보의 응력 (Stresses in Beams)

곡률 (Curvature)

자유단에 하중 P를 받고 있는 외팔보 AB가 있다. 변형전 직선이었던 보의 축선은 곡선으로 변하는데 이를 처짐곡선(deflection curve)이라 한다. 본 글에서 보(beam)는 xy면에 대칭으로 간주한다. 모든 하중도 xy면상에 작용하며, 그 결과 처짐도 동일면에서 발생하며, 이면을 굽힘평면(plane of bending)이라 한다. y방향 처짐량은 문자 v로 표시한다.

y축에서 거리 x 위치의 미소구간 dx와 이에 대응하는 처짐곡선 상의 ds를 생각한다. ds 양단에서 수선을 그리고 그 교점 O'은 지지부에서 거리 x인 처짐곡선의 곡률중심(center of curvature)이 된다. 그 수직 거리는 곡률반경(radius of curvature) ρ이라고 한다. 또한, 그의 역수는 곡률(curvature) κ이다.

처짐이 미소하면 ds≒dx 이므로 다음식이 성립한다.

\[\rho d\theta=ds=dx\]

따라서 곡률은 다음식과 같다.

\[\kappa={1\over\rho}={d\theta\over ds}={d\theta\over dx}\]

이 식을 활용해 변형률과 응력을 구하기에 앞서 순수굽힘과 불균일굽힘을 구분할 필요가 있다. 순수굽힘(pure bending)이란 일정한 굽힘모멘트, 즉 전단력이 '0' 이라는 것을 의미한다(V=dM/dx=0 이므로). 반대로 불균일굽힘(nonuniform bending)이란 전단력이 존재하는 힘, 즉 보의 축방향을 따라 굽힘모멘트가 변함을 의미한다.

보의 수직변형률 (Normal Strains in Beams)

아래 그림은 우력 \(M_o\)에 의해 순수굽힘 상태에 있는 보의 일부이다. 보의 상하단 사이에 길이가 변하지 않는, 점선 ss로 나타낸 면을 중립면(neutral surface)이라 한다. 중립면과 임의의 단면과의 교차선을 그 단면의 중립축(neutral axis)이라 하고 우측 그림에서 z축이 된다.

곡률 중심 O'와 미소요소 양단이 이루는 각을 dθ라 하고 중립면의 곡률반경을 ρ라고 하자. 초기 요소 양단의 거리를 dx라 하면 중립면에서는 굽힘 후에도 동일하므로 ρdθ=dx 이다. 변형률을 계산하기 위해 중립면에서 거리 y 만큼 떨어진 요소의 원호를 생각한다. 이 원호의 길이 L은

\[L=(\rho-y)d\theta=dx-{y\over\rho}dx\]

원호 초기 길이는 dx 이므로 해당 변형률은 다음과 같다.

\[\epsilon_x={L-dx\over dx}=-{y\over\rho}=-\kappa y\]

여기서 κ는 곡률이다.

보의 횡변형률(Transverse strains)

위의 식의 \(\epsilon_x\)는 포아송 비(poisson's ratio)의 영향으로 횡변형률 \(\epsilon_z\)를 수반한다. 중립면을 기준으로 변형률의 부호가 바뀌므로 횡변형률은 다음과 같이 주어진다.

\[\epsilon_z=-\nu\epsilon_x=\nu{y\over\rho}=\nu\kappa y\]

여기서 ν는 포아송 비이다. 횡변형률의 영향으로 단면의 형상이 변하게 된다. 예를 들어 위의 그림과 같이 직사각형 단면의 경우 z축의 위로는 폭이 감소하며 아래로는 증가한다. 따라서 양변은 서로 사선을 이루며 초기 z축과 평행한 상하단은 곡선을 이루게 된다. 이륻 곡선의 곡률중심 O''는 보의 상부에 위치하며 횡곡률반경 \(\rho_1\)은 ρ보다 \(\epsilon_x\)가 \(\epsilon_z\) 보다 큰 것 만큼 같은 비율로 크다. 따라서 다음식을 얻는다.

\[\rho_1={\rho\over\nu}\qquad\kappa_1=\nu\kappa\]

여기서 \(\kappa_1=1/\rho_1\)는 횡곡률이다.

직사각형 단면 보의 순수전단 상태에서는 안장형상의 곡률(anticlastic curvature)로 변형하게 된다. 

보의 수직응력 (Normal Stresses in Beams)

순수굽힘 보의 수직변형률 \(\epsilon_x\)로부터 단면의 수직응력 \(\sigma_x\)를 구할 수 있다. 보의 단면에서 각 점은 인장 또는 압축을 받고 있으므로 선형 탄성 재료에서는 후크의 법칙을 사용하여 다음식을 얻는다.

\[\sigma_x=E\epsilon_x=-E{y\over\rho}=-E\kappa y\]

따라서 수직응력은 아래 그림과 같이 중립면 아래는 음수(압축), 위는 양수(인장)의 분포를 보인다.

이제 단면에 작용하는 응력 \(\sigma_x\)들의 합력(resultant)을 생각한다. 축하중이 없으므로 단면에 수직한 합력은 '0' 이다. 미소요소의 수직방향 하중을 \(\sigma_xdA\)라 하면 이것의 전체면적의 적분은 '0' 이므로

\[\int\sigma_xdA=-\int E\kappa ydA=0\qquad\therefore\ \int ydA=0\]

위의 식은 z축 기준 단면 1차 모멘트는 '0' 임을 나타낸다. 그러므로 보의 재질이 후크 법칙을 따를 때 중립축은 단면의 도심을 지난다. 나아가 좌표축 원점 O는  단면의 도심이다. 더우기 y는 대칭축이므로 선형 탄성 보가 순수굽힘 상태일 때 y와 z축은 주 도심축(principal centroidal axes)이 된다.

다음으로 단면의 모멘트 합력을 생각한다. 미소면적 dA에 작용하는 \(\sigma_x\)의 기여분은 \(dM_o=-\sigma_xydA\) 이고 굽힘모멘트 M은 \(-M_o\)와 같으므로 다음식을 얻는다.

\[\begin{align}&M=\int\sigma_xydA=-\kappa E\int y^2dA=-\kappa EI\\&\text{여기서}\ I=\int y^2dA\end{align}\]

I는 z축, 즉 중립축에 대한 단면의 관성모멘트이다. 위의 식을 다시 쓰면

\[\kappa={1\over\rho}=-{M\over EI}\]

이 식은 보의 종방향 곡률은 굽힘모멘트 M에 비례하고 관성모멘트 I에 반비례 한다. 또한 중립축으로부터 거리 y에 선형적으로 변화한다. 이라한 관계를 보여주는 위의 식을 휨 공식(flexure formula)이라 한다.

보의 최대, 최소 응력은 중립축에서 가장 먼 지점에서 발생하므로 다음식과 같다.

\[\sigma_1={Mc_1\over I}={M\over S_1}\qquad\sigma_2=-{Mc_2\over I}=-{M\over S_2}\]

여기서 \(S_1\) 과 \(S_2\)는 단면계수(section modulus)로 알려져 있다.