축하중 부정정 구조의 하중법 (Force Method)

축하중을 받는 봉(axially loaded member)이 자유물체도(free body diagram)와 평형 방정식에 의해서 축하중과 지지부의 반력들을 구할 수 있는 경우 정정(statically determinate) 구조로 분류된다. 하지만 많은 구조에서 정적 평형만으로는 축하중과 반력들을 구하는데 불충분하다. 이 구조들은 부정정(statically indeterminate)으로 불린다. 이 경우 변위를 포함한 방정식을 추가하여 평형 방정식을 보완한다.

부정정 구조를 분석하기 위한 일반적인 2개의 방법으로 하중법(force method)과 변위법(displacement method)이 있으며, 여기서는 연성법(flexibility method)으로도 불리우는 하중법을 다룬다. 하중법을 설명하기 위해 아래 그림 1과 같은 부정정 봉을 분석해 본다. 균일단면 봉AB가 양단에 강제 지지되어 있고 그 사이 C점에 축하중 P를 받고 있다.

그림 1 부정정 봉 (하중법 분석)

결과적으로 반력 Ra와 Rb가 봉의 양단에 발생한다. 이 반력들은 다음과 같이 단 하나의 독립적인 정적평형 방정식만이 존재하므로 정적으로만 구할 수 없다.

\[R_a+R_b=P\]

이 방정식은 두 개의 미지수를 가지고 있으므로 이들을 계산하기에 불충분하다. 봉의 늘음으로부터 두번째 방정식을 얻어야만 한다. 이 예제에서는 Ra를 정적 잉여(statical redundant)로 잡아 본다. 미지의 반력 Ra가 구조에서 제거되면 그림 b에서 나타난 바와 같이 지지부 A가 해제된다.

이제 이 제거구조의 하중 P로 인한 A점에서의 변위를 생각한다. 이 변위는

\[\delta_P={Pb\over EA}\]

이며 아래 방향이다. 다음, 잉여 Ra로 인한 A점의 변위를 생각한다(그림 c). Ra로 인한 상방향 변위는

\[\delta_R={R_aL\over EA}\]

이다. P와 Ra가 동시에 작용하는 A점의 최종 변위는 \(\delta_P\)와 \(\delta_R\)를 조합하여 구한다. 아래를 양의 방향으로 하면 실제 A점의 최종 변위는 영이므로 다음식을 얻는다.

\[\delta=\delta_p-\delta_R={Pb\over EA}-{R_aL\over EA}=0\]

이 식으로부터

\[R_a={Pb\over L}\]

이제 잉여가 결정되었으므로, 평형식으로부터 Rb를 구할 수 있다:

\[R_b=P-R_a={Pa\over L}\]

그림 2 부정정 트러스 (하중법 분석)

하중법의 추가 설명을 위해서 그림 2a와 같은 평면 트러스를 분석해 본다. 모든 봉(bar)은 동일한 강성값 EA를 가진다고 한다. 이 트러스는 부정정 구조이다. 왜냐하면 미지의 봉들의 하중은 세개인데 반해 정적 평형(static equilibrium)으로부터 두개의 방정식만 얻을 수 있기 때문이다. 트러스의 대칭성으로부터 외측의 봉들의 인장력(F1)은 같다. 또한 수직 방향 하중의 평형으로부터 다음 식을 얻는다.

\[2F_1\cos\beta+F_2=P\qquad\cdots(1)\]

여기서 β는 수직봉과 경사진 봉들 사이의 각도이다. 이 방정식은 두 개의 미지의 하중들(F1과 F2)을 가지고 있다.따라서 추가로 한 개의 방정식이 더 필요하다. 추가 방정식은 연결부 D 변위의 양립성으로부터 구할 것이다.

이 예제에서는 임의로 BD 부재의 축하중 F2를 잉여(redundant)로 선정한다. 따라서 이 하중을 제거하기 위해 BD 부재의 하단을 자른다(그림 2b). 하중 P가 이 제거구조(released structure)에 작용할 때, 연결부 D의 아래 방향 변위는(변위선도 예제 참조)

\[\delta_P={PL\over2EA\cos^3\beta}\qquad\cdots(2)\]

이다. 여기서 L은 수직봉의 길이이다. 잉여 하중 F2가 이 제거구조에 작용할 때 절단된 봉 BD는 이 하중 F2가 아래로 잡아당겨 인장을 받게 된다. 동시에 연결부 D는 동일한 반대 하중에 의해 위로 당겨지게 된다. 후자의 하중에 의해 연결부 D는 윗 방향으로 다음과 같은 양의 변위가 발생하게 된다(윗식과 비교).

\[\delta_F={F_2L\over2EA\cos^3\beta}\qquad\cdots(3)\]

연결부 D의 전체 변위는 P와 F2의 동시 작용에 의해 \(δ_P-δ_F\) 이다. 또한 봉 BD의 늘음량(elongationn)은 관찰에 의해 \(F_2L/EA\)임을 알 수 있다. 연결부 D 변위의 양립 조건에 따라 연결부 D의 아래방향 변위는 봉 BD의 늘음량과 같아야 한다. 따라서

\[\delta_P-\delta_F={F_2L\over EA}\]

식 (2)와 (3)을 윗식에 대입하여 F2에 대하여 풀면,

\[F_2={P\over1+2\cos^3\beta}\]

최종적으로 평형 방정식 (1)로부터

\[F_1={P\cos^2\beta\over1+2\cos^3\beta}\]

이 예제에서 중앙 봉의 축하중은 외측 봉들의 하중보다 큰 것을 알 수 있다. 또한, 제한된 경우로 β=0으로 두면 예상대로 F1=F2=P/3를 얻는다.

이제 그림 2 트러스 해석의 추가적인 단계로 연결부 D의 수직 처짐 \(\delta_d\)를 구할 수 있다. 이 처짐은 단지 BD의 늘음량과 같다:

\[\delta_d={F_2L\over EA}={PL\over EA(1+2\cos^3\beta)}\]

당연히 이 트러스와 하중은 대칭이므로 연결부 D의 수평방향 처짐은 영이다.

[예제 1] 강체로 가정된 수평 봉 AB가 두 개의 동일한 선 CE와 DF에 지지되고 있다(그림 3a). 각 선의 단면적이 A라면 선 CE와 DF의 인장응력 σ1과 σ2를 각각 구하라.

그림 3 예제 1 부정정 구조 (유성법 분석)

<풀이> 이 구조는 정역학적으로 선들의 하중을 구할 수 없기 때문에 부정정이다. 예를 들어 강체 봉의 자유물체도(그림 3b)로부터 A점에서의 다음 식과 같은 모멘트 평형 방정식을 얻는다:

\[F_1b+2F_2b-3Pb=0\qquad\text{또는}\qquad F_1+2F_2=3P\qquad\cdots(4)\]

윗 식에서 F1과 F2는 선들의 미지의 하중이다. 수직 평형식으로부터 반력 R을 새로운 미지수로 도입할 수 있지만 F1과 F2를 구하는데 도움이 되지 않는다. 선들의 변형이 포함됨 방정식이 필요하다.

하중 P가 인가되면 봉 AB는 지지부를 기준으로 회전하게 되고 두 개의 선들은 늘어나게 된다. 결과적으로 그림 3c와 같은 변위선도(displacement diagram)로 도식화 할 수 있다. 여기서 δ1과 δ2는 각각 선 CE와 DF의 늘음량을 나타낸다. 양립성 조건(condition of compatibility)은 변위선도의 기하학으로부터

\[\delta_2=2\delta_1\]

이다. 선들의 늘음량은 미지의 하중들의 항으로 표현될 수 있다.

\[\delta_1={F_1L\over EA}\qquad\delta_2={F_2L\over EA}\]

L은 선의 길이이고 EA는 축강성을 나타낸다. 이제 이들 δ1과 δ2의 표현식들을 양립성 방정식에 대입하면

\[F_2=2F_1\qquad\cdots(5)\]

최종적으로 선들의 하중을 얻기위해 식 (4)와 (5)를 조합한다.

\[F_1={3P\over5}\qquad F_2={6P\over5}\]

해당 응력들은

\[\sigma_1={F_1\over A}={3P\over5A}\qquad\sigma_2={F_2\over A}={6P\over5A}\]

F1과 F2를 알고 있으므로 각 선들의 늘음량도 구할 수 있다.

[예제 2] 원형 강재 봉(steel cylinder)과 중실 동관(hollow copper tube)(그림 4a의 S와 C로 표기된)가 시험기 평판 사이에서 압축을 받고 있다. 축하중 P로 인한 강(steel)과 동(copper) 부재의 수직방향 평균 응력과 평균 변형률을 구하라.

그림 4 예제 2 부정정 구조 (유성법 분석)

<풀이> 유성법을 이용하기 위해 위의 평판을 제거하면 그림 4b와 같은 구조를 얻는다. 강과 동 각각의 미지의 축하중 Ps와 Pc는 다음 평형 방정식과 관계가 있다:

\[P_s+P_c=P\qquad\cdots(6)\]

강봉(steel cylinder)의 단축은 PsL/EsAs로 주어지며, 여기서 L/EsAs는 강봉의 유성(flexibility)이다. 또한 동관(copper tube)의 단축은 PcL/EcAc와 같으며, 여기서 L/EcAc는 관의 유성이다. 양립성 방정식은 강봉과 동관의 단축이 같다는 사실로웁터 얻어진다.

\[{P_sL\over E_sA_s}={P_cL\over E_cA_c}\qquad\cdots(7)\]

두 식 (6)과 (7)을 동시에 풀면 두 미지의 하중들을 얻을 수 있다.

\[P_s={E_sA_s\over E_sA_s+E_cA_c}P\qquad P_c={E_cA_c\over E_sA_s+E_cA_c}P\]

이 방정식들은 강과 동의 하중들은 그들의 축 강성(axial rigidities)에 비례한다는 것을 보여준다.

강의 압축응력 σs는 Ps를 As로 나누면 얻을 수 있고, 응력 σc도 유사한 방법으로 구할 수 있다. 압축 변형률 ε은 두 재질에 대해서 동일해야 하며, 후크의 법칙으로부터 구할 수 있고 그 결과는

\[\epsilon={P\over E_sA_s+E_cA_c}\]

이다. 이 식은 변형률은 전체 하중을 강과 동 부재의 축 강성의 합으로 나눈 것과 같다는 것을 보여준다.