기계공학 (Mechanical Engineering)

1. 함수  \(f(x)=\begin{cases}\dfrac{x}{1+e^{1\over x}}\ (x\ne0)\\\quad\ 0\quad\ \ \ (x=0)\end{cases}\)의 \(x=0\)에서의 연속성 과 미분가능성 을 조사하여라. < 풀이 > \(\displaystyle\lim_{x\to0}f(x)=\lim_{x\to0}\frac{x}{1+e^{1\over x}}=0=f(0)\) 이므로 \(x=0\)에서 연속이다. \(\displaystyle\lim_{x\to+0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to+0}\frac{1}{1+e^{1\over x}}=0,\,\lim_{x\to-0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to-0}\frac{1}{1+e^{1\over x}}=1\) 따라서 \(x=0\)에서 미분 불가능이다. 2. 다음 함수의 도함수를 구하여라. (1) \(\dfrac{x^3}{(1-x^2)^{3\over2}}\)                    (2) \(\dfrac{\sin{x}-x\cos{x}}{x\sin{x}+\cos{x}}\)          (3) \({\rm Sin}^{-1}\left(\dfrac{1-x}{1+x}\right)\) (4) \(\ln\dfrac{\sqrt{1+x^2}+\sqrt{2}x}{\sqrt{1+x^2}-\sqrt{2}x}\)     (5) \(e^{4^x}\)                               (6) \((\tan{x})^{\sin{x}}\) < 풀이 > (1) \(\left\{\dfrac{x^3}{(1-x^2)^{3\...

충돌 후 차량의 속도와 이상적인 탑승자의 속도를 고려하여 상대 변위에 따른 감속도의 기울기를 OLC( Occupant Load Criterion)로 정의한다. \[\begin{split}&V_v(t)=\int a_x(t)dt+V_o\\&\int_0^{t_1}V_odt=\int_0^{t_1}V_v(t)=0.065\\&\int_{t_1}^{t_2}\left\{V_o-OLC(t-t_1)\right\}dt=\int_{t_1}^{t_2}V_v(t)dt=0.235\\&V_o-OLC(t_2-t_1)=V_v(t_2)\\\\&V_v=\text{차량속도}\\&a_x=\text{차량 }x\text{방향 감가속도}\\&V_o=\text{초기속도}\\&t_1=\text{탑승자와 차량의 상대적 거리가 65mm에 도달하는 시점(자유운동)}\\&t_2=\text{자유운동 후 탑승자와 차량의 상대적 거리가 235mm에 도달하는 시점}\end{split}\]

무리함수를 적분 함에 있어서 적당한 치환 을 하여 유리함수의 적분 으로 변환시킨다. 아래에 적분할 수 있는 모양을 가진 무리함수를 나열한다. 여기서 \({\rm R}(u,\,v)\)는 \(u\)와 \(v\)에 관한 유리식을 나타내는 것으로 한다. [1] \(\displaystyle\int{\rm R}(x,\,\sqrt[n]{ax+b})dx\ (a\ne0)\) \(\sqrt[n]{ax+b}=t\)라 두면 \(x=\dfrac{t^n-b}{a},\,dx=\dfrac{n}{a}t^{n-1}dt\) 이므로 \(\displaystyle\int{\rm R}(x,\,\sqrt[n]{ax+b})dx=\int{\rm R}\left(\frac{t^n-b}{a},\,t\right){n\over a}t^{n-1}dt\) [2] \(\displaystyle\int{\rm R}\left(x,\,\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}\right)dx\ (ad-bc\ne0)\) \(\sqrt[n]{\dfrac{ax+b}{cx+d}}=t\)라 두면 \(x=\dfrac{dt^n-b}{-ct^n+a},\,dx=\dfrac{n(ad-bc)t^{n-1}}{(-ct^n+a)^2}dt\) 이므로 \(\displaystyle\int{\rm R}\left(x,\,\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}\right)dx=\int{\rm R}\left(\frac{dt^n-b}{-ct^n+a},\,t\right)\frac{n(ad-bc)t^{n-1}}{(-ct^n+a)^2}dt\) [ 예제 1 ] 다음 함수 를 적분하여라. (1) \(\dfrac{1}{(x-1)\sqrt{x+2}}\qquad\)(2) \(\sqrt{\dfrac{x-1}{2-x}}\) < 풀이 > (1) \(\sqrt{x+2}=t\)라 두면 \(x=t^2-2,\,dx=2tdt.\) \(\displaystyle\int\frac{dt}{(x-1)\sqrt{x+2}}=2\int\frac{dt}{t^2-3}={1\o...

\(\sin{x}\)와 \(\cos{x}\)에 관한 유리식의 부정적분 계산법을 알아 본다. \({\rm R}(u,\,v)\)는 문자 \(u,\,v\)에 관한 유리식을 나타내는 것으로 한다. 일반적으로 적분 \[\int{\rm R}(\sin{x},\,\cos{x})dx\] 의 계산법을 알아 본다. 먼저 \[\tan{x\over2}=t\] 라 두면 삼각함수 항등식 에 의해 \[\begin{split}\sin{x}&=2\sin{x\over2}\cos{x\over2}=\frac{2t}{1+t^2}\\\cos{x}&=\cos^2{x\over2}-\sin^2{x\over2}=\frac{1-t^2}{1+t^2}\\\tan{x}&=\frac{2\tan\dfrac{x}{2}}{1-\tan^2\dfrac{x}{2}}=\frac{2t}{1-t^2}\end{split}\] 가 얻어진다. 또한 \(x=2{\rm Tan}^{-1}t\) 이므로 미분하면 \[dx={2\over1+t^2}dt\] 이다. 이들을 대입하면 \[\int{\rm R}(\sin{x},\,\cos{x})dx=\int{\rm R}\left(\frac{2t}{1+t^2},\,\frac{1-t^2}{1+t^2}\right)\frac{2}{1+t^2}dx\ (\text{단},\ \tan{x\over2}=t)\] [ 예제 ] 다음 함수 를 적분하여라. \((1)\ \dfrac{1}{\sin{x}}\qquad(2)\ \dfrac{1}{\cos{x}}\qquad(3)\ \dfrac{1}{1-\cos{x}}\qquad(4)\ \dfrac{1}{5+3\sin{x}}\qquad(5)\ \dfrac{\sin{x}}{1+\sin{x}}\) < 풀이 > \(\displaystyle(1)\ \int\frac{dx}{\sin{x}}=\int\frac{1+t^2}{2t}\cdot\frac{2}{1+t^2}dt=\int\frac{dt}{t}=\ln|t|=\ln\left|\tan{x\over2}\right|...

임의의 자연수 \(n\)에 대해서 \(f^{(n)}(x)\)가 존재하는 함수 를 무한회미분가능 (無限回微分可能)한 함수라 한다. 유한회 미분가능한 함수에 대해서, 평균치 정리 를 확장한 다음 정리가 성립한다. 정리 1 (Taylor의 定理) 함수 \(f\) 및 그 처음 \(n\)개의 도함수 가 폐구간 \([a,\,b]\)에서 연속 이고, 개구간 \((a,\,b)\)에서 제 \(n+1\)차 도함수가 존재한다면, \((a,\,b)\)에서 \[f(b)=f(a)+\frac{(b-a)}{1!}f'(a)+\frac{(b-a)^2}{2!}f''(a)+\cdots+\frac{(b-a)^n}{n!}f^{(n)}(a)+{\rm R}_{n+1}\]단,\[{\rm R}_{n+1}=\frac{(b-1)^{n+1}}{(n+1)!}f^{(n+1)}(\xi),\,a<\xi<b\]인 점 \(\xi\)가 존재한다. <증명>  함수 \(g\)를 \[g(x)=f(x)+\frac{(b-x)}{1!}f'(a)+\frac{(b-x)^2}{2!}f''(x)+\cdots+\frac{(b-x)^n}{n!}f^{(n)}(x)\] 라 정의하면, \(g\)는 \([a,\,b]\)에 연속이고 \((a,\,b)\)에서 미분가능이다. 그리고 \[\begin{split}g(b)&=f(b)\\g(a)&=f(a)+\frac{(b-a)}{1!}f'(a)+\frac{(b-a)^2}{2!}f''(a)+\cdots+\frac{(b-a)^n}{n!}f^{(n)}(a)\end{split}\] 이다. 또한 함수 \(\rm F\)를 \[{\rm F}(x)=g(x)+\frac{g(b)-g(a)}{(b-a)^{n+1}}(b-x)^{n+1}\] 라 정의하면, \(\rm F\)는 \([a,\,b]\)에서 연속이, \((a,\,b)\)에서 미분가능이며 \[{\rm F}(a)=g(a)+\fr...

부분적분법 을 이용하여 다음 적분 을 계산해보자. \[{\rm I}_n=\int x^ne^xdx=x^ne^x-n\int x^{n-1}e^xdx=x^ne^x-n{\rm I}_{n-1}\ (n=0,\,1,\,2,\,\cdots)\] 그런데 \[{\rm I}_0=\int x^0e^xdx=\int e^xdx=e^x\] 이므로, 실제로 \({\rm I}_n\)을 구해보면 다음과 같다. \[\begin{align}{\rm I}_n&=x^ne^x-n{\rm I}_{n-1}\\&=x^ne^x-nx^{n-1}e^x+n(n-1){\rm I}_{n-2}\\&=x^ne^x-nx^{n-1}e^x+n(n-1)x^{n-2}e^x-n(n-1)(n-2){\rm I}_{n-3}\\&\qquad\cdots\\&=e^x\{x^ne^x-nx^{n-1}e^x+n(n-1)x^{n-2}e^x+\cdots+(-1)^{n-1}n!x+(-1)^nn!\}\end{align}\] 이 계산에서 이용된 관계식 \[{\rm I}_n=x^ne^x-n{\rm I}_{n-1}\] 를 \({\rm I}_n\)의 점화식 이라 한다. 정수 \(n\)을 품은 복잡한 부정적분을 계산할 때, 부분적분법을 이용하면 점화식을 얻게 되는 경우가 많다. [ 예제 1 ] (1) \(\displaystyle{\rm I}_n=\int\frac{dx}{(x^2+a^2)^n}\)라 하고 다음 점화식을 증명하여라. \(\displaystyle{\rm I}_n={1\over2(n-1)a^2}\left\{\frac{x}{(x^2+a^2)^{n-1}}+(2n-3){\rm I}_{n-1}\right\}\ (n\ne1)\cdot(1)\) (2) \({\rm I}_1,\,{\rm I}_2,\,{\rm I}_3\)를 각각 구하여라. < 풀이 > (1) 부분적분법에 의해서 \(\begin{align}{\rm I}_{n-1}&=\int\frac{dx}{(x^2+a^2)^{n-1}}=\frac{x}{(x^2...

정의 1   함수  \(f\)의 도함수  \(f'\)이 미분가능일 때 \(f'\)의 도함수를  \(f\)의 제2차도함수 라 하며 \(f''\)으로 표시한다. \[f''(x)=\lim_{h\to0}\frac{f'(x+h)-f'(x)}{h}\] \(f''\)이 다시 미분가능이면 그 도함수를 \(f'''\)로 표시하고 \(f\)의 제3차도함수라고 한다. 일반적으로 제\(n-1\)차도함수의 도함수를 제\(n\)차 도함수 라 하고 \(f^{(n)}\)으로 표시한다. \[f^{(n)}=\frac{d}{dx}f^{(n-1)}(x)\] 또한 \(n\)차도함수의 \(x=a\)에서의 함수값 \(f^{(n)}(a)\)를 \(x=a\)에 대한 제\(n\)차미분계수 라 한다. \(n\ge2\)인 경우의 \(f^{(n)}\)을 통틀어서 고차도함수 , \(f^{(n)}(a)\)를 \(x=a\)에 대한 고 차미분계수 라 한다. 함수를 \(y=f(x)\)로 표시하는 경우 고차도함수를 \[\begin{align}&y'',\,y''',\,\cdots,\,y^{(n)}\\&\frac{d^ny}{dx^n}\ \text{혹은}\ \frac{d^n}{dx^n}f(x)\ (n=2,\,3,\,4,\,\cdots)\end{align}\] 등으로 나타낸다. [예제 1]  \(y=x^n\) (\(n\)은 자연수) 이면 \(y'=nx^{n-1},\,y''=n(n-1)x^{n-2},\,y'''=n(n-1)(n-2)x^{n-3},\,\cdots\) \(y^{(n)}=n(n-1)(n-2)\cdots2\cdot1=n!,\,y^{(n+1)}=0\) [예제 2] \(y=\sin{x}\)이면 \(y'=cos{x},\,y''=-\sin{x},\,y'''=-\cos{x},\,y^{(4)}=\s...