 회전 시 V와 U (V and U for Different Rigid Body Rotations)

회전없이, x 방향 100% 신장된 물체에 대하여 변형구배와 극좌표 분해는

$$\mathbf{F}=\mathbf{R}\cdot \mathbf{U}=\left[\begin{array}{cc}\cos 0^{\circ }& -\sin 0^{\circ }\\ \sin 0^{\circ }& \cos 0^{\circ }\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$$

한편 V·R 극좌표 분해는

$$\mathbf{F}=\mathbf{V}\cdot \mathbf{R}=\left[\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\cos 0^{\circ }& -\sin 0^{\circ }\\ \sin 0^{\circ }& \cos 0^{\circ }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$$

위의 결과와 같이 회전이 없을 때는 U, V 및 F는 모두 동일하다.

만약 물체가 원래 x 방향으로 100% 신장된 후에 90˚회전했다면 변형구배와 극좌표 분해는

$$\mathbf{F}=\mathbf{R}\cdot \mathbf{U}=\left[\begin{array}{cc}\cos {90}^{\circ }& -\sin {90}^{\circ }\\ \sin {90}^{\circ }& \cos {90}^{\circ }\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ 2& 0\end{array}\right]$$

또한 V·R 극좌표 분해는

$$\mathbf{F}=\mathbf{V}\cdot \mathbf{R}=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\cos {90}^{\circ }& -\sin {90}^{\circ }\\ \sin {90}^{\circ }& \cos {90}^{\circ }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ 2& 0\end{array}\right]$$

신장 텐서, U는 위의 0˚와 90˚회전 예시에서 변하지 않았지만 F뿐만 아니라 V 신장 텐서는 변하였다. V의 성분들은 항상 회전 후의 변형에 해당된다.

출처 http://www.continuummechanics.org