그린 변형률 (Green Strains)
미소변형률(small strains)에서 실제 제약은 변형률 자체가 아니라 회전이 미소해야 한다는 것이다. 회전량이 커질 수록, 미소변형률 텐서의 정확도도 저하된다.
신장텐서(stretch tensor), 특히 U-I 는 변형률 텐서의 모든 요구 성질을 충족하고 미소 회전에 제한을 받지 않는다. 하지만 U 는 계산하기 매우 어렵기 때문에 계산이 용이하고 강체회전에 무관한 변형률 정의가 필요하다. 이 딜레마에 대한 답은 그린변형률 텐서(Green strain tensor) 이다.
그린변형률 정의 (Green Strain Definition)
그린변형률 텐서 E는 다음과 같이 변형구배 F로부터 정의된다. (I는 단위행열)
\[{\bf E}={1\over2}\left({\bf F}^T\cdot{\bf F-I}\right)\]
아래 식과 같이 \({\bf F}^T\cdot{\bf F}\)는 강체 회전(rigid body rotation) R을 기존 변형률로부터 완전히 제거한다.
\[{\bf F}^T\cdot{\bf F}=\left({\bf R}\cdot{\bf U}\right)^T\cdot({\bf R}\cdot{\bf U})={\bf U}^T\cdot{\bf R}^T\cdot{\bf R}\cdot{\bf U}={\bf U}^T\cdot{\bf U}\]
위의 결과로 계산에서 신장 텐서 U 만 남게 되어 실제로 어떠한 회전과도 독립적이다.
그린 변형률 텐서를 텐서 표기법으로 쓰면 \(F_{ij}=\delta_{ij}+u_{i,j}\) 이므로
\[\begin{align}E_{ij}&={1\over2}\left(F_{ki}F_{kj}-\delta_{ij}\right)\\&={1\over2}\left\{\left(\delta_{ki}+u_{k,i}\right)\left(\delta_{kj}+u_{k,j}\right)-\delta_{ij}\right\}\\&={1\over2}\left(\delta_{ki}\delta_{kj}+\delta_{ki}\delta_{k,j}+\delta_{kj}u_{k,i}+u_{k,i}u_{k,j}-\delta_{ij}\right)\\&={1\over2}\left(u_{i,j}+u_{j,i}+u_{k,i}u_{k,j}\right)\end{align}\]
위의 식을 좀 더 외연적으로 쓰면 다음과 같다.
\[E_{ij}={1\over2}\left(\frac{\partial u_i}{\partial X_j}+\frac{\partial u_j}{\partial X_i}+\frac{\partial u_k}{\partial X_i}+\frac{\partial u_k}{\partial X_j}\right)\]
이 변형률 텐서는 대칭이므로
\[{\bf E}=\begin{bmatrix}E_{xx}&E_{xy}&E_{xz}\\E_{xy}&E_{yy}&E_{yz}\\E_{xz}&E_{yz}&E_{zz}\end{bmatrix}\]
그린 변형률 텐서의 각 성분별 표현은 아래와 같다. u=(u, v, w) 임을 기억한다.
\[\begin{align}E_{xx}&=\frac{\partial u}{\partial X}+{1\over2}\left\{\left(\frac{\partial u}{\partial X}\right)^2+\left(\frac{\partial v}{\partial X}\right)^2+\left(\frac{\partial w}{\partial X}\right)^2\right\}\\E_{yy}&=\frac{\partial v}{\partial Y}+{1\over2}\left\{\left(\frac{\partial u}{\partial Y}\right)^2+\left(\frac{\partial v}{\partial Y}\right)^2+\left(\frac{\partial w}{\partial Y}\right)^2\right\}\\E_{zz}&=\frac{\partial w}{\partial Z}+{1\over2}\left\{\left(\frac{\partial u}{\partial Z}\right)^2+\left(\frac{\partial v}{\partial Z}\right)^2+\left(\frac{\partial w}{\partial Z}\right)^2\right\}\\E_{xy}&={1\over2}\left(\frac{\partial u}{\partial Y}+\frac{\partial v}{\partial X}\right)+{1\over2}\left(\frac{\partial u}{\partial X}\frac{\partial u}{\partial Y}+\frac{\partial v}{\partial X}\frac{\partial v}{\partial Y}+\frac{\partial w}{\partial X}\frac{\partial w}{\partial Y}\right)\\E_{yz}&={1\over2}\left(\frac{\partial v}{\partial Z}+\frac{\partial w}{\partial Y}\right)+{1\over2}\left(\frac{\partial u}{\partial Y}\frac{\partial u}{\partial Y}+\frac{\partial v}{\partial Y}\frac{\partial v}{\partial Z}+\frac{\partial w}{\partial Y}\frac{\partial w}{\partial Z}\right)\\E_{zx}&={1\over2}\left(\frac{\partial w}{\partial X}+\frac{\partial u}{\partial Z}\right)+{1\over2}\left(\frac{\partial u}{\partial Z}\frac{\partial u}{\partial X}+\frac{\partial v}{\partial Z}\frac{\partial v}{\partial X}+\frac{\partial w}{\partial Z}\frac{\partial w}{\partial X}\right)\end{align}\]
이 방정식의 역학적 의미는 회전에 대해 독립적이다는 것이고 각 성분(component)들은 다음과 같이 나눌 수 있다.
그린 변형률(Green Strain)=미소 변형률항(Small Strain Terms)+2차항(Quadratic Terms)
미소 변형률항은 공학변형률(engineering strain)이 요구되는 특성을 가지고 있다. 2차항은 그린 변형률에 자신의 회전에 대한 독립성을 부여한다. 하지만 여기에는 대가가 있다. 변형률이 크면 2차항에 의해 미소 변형률항이 영향을 받는다.
| 전단항 주의(Shear Term Alert) 전단항은 변형률 텐서의 성분이므로 공학 전단변형률(engineering shear value)의 반이라는 것을 잊지 말아야 한다. |
U-I, 미소 변형률(Small Strain), 그린 변형률(Green Strain)
아래 변형구배 F가 주어져 있다. 그리고 극좌표분해(polar decomposition)를 하면 회전축 p=(-0.0404, -0.3539, -0.8859)를 중심으로 25˚ 강체회전(rigid body rotation)을 포함하고 있다.
\[{\bf F}=\begin{bmatrix}1&0.495&0.5\\-0.333&1&-0.247\\0.959&0&1.5\end{bmatrix}\]
회전행열(rotation matrix) R과 신장텐서(stretch tensor) U는 (F=R·U)
\[{\bf R}=\begin{bmatrix}0.903&0.378&-0.140\\-0.368&0.925&0.045\\0.158&0.011&0.986\end{bmatrix}\qquad{\bf U}=\begin{bmatrix}1.195&0.078&0.779\\0.078&1.113&-0.024\\0.779&-0.024&1.396\end{bmatrix}\]
미소 변형률 텐서 \(\boldsymbol\epsilon={1\over2}\left({\bf F}+{\bf F}^T\right)-{\bf I}\)와 \({\bf U}-{\bf I}\)는
\[\boldsymbol\epsilon=\begin{bmatrix}0.000&0.081&0.730\\0.081&0.000&-0.124\\0.730&-0.124&0.500\end{bmatrix}\qquad{\bf U}-{\bf I}=\begin{bmatrix}0.195&0.078&0.779\\0.078&0.113&-0.024\\0.779&-0.024&0.396\end{bmatrix}\]
그린 변형률 텐서 \({\bf E}={1\over2}\left({\bf F}^T\cdot{\bf F}-{\bf I}\right)\)는
\[{\bf E}=\begin{bmatrix}0.525&0.081&1.010\\0.081&0.123&0.000\\1.010&0.000&0.781\end{bmatrix}\]
이것은 미소 변형률 텐서 ε과 U-I 와는 모두 다르다. 그러나 ε는 회전이 수반되면 변하지만, 최소한 E는 그렇지 않다. 이러한 특성은 E의 2차항에 기인한 것이다. 이로서 회전은 제거되었으나, 이 대가로 변형률이 커지면 변형률 성분에서 요구되는 공학 변형률\((\Delta L/L_o)\) 값이 변하게 된다.
미소 변형률 예 (A Smaller Strain Example)
회전은 여전히 크지만 변형률 수준이 작은 경우를 예로 들어본다. 사실은, 위의 예시와 동일한 회전행열을 쓸 것이다. 아래의 변형구배로부터 출발한다.
\[{\bf F}=\begin{bmatrix}1.0098&0.4758&-0.0445\\-0.3601&1.1001&0.1652\\0.2705&0.1687&1.3012\end{bmatrix}\]
회전행열 R은 여전히 25˚ 회전에 해당하고, 신장텐서 U는 다음과 같다.
\[{\bf R}=\begin{bmatrix}0.903&0.378&-0.140\\-0.368&0.925&0.045\\0.158&0.011&0.986\end{bmatrix}\qquad{\bf U}=\begin{bmatrix}1.10&0.05&0.10\\0.05&1.20&0.15\\0.10&0.15&1.30\end{bmatrix}\]
그린 변형률 텐서 \({\bf E}={1\over2}\left({\bf F}^T\cdot{\bf F}-{\bf I}\right)\)는
\[{\bf E}=\begin{bmatrix}0.102&0.064&0.122\\0.064&0.221&0.187\\0.122&0.187&0.347\end{bmatrix}\]
이번에는 그린 변형융 텐서와 U-I가 ε, 특히 \(\epsilon_{11}\)과 \(\epsilon_{22}\) 성분, 보다 훨씬 서로 근접한 값을 갖는다. 이것은 변형률이 여전히 회전이 존재하지만 보다 완만한 수준이기 때문이다. 미소한 변형률에 대해서는, ε는 아니지만, 그린 변형률 텐서와 U-I는 회전 수준과 무관하게 서로 근접하게 된다.
단축 인장 (Uniaxial Tension)
\[\epsilon_{xx}=\frac{\partial u}{\partial X}=\frac{\Delta L}{L_o}=\epsilon_{\rm Eng}\]
이 경우는, 그린 변형률 텐서의 영이 아닌 성분은 \(E_{11}\) 뿐이다. ∂u/∂X를 제외한 모든 편미분은 영이다. 이로부터 다음식을 얻는다.
\[E_{xx}=\frac{\partial u}{\partial X}+{1\over2}\left(\frac{\partial u}{\partial X}\right)^2=\frac{\Delta L}{L_o}+{1\over2}\left(\frac{\Delta L}{L_o}\right)^2\]
그린 변형률의 절충점은 변형률이 미소할 때는 무시할 수 있는 2차항이 있고, 이것은 변형률이 클 때는 공학 변형률과 차이가 나는 원인이 된다.
\[\gamma_{xy}=\frac{\partial u}{\partial Y}+\frac{\partial v}{\partial X}={D\over T}\]
그린 변형률 성분들은 다음과 같다.
\[\begin{align}E_{xx}&={1\over2}\left(\frac{\partial v}{\partial X}\right)^2={1\over2}\left(D\over T\right)^2\\E_{xy}&={1\over2}\frac{\partial v}{\partial X}={1\over2}{D\over T}\\E_{yy}&=E_{zz}=E_{yz}=E_{zx}=0\end{align}\]
따라서 이 전단 변형의 경우 그린 변형률 텐서는
\[{\bf E}=\begin{bmatrix}{1\over2}\left(D\over T\right)^2&{1\over2}{D\over T}&0\\{1\over2}{D\over T}&0&\\0&0&0\end{bmatrix}\]
그리고 전단항은 정확히 원하던 결과이다. \(E_{11}\) 항은 영이 아닌 결과로 처음에는 의외인 것으로 보인다. 하지만 사실 이것은 장점으로 볼 수 있다. 정사각형의 초기 밑변의 길이는 단순히 T 이다. 하지만 전단 상태의 최종 길이는 \((T^2+D^2)^{1/2}\) 이다. 따라서 \(\Delta L/L_o\)는 다음에 해당한다.
\[{\Delta L\over L_o}=\frac{\sqrt{T^2+D^2}-T}{T}=\sqrt{1+\left(D\over T\right)^2}-1=1+{1\over2}\left(D\over T\right)^2-{1\over8}\left(D\over T\right)^4+\cdots-1\]
여기서 마지막 식은 앞의 식의 테일어 급수 전개(Taylor series expansion) 이다. \(E_{11}\) 항은 실제로 전단에 의한 수평 방향 늘음의 2차식 효과인 것이 명백하다.
다른 유도법 (An Alternative Derivation)
변형구배 F는 다음과 같이 정의된다.
\[{\bf F}=\frac{\partial{\bf x}}{\partial{\bf X}}\]
이것은 다음과 같이 초기 변형전 길이 증분, dX를 변형 후 결과 dx와 연결시키는데 사용될 수 있다.
\[{\bf dx}=\frac{\partial{\bf x}}{\partial{\bf X}}\cdot{\bf dX}={\bf F}\cdot{\bf dX}\]
위의 관계식은 그린 변형률 텐서를 유도하는데 이용할 수 있다.
\[{\bf dx}\cdot{\bf dx}={\bf F}\cdot{\bf dX}\cdot{\bf F}\cdot{\bf dX}={\bf dX}\cdot\left({\bf F}^T\cdot{\bf F}\right)\cdot{\bf dX}\]
위의 결과가 어떻게 조작되었는지 알기 위해서는 아래 텐서 표기법을 참조한다.
\[dx_idx_i=F_{ij}dX_jF_{ik}dX_k=dX_jF_{ij}F_{ik}dX_k=dX_jF_{ji}^TF_{ik}dX_k\]
이에 양변에서 dX·dX를 차감한다.
\[\begin{align}{\bf dx}\cdot{\bf dx}-{\bf dX}\cdot{\bf dX}&={\bf dX}\cdot\left({\bf F}^T\cdot{\bf F}\right)\cdot{\bf dX}-{\bf dX}\cdot{\bf dX}\\&={\bf dX}\cdot\left({\bf F}^T\cdot{\bf F}\right)\cdot{\bf dX}-{\bf dX}\cdot{\bf I}\cdot{\bf dX}\\&={\bf dX}\cdot\left({\bf F}^T\cdot{\bf F}-{\bf I}\right)\cdot{\bf dX}\\&={\bf dX}\cdot2{\bf E}\cdot{\bf dX}\end{align}\]
위의 식은 다음식을 정당화하는데 이용된다.
\[E=\frac{ds^2-dS^2}{2dS^2}=\frac{\left(L_o+\Delta L\right)^2-L_o^2}{2L_o^2}={\Delta L\over L_o}+{1\over2}\left(\Delta L\over L_o\right)^2\]
여기서 ds는 변형 후 길이, dS는 변형 전 길이다. dS에 \(L_o\)를, ds에 \(L_o+\Delta L\)을 대입하면 앞의 결과와 같은 식이 유도된다.
타이어 벨트 예제 (Belt Edge Example)
원통좌표계(cylindrical coordinates) 축대칭(axisymmetric) 원심력을 받는 고속 타이어의 벨트의 단말부(belt edge) 변형률을 계산하는 것이다. 요점은 다음과 같다.
● F가 구해지면 나머지 과정은 직교좌표계와 같이 \({\bf E}={1\over2}\left({\bf F}^T\cdot{\bf F}-{\bf I}\right)\)에 따라 변형률을 구한다.
\[\begin{align}u_r&=0.05R\\u_\theta&=-0.2(R-R_o)\end{align}\]
\(R=R_o\)에서 변형구배를 계산하면 다음을 얻는다.
\[{\bf F}={\bf I}+\nabla{\bf u}=\begin{bmatrix}1+\frac{\partial u_r}{\partial R}&\frac{\partial u_r}{R\partial\theta}-\frac{u_\theta}{R}&\frac{\partial u_r}{\partial Z}\\\frac{\partial u_\theta}{\partial R}&1+\frac{\partial u_\theta}{R\partial\theta}+\frac{u_r}{R}&\frac{\partial u_\theta}{\partial Z}\\\frac{\partial u_z}{\partial R}&\frac{\partial u_z}{R\partial\theta}&1+\frac{\partial u_z}{\partial Z}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1.05&0&0\\-0.20&1.05&0\\0&0&1\end{bmatrix}\]
그러면 그린 변형률은
\[{\bf E}={1\over2}\left({\bf F}^T\cdot{\bf F}-{\bf I}\right)=\begin{bmatrix}E_{RR}&E_{R\theta}&E_{RZ}\\E_{R\theta}&E_{\theta\theta}&E_{\theta Z}\\E_{RZ}&E_{\theta Z}&E_{ZZ}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0.071&-0.105&0\\-0.105&0.051&0\\0&0&0\end{bmatrix}\]
위의 예제와 같이 원통좌표계는 종종 직관적이지 않다. 이 경우는 변위가 θ의 함수가 아니지만 원주변형률(circumferential strain) \(E_{\theta\theta}\)가 존재한다. 이 원주변형률은 F의 \(F_{\theta\theta}\) 성분 \(u_r/R\) 항으로부터 나온다. 이 \(u_r/R\) 항은 변형된 원주길이 \(2\pi R_{\rm deformed}\)는 초기 원주길이 \(2\pi R_o\)와 다름을 의미한다.
그러나 위의 고찰보다 여기에는 보다 중요한 사실이 있다. 그것은 F의 편미분을 구하기만 하면 원통좌표계 문제는 없어진다는 것이다. 이 시점 이후로는 이에 대한 처리, 해석 등이 직교좌표계, 또는 그 어떤 시스템인 경우와 동일해진다. 이것은 변형률은 어떻게 구했건 동일한 하나의 변형률이기 때문이다.(응력의 경우도 동일하다.) 모든 변환(transformation), 고유치(principal values), 정수압과 편향 성분(hydrostatics and deviatoric components) 등은 직교좌표계와 같이 원통좌표계에서도 동일하게 적용된다.
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