면적모멘트법에 의한 부정정보 해석(Statically Indeterminate Beam Analysis by Moment-Area Method)

 보의 처짐을 구하기 위한 면적모멘트법(moment area method)은 부정정보(statically indeterminate beam) 해석을 위한 또 하나의 방법이다. 부정정보의 경우 이 과정은 미지의 반력들을 구하기 위해 필요한 추가 방정식들을 구하기 위해 두개의 면적모멘트 정리를 이용하는 것이다. 이들 추가 방정식들은 보의 기울기와 처짐(slopes and deflections)에 대한 조건들을 나타내며, 이러한 조건들의 개수는 항상 미지수(redundants)의 개수와 일치한다.

면적모멘트법에 의한 부정정보 해석은 미지의 반력들을 선택함으로써 시작한다. 그리고 이 반력들을 보로부터 제거하면 정정보의 제거구조(statically determinate released structure)가 된다. 그 다음 이 제거구조에 하중들을 배치하고 굽힘강성계수(flexural rigidity)로 나눈 해당 굽힘모멘트 선도(즉, M/EI)를 그린다. 유사한 방법으로 미지수를 하중처럼 제거구조에 적용하고, 다시 M/EI 선도를 그린다. 마지막을 미지의 반력을 계산하기 위한 방정식을 얻기 위해 면적모멘트 정리를 적용한다.

[예제 1] 다음 그림과 같이 고정-롤러 지지보 AB에 집중하중이 작용할 때, A와 B 지점에서의 반력과 모멘트를 구하시오.

<풀이> 이 보의 부정정도는 1도 이므로, 미지수로 1개의 반력을 선정한다. Rb를 미지수로 선정하고 제거하면, 제거구조는 A를 지지점으로 하는 외팔보가 된다. 이 보에 P와 Rb를 하중으로 작용시키면 아래 그림과 같은 굽힘모멘트 선도를 얻는다. 이 보는 동일한 굽힘강성계수 EI를 가지므로, M/EI 선도는 굽힘모멘트 선도와 동일 형상을 갖는다.

지지점 A에서의 처짐곡선의 기울기는 '0' 이므로, A에서의 접선으로부터 B점의 거리 δba도 '0' 이다. 따라서 2차 면적모멘트 정리에 따라 A와 B 사이 M/EI 선도의 B점을 기준으로 하는 1차 면적모멘트는 '0' 이어야 한다. 이 관계는 다음식을 준다.

\[\delta_{ba}={a\over2}\left(Pa\over EI\right)\left(L-{a\over3}\right)-{L\over2}\left(R_bL\over EI\right)\left(2L\over3\right)=0\]

윗 식으로부터

\[R_b={Pa^2\over2L^3}(3L-a)\]

이 반력으로부터 나머지 2개의 반력들도 정적 평형으로부터 구할 수 있다.

\[\begin{align}&R_a=P-R_b={Pb\over2L^3}(3L^2-b^2)\\&M_a=Pa-R_bL={Pab\over2L^2}(L+b)\end{align}\]

앞의 결과들로부터 중앙에 집중하중을 받는 보에 대하여는 a=b=L/2 를 대입하여 반력들을 얻을 수 있다.

\[R_a={11P\over16}\qquad R_b={5P\over16}\qquad M_a={3PL\over16}\]

[예제 2] 아래 그림과 같이 우력(couple) Mo의 하중을 받는 양단 고정보의 반력을 결정하여라. 또, 우력 작용점 C에서의 보의 처짐을 구하여라.

<풀이> 이 보는 2도의 부정정도이므로 2개의 미지수를 선택해야 한다. 여기서는 Ra와 Ma를 미지수로 취한다. 그러면 제거구조는 B점을 지지부로 하는 외팔보가 되다. 굽힘모멘트 선도는 아래와 같고, Ra, Ma 및 Mo를 하중으로 받고 있다.

이 2개의 미지수를 구하기 위해 2개의 보의 처짐에 관한 조건이 요구된다. 첫번째 조건은 보 양단의 기울기는 '0' 이다; 따라서, A와 B 사이의 각도의 변화는 없다. 1차 면적모멘트 정리에 따라 M/EI 선도의 면적은 '0'이 되어야 한다;

  \[\theta_{ba}={M_a\over EI}(L)+{M_o\over EI}(b)-{L\over2}\left(R_aL\over EI\right)=0\]

정리하면

\[R_aL^2-2M_aL=2M_ob\]

두번째 조건은 A에서의 처짐곡선 접선이 B를 통과한다는 것이고, 이것은 M/EI 선도의 B를 기준으로 하는 1차 면적모멘트가 '0' 이라는 것을 의미한다. 이 결과식은

\[\delta_{ba}=L\left(M_a\over EI\right)\left(L\over2\right)+b\left(M_o\over EI\right)\left(b\over2\right)-{L\over2}\left(R_aL\over EI\right)\left(L\over3\right)=0\]

정리하면

\[R_aL^3-3M_aL^2=3M_ob^2\]

이제 위의 연립방정식을 풀면 미지수들을 얻는다:

\[R_a={6M_oab\over L^3}\qquad M_a={M_ob\over L^2}(2a-b)\]

다른 2개의 반력들은 정적 평형 방정식으로부터

\[\begin{split}&R_b=-R_a=-{6M_oab\over L^3}\\&M_b=M_a+M_b-R_aL={M_oa\over L^2}(a-2b)\end{split}\]

하중 작용점의 처짐 δc는 2차 면적모멘트 정리로부터 얻을 수 있다. A에서의 접선은 수평이므로 접선 A에서 C점까지의 거리는 δc와 같다. 따라서 M/EI 선도 A와 C 사이의 C를 기준으로 하는 1차 면적모멘트가 δc가 된다.

\[\delta_c=a\left(M_a\over EI\right)\left(a\over2\right)-{a\over2}\left(a\over L\right)\left(R_aL\over EI\right)\left(a\over3\right)\]

Ra와 Ma의 표현식을 대입하면

\[\delta_c={M_oa^2b^2(a-b)\over2L^3EI}\]

M_o가 중앙(a=b=L/2)에 작용하면 반력들은 다음과 같고 중앙에서의 처짐은 '0' 이다.

\[R_a=-R_b={3M_o\over2L}\qquad M_a=-M_b={M_o\over4}\]

[예제 3] 양단 고정보 AB의 오른쪽 지지부가 회전없이 수직으로 δ 만큼 처짐을 받고 있다. 이 보의 반력들을 결정하여라.

<풀이> 지지부 B의 반력 Rb와 Mb를 미지수로 선택한다. 굽힘모멘트 선도는 다음과 같다.

Rb와 Mb를 풀기 위해서는 2개의 방정식이 필요하다. 첫번째 방정식은 각 지지부에서 보의 기울기는 '0' 이라는 조건을 나타낸다. 따라서 A와 B 사이의 M/EI 선도의 면적은 '0' 이다.

\[\theta_{ba}={L\over2}\left(R_aL\over EI\right)-L\left(M_b\over EI\right)=0\]

정리하면

\[R_bL=2M_b\]

두번째 조건은 A에서의 접선과 B점 간의 거리이다. 이 거리는 δ 이기 때문에, M/EI 선도의 A와 B 사이의 B를 기준으로하는 1차 면적모멘트의 음의 값과 δ는 같다:

\[\delta={L\over2}\left(R_bL\over EI\right)\left(2L\over3\right)-L\left(M_b\over EI\right)\left(L\over2\right)\]

정리하면

\[2R_bL-3M_b={6EI\delta\over L^2}\]

이들 연립방정식을 풀면

\[R_b={12EI\delta\over L^3}\qquad M_b={6EI\delta\over L^2}\]

보의 대칭성으로부터 Ra=Rb 그리고 Ma=Mb 이다.