오일러 공식 (Euler's Formula)

아래와 같이 복소평면에서 단위원의 방정식 \(z=\cos{x}+i\sin{x}\)를 생각한다.

이 때 실수 \(x\)에 대하여 다음과 같이 허수지수 \(ix\)를 정의하고 \(z\)를 나타낼 수 있다. 이 식을 오일러 공식이라 한다.

\[e^{ix}=\cos{x}+\sin{x}\]

여기서 \(e\)는 자연대수의 밑인 오일러의 수이고 \(i\)는 허수단위 \((i^2=-1)\) 이다.

<증명>

오일러 공식 좌변을 테일러 급수 전개하면

\(\begin{split}e^{ix}&=1+ix+{(ix)^2\over2!}+{(ix)^3\over3!}+{(ix)^4\over4!}+{(ix)^5\over5!}+\cdots\\&=1+ix-{x^2\over2!}-{ix^3\over3!}+{x^4\over4!}+{ix^5\over5!}+\cdots\\&=\left(1-{x^2\over2!}+{x^4\over4!}-\cdots\right)+i\left(x-{x^3\over3!}+{x^5\over5!}-\cdots\right)=\cos{x}+i\sin{x}\end{split}\)

가 되므로 증명되었다.

[예제] 오일러 공식을 이용하여 \(\sin(a+b)=\sin(a)\cos(b)+\cos(a)\sin(b)\)를 증명하여라.

<풀이> \(e^{i(a+b)}-e^{-i(a+b)}=2i\sin(a+b)\) 이므로

\(\begin{split}&\sin(a+b)=-{i\over2}(e^{ia}e^{ib}-e^{-ia}e^{-ib})\\&=-{i\over2}[\{\cos(a)+i\sin(a)\}\{\cos(b)+i\sin(b)\}-\{\cos(a)-i\sin(a)\}\{\cos(b)-i\sin(b)\}]\\&=\sin(a)\cos(b)+\cos(a)\sin(b)\end{split}\)