기계공학 (Mechanical Engineering)

임의의 자연수 \(n\)에 대해서 \(f^{(n)}(x)\)가 존재하는 함수 를 무한회미분가능 (無限回微分可能)한 함수라 한다. 유한회 미분가능한 함수에 대해서, 평균치 정리 를 확장한 다음 정리가 성립한다. 정리 1 (Taylor의 定理) 함수 \(f\) 및 그 처음 \(n\)개의 도함수 가 폐구간 \([a,\,b]\)에서 연속 이고, 개구간 \((a,\,b)\)에서 제 \(n+1\)차 도함수가 존재한다면, \((a,\,b)\)에서 \[f(b)=f(a)+\frac{(b-a)}{1!}f'(a)+\frac{(b-a)^2}{2!}f''(a)+\cdots+\frac{(b-a)^n}{n!}f^{(n)}(a)+{\rm R}_{n+1}\]단,\[{\rm R}_{n+1}=\frac{(b-1)^{n+1}}{(n+1)!}f^{(n+1)}(\xi),\,a<\xi<b\]인 점 \(\xi\)가 존재한다. <증명>  함수 \(g\)를 \[g(x)=f(x)+\frac{(b-x)}{1!}f'(a)+\frac{(b-x)^2}{2!}f''(x)+\cdots+\frac{(b-x)^n}{n!}f^{(n)}(x)\] 라 정의하면, \(g\)는 \([a,\,b]\)에 연속이고 \((a,\,b)\)에서 미분가능이다. 그리고 \[\begin{split}g(b)&=f(b)\\g(a)&=f(a)+\frac{(b-a)}{1!}f'(a)+\frac{(b-a)^2}{2!}f''(a)+\cdots+\frac{(b-a)^n}{n!}f^{(n)}(a)\end{split}\] 이다. 또한 함수 \(\rm F\)를 \[{\rm F}(x)=g(x)+\frac{g(b)-g(a)}{(b-a)^{n+1}}(b-x)^{n+1}\] 라 정의하면, \(\rm F\)는 \([a,\,b]\)에서 연속이, \((a,\,b)\)에서 미분가능이며 \[{\rm F}(a)=g(a)+\fr...

부분적분법 을 이용하여 다음 적분 을 계산해보자. \[{\rm I}_n=\int x^ne^xdx=x^ne^x-n\int x^{n-1}e^xdx=x^ne^x-n{\rm I}_{n-1}\ (n=0,\,1,\,2,\,\cdots)\] 그런데 \[{\rm I}_0=\int x^0e^xdx=\int e^xdx=e^x\] 이므로, 실제로 \({\rm I}_n\)을 구해보면 다음과 같다. \[\begin{align}{\rm I}_n&=x^ne^x-n{\rm I}_{n-1}\\&=x^ne^x-nx^{n-1}e^x+n(n-1){\rm I}_{n-2}\\&=x^ne^x-nx^{n-1}e^x+n(n-1)x^{n-2}e^x-n(n-1)(n-2){\rm I}_{n-3}\\&\qquad\cdots\\&=e^x\{x^ne^x-nx^{n-1}e^x+n(n-1)x^{n-2}e^x+\cdots+(-1)^{n-1}n!x+(-1)^nn!\}\end{align}\] 이 계산에서 이용된 관계식 \[{\rm I}_n=x^ne^x-n{\rm I}_{n-1}\] 를 \({\rm I}_n\)의 점화식 이라 한다. 정수 \(n\)을 품은 복잡한 부정적분을 계산할 때, 부분적분법을 이용하면 점화식을 얻게 되는 경우가 많다. [ 예제 1 ] (1) \(\displaystyle{\rm I}_n=\int\frac{dx}{(x^2+a^2)^n}\)라 하고 다음 점화식을 증명하여라. \(\displaystyle{\rm I}_n={1\over2(n-1)a^2}\left\{\frac{x}{(x^2+a^2)^{n-1}}+(2n-3){\rm I}_{n-1}\right\}\ (n\ne1)\cdot(1)\) (2) \({\rm I}_1,\,{\rm I}_2,\,{\rm I}_3\)를 각각 구하여라. < 풀이 > (1) 부분적분법에 의해서 \(\begin{align}{\rm I}_{n-1}&=\int\frac{dx}{(x^2+a^2)^{n-1}}=\frac{x}{(x^2...

정의 1   함수  \(f\)의 도함수  \(f'\)이 미분가능일 때 \(f'\)의 도함수를  \(f\)의 제2차도함수 라 하며 \(f''\)으로 표시한다. \[f''(x)=\lim_{h\to0}\frac{f'(x+h)-f'(x)}{h}\] \(f''\)이 다시 미분가능이면 그 도함수를 \(f'''\)로 표시하고 \(f\)의 제3차도함수라고 한다. 일반적으로 제\(n-1\)차도함수의 도함수를 제\(n\)차 도함수 라 하고 \(f^{(n)}\)으로 표시한다. \[f^{(n)}=\frac{d}{dx}f^{(n-1)}(x)\] 또한 \(n\)차도함수의 \(x=a\)에서의 함수값 \(f^{(n)}(a)\)를 \(x=a\)에 대한 제\(n\)차미분계수 라 한다. \(n\ge2\)인 경우의 \(f^{(n)}\)을 통틀어서 고차도함수 , \(f^{(n)}(a)\)를 \(x=a\)에 대한 고 차미분계수 라 한다. 함수를 \(y=f(x)\)로 표시하는 경우 고차도함수를 \[\begin{align}&y'',\,y''',\,\cdots,\,y^{(n)}\\&\frac{d^ny}{dx^n}\ \text{혹은}\ \frac{d^n}{dx^n}f(x)\ (n=2,\,3,\,4,\,\cdots)\end{align}\] 등으로 나타낸다. [예제 1]  \(y=x^n\) (\(n\)은 자연수) 이면 \(y'=nx^{n-1},\,y''=n(n-1)x^{n-2},\,y'''=n(n-1)(n-2)x^{n-3},\,\cdots\) \(y^{(n)}=n(n-1)(n-2)\cdots2\cdot1=n!,\,y^{(n+1)}=0\) [예제 2] \(y=\sin{x}\)이면 \(y'=cos{x},\,y''=-\sin{x},\,y'''=-\cos{x},\,y^{(4)}=\s...

정리 1 \(\int f(t)dt=F(t)\) 이면 \[\begin{split}\int f\{g(x)\}g'(x)dx&=\int f(t)dt\qquad(t=g(x))\\&=F\{g(x)\}\end{split}\] <증명>  \(t=g(x)\)라 놓고 합성함수의 미분법 을 이용하면 \[\frac{d}{dx}F\{g(x)\}=\frac{d}{dx}F(t)\frac{dt}{dx}=f(t)g'(x)=f\{g(x)\}g'(x)\] 따라서 \[\int f\{g(x)\}g'(x)dx=F\{g(x)\}\] 이 공식을 치환적분법 의 공식이라 한다. [예제 1] 다음 함수 를 적분 하여라. \((1)\ x(x^2+1)^2\qquad(2)\ \dfrac{x}{(x^2+2)^n}(n\ne1)\qquad(3)\ \dfrac{x}{\sqrt{2x^2+3}}\) \((4)\ \dfrac{x^3}{\sqrt{x^2+1}}\qquad\ \,(5)\ \dfrac{x}{\sqrt{1-x^4}}\qquad\qquad\quad\ \ (6)\ xe^{x^2}\) \((7)\ \sqrt{\dfrac{3-x}{1+x}}\qquad\ \ \,(8)\ \dfrac{({\rm Sin}^{-1}x)^2}{\sqrt{1-x^2}}\qquad\qquad\quad(9)\ (x^2+1)\sqrt[3]{x^3+3x+1}\) <풀이> \((1)\ x^2+1=t\ \text{라 두면}\ xdx=dt/2\) \(\displaystyle\int x(x^2+1)^2dx={1\over2}\int t^2dt={t^3\over6}={(x^2+1)^3\over6}\) \((2)\ x^2+2=t\ \text{라 두면}\ xdx=dt/2\) \(\displaystyle\int\frac{x}{(x^2+2)^n}dx={1\over2}\int t^{-n}dt=\frac{t^{-n+1}}{2(-n+1)}=-\frac{1}{2...

정의 1 함수 \(f\)의 정의역 \(D_f\) 내의 한 점 \(a\)의 적당한 근방  \((a-\delta,\,a+\delta)\)내의 임의의 점 \(x\)에 대하여 \(a<x\) 이면 \(f(a)<f(x)\) 이고 \(x<a\) 이면 \(f(x)<f(a)\) 일 때 \(f\)는 \(a\)에서 증가상태에 있다고 하며 \(a<x\) 이면 \(f(a)>f(x)\) 이고 \(x<a\) 이면 \(f(x)>f(a)\) 일 때 \(f\)는 감소상태에 있다고 한다. 증가상태 ( 좌 ) 및 감소상태 ( 우 ) 정리 1 함수 \(f\)는 점 \(a\)를 포함하는 구간에서 정의되어 있고, \(f'(a)(\ne0)\)가 존재한다고 한다. \(f'(a)>0\) 이면 \(f(x)\)는 \(a\)에서 증가상태, \(f'(a)<0\) 이면 \(a\)에서 감소상태에 있다. <증명> \(\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(a)\ (\ne0)\) 이므로, \(\epsilon=|f'(a)|\)라 하면, 적당한 \(\delta\)가 존재해서 \(0<|x-a|<\delta\)인 모든 \(x\)에 대해서 \[\left|\frac{f(x)-f(a)}{x-a}-f'(a)\right|<\epsilon=|f'(a)|\ \text{즉,}\,f'(a)-|f'(a)|<\frac{f(x)-f(a)}{x-a}<f'(a)+|f'(a)|\] (i) \(f'(a)>0\) 이면 \[0<\frac{f(x)-f(a)}{x-a}<2f'(a)\] 이므로 \(f(x)-f(a)\)와 \(x-a\)는 동부호가 되며, \(\ \ \,0<x-a<\delta\) 이면 \(f(x)-f(a)>0\), \(-\...