Taylor의 정리와 그 응용

임의의 자연수 \(n\)에 대해서 \(f^{(n)}(x)\)가 존재하는 함수를 무한회미분가능(無限回微分可能)한 함수라 한다. 유한회 미분가능한 함수에 대해서, 평균치 정리를 확장한 다음 정리가 성립한다.

정리 1 (Taylor의 定理) 함수 \(f\) 및 그 처음 \(n\)개의 도함수가 폐구간 \([a,\,b]\)에서 연속이고, 개구간 \((a,\,b)\)에서 제 \(n+1\)차 도함수가 존재한다면, \((a,\,b)\)에서 \[f(b)=f(a)+\frac{(b-a)}{1!}f'(a)+\frac{(b-a)^2}{2!}f''(a)+\cdots+\frac{(b-a)^n}{n!}f^{(n)}(a)+{\rm R}_{n+1}\]단,\[{\rm R}_{n+1}=\frac{(b-1)^{n+1}}{(n+1)!}f^{(n+1)}(\xi),\,a<\xi<b\]인 점 \(\xi\)가 존재한다.

<증명> 함수 \(g\)를

\[g(x)=f(x)+\frac{(b-x)}{1!}f'(a)+\frac{(b-x)^2}{2!}f''(x)+\cdots+\frac{(b-x)^n}{n!}f^{(n)}(x)\]

라 정의하면, \(g\)는 \([a,\,b]\)에 연속이고 \((a,\,b)\)에서 미분가능이다.

그리고

\[\begin{split}g(b)&=f(b)\\g(a)&=f(a)+\frac{(b-a)}{1!}f'(a)+\frac{(b-a)^2}{2!}f''(a)+\cdots+\frac{(b-a)^n}{n!}f^{(n)}(a)\end{split}\]

이다. 또한 함수 \(\rm F\)를

\[{\rm F}(x)=g(x)+\frac{g(b)-g(a)}{(b-a)^{n+1}}(b-x)^{n+1}\]

라 정의하면, \(\rm F\)는 \([a,\,b]\)에서 연속이, \((a,\,b)\)에서 미분가능이며

\[{\rm F}(a)=g(a)+\frac{g(b)-g(a)}{(b-a)^{n+1}}(b-a)^{n+1}=g(b)\]

\[{\rm F}(b)=g(b)={\rm F}(a)\]

이므로, Rolle의 정리에 의해

\[{\rm F}'(\xi)=0,\,a<\xi<b\]

인 점 \(\xi\)가 존재한다. 그런데

\[\begin{align}{\rm F}'(\xi)&=g'(\xi)-\frac{g(b)-g(a)}{(b-a)^{n+1}}(n+1)(b-\xi)^n,\\g'(\xi)&=f'(\xi)+\left\{-f'(\xi)+\frac{(b-\xi)}{1!}f''(\xi)\right\}\\&\qquad\quad\ \,+\left\{-\frac{(b-f)}{1!}f''(\xi)+\frac{(b-f)^2}{2!}f'''(\xi)\right\}+\cdots\\&\qquad\quad\ \,+\left\{-\frac{(b-\xi)^{n-1}}{(n-1)!}f^{(n)}(\xi)+\frac{(b-\xi)^n}{n!}f^{(n+1)}(\xi)\right\}\\&=\frac{(b-\xi)^n}{n!}f^{(n+1)}(\xi)\end{align}\]

이므로

\[\begin{split}{\rm F}'(\xi)&=\frac{(b-\xi)^n}{n!}f^{(n+1)}(\xi)-\frac{g(b)-g(a)}{(b-a)^{n+1}}(n+1)(b-\xi)^n\\&=(n+1)(b-\xi)^n\left\{\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}-\frac{g(b)-g(a)}{(b-a)^{n+1}}\right\}=0\end{split}\]

따라서

\[\begin{align}g(b)-g(a)&=f(b)-\left\{f(a)+\frac{(b-a)}{1!}f'(a)+\frac{(b-a)^2}{2!}f''(a)+\cdots+\frac{(b-a)^n}{n!}f^{(n)}(a)\right\}\\&=\frac{(b-\xi)^{n+1}}{(n+1)!}f^{(n+1)}(\xi)={\rm R}_{n+1},\,a<\xi<b\end{align}\]

이다.

[주의 1] Taylor의 정리에서 \(n=0\)이라 두면 평균치 정리

\[f(b)=f(a)+(b-a)f'(\xi),\,a<\xi<b\]

가 얻어진다. 

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