무리함수의 적분

무리함수를 적분함에 있어서 적당한 치환을 하여 유리함수의 적분으로 변환시킨다. 아래에 적분할 수 있는 모양을 가진 무리함수를 나열한다. 여기서 \({\rm R}(u,\,v)\)는 \(u\)와 \(v\)에 관한 유리식을 나타내는 것으로 한다.

[1] \(\displaystyle\int{\rm R}(x,\,\sqrt[n]{ax+b})dx\ (a\ne0)\)

\(\sqrt[n]{ax+b}=t\)라 두면 \(x=\dfrac{t^n-b}{a},\,dx=\dfrac{n}{a}t^{n-1}dt\) 이므로

\(\displaystyle\int{\rm R}(x,\,\sqrt[n]{ax+b})dx=\int{\rm R}\left(\frac{t^n-b}{a},\,t\right){n\over a}t^{n-1}dt\)

[2] \(\displaystyle\int{\rm R}\left(x,\,\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}\right)dx\ (ad-bc\ne0)\)

\(\sqrt[n]{\dfrac{ax+b}{cx+d}}=t\)라 두면 \(x=\dfrac{dt^n-b}{-ct^n+a},\,dx=\dfrac{n(ad-bc)t^{n-1}}{(-ct^n+a)^2}dt\) 이므로

\(\displaystyle\int{\rm R}\left(x,\,\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}\right)dx=\int{\rm R}\left(\frac{dt^n-b}{-ct^n+a},\,t\right)\frac{n(ad-bc)t^{n-1}}{(-ct^n+a)^2}dt\)

[예제 1] 다음 함수를 적분하여라.

(1) \(\dfrac{1}{(x-1)\sqrt{x+2}}\qquad\)(2) \(\sqrt{\dfrac{x-1}{2-x}}\)

<풀이>

(1) \(\sqrt{x+2}=t\)라 두면 \(x=t^2-2,\,dx=2tdt.\)

\(\displaystyle\int\frac{dt}{(x-1)\sqrt{x+2}}=2\int\frac{dt}{t^2-3}={1\over\sqrt{3}}\ln\left|\frac{t-\sqrt{3}}{t+\sqrt{3}}\right|={1\over\sqrt{3}}\ln\left|\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt{3}}{\sqrt{x+2}+\sqrt{3}}\right|\)

(2) \(\sqrt{\dfrac{x-1}{2-x}}=t\)라 두면 \(x=\dfrac{2t^2+1}{t^2+1},\,dx=\dfrac{2t}{(t^2+1)^2}dt.\)

\(\begin{align}\int\sqrt{\frac{x-1}{2-x}}dx&=2\int\frac{t^2}{(t^2+1)^2}dt=2\int\frac{dt}{t^2+1}-2\int\frac{dt}{(t^2+1)^2}\\&=2{\rm Tan}^{-1}t-2\left\{{1\over2}\left(\frac{t}{t^2+1}+{\rm Tan}^{-1}t\right)\right\}={\rm Tan}^{-1}t-\frac{t}{t^2+1}\\&={\rm Tan}^{-1}\sqrt{\frac{x-1}{2-x}}-\sqrt{(x-1)(2-x)}\end{align}\)

점화식 예제 1 참조

[3] \(\displaystyle\int{\rm R}\left(x,\,\sqrt{ax^2+bx+c}\right)dx\ (a>0)\)

\(\sqrt{ax^2+bx+c}+\sqrt{a}x=t\)라 두고 이것을 유리함수의 적분으로 귀착시킨다.

[주의 1] 근호 안이 \(ax^2+bx+c=a(x-\alpha)(x-\beta)\ (\alpha\ne\beta)\)와 같이 인수분해가 되는 경우에는

\(\sqrt{ax^2+bx+c}=\sqrt{a}(x-\beta)\sqrt{\dfrac{x-\alpha}{x-\beta}}\)가 되어, [2]의 경우로 귀착하게 된다. 따라서 \(\sqrt{\dfrac{x-\alpha}{x-\beta}}=t\)라 두면 된다.

[4] \(\displaystyle\int{\rm R}\left(x,\,\sqrt{ax^2+bx+c}\right)dx\ (a<0)\)

이 경우에는 근호 안이 양이어야 하므로 \(ax^2+bx+c=a(x-\alpha)(x-\beta)>0\)

그런데 \(a<0\) 이므로 \(\alpha<x<\beta\) 이다. 그러므로 \(\sqrt{\dfrac{x-\alpha}{\beta-x}}=t\)라 두면 된다.

[예제 2] 다음 함수를 적분하여라.

(1) \(\dfrac{1}{\sqrt{x^2+A}}\qquad\)(2) \(\dfrac{1}{(2+3x)\sqrt{4-x^2}}\qquad\)(3) \(\dfrac{1}{(1-x)\sqrt{1+x+x^2}}\)

<풀이>

(1) \(\sqrt{x^2+A}+x=t\)라 두면 \(x=\dfrac{t^2-A}{2t},\,dx=\dfrac{t^2+A}{2t^2}dt\) 이므로

\(\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+A}}=\int\frac{dt}{t}=\ln|t|=\ln\left|x+\sqrt{x^2+A}\right|\)

(2) \(4-x^2=-(x-2)(x+2)\) 이므로 \(\sqrt{\dfrac{2-x}{x+2}}=t\)라 두면

\(x=\dfrac{2(1-t^2)}{1+t^2},\,dx=\dfrac{-8t}{(1+t^2)^2}dt\).

\(\begin{split}\int\frac{dx}{(2+3x)\sqrt{4-x^2}}&={1\over2}\int\frac{dt}{t^2-2}={1\over4\sqrt{2}}\ln\left|\frac{t-\sqrt{2}}{t+\sqrt{2}}\right|\\&={1\over4\sqrt{2}}\ln\left|\frac{\sqrt{2-x}-\sqrt{2(x+2)}}{\sqrt{2-x}+\sqrt{2(x+2)}}\right|\end{split}\)

(3) \(\sqrt{1+x+x^2}+x=t\)라 두면 \(x=\dfrac{t^2-1}{2t+1},\,dx=\dfrac{2(t^2+t+1)}{(2t+1)^2}dt\)

\(\begin{split}\int\frac{dx}{(1-x)\sqrt{1+x+x^2}}&=-2\int\frac{dt}{t^2-2t-2}=-2\int\frac{dt}{(t-1)^2-3}={1\over\sqrt{3}}\ln\left|\frac{t-1+\sqrt{3}}{t-1-\sqrt{3}}\right|\\&={1\over\sqrt{3}}\ln\left|\frac{\sqrt{1+x+x^2}+x-1+\sqrt{3}}{\sqrt{1+x+x^2}+x-1-\sqrt{3}}\right|\end{split}\)

[5] \(\displaystyle\int{\rm R}\left(x,\,\sqrt{x^2+a^2}\right)dx,\,x=a\tan{t}\)라 둔다.

[6] \(\displaystyle\int{\rm R}\left(x,\,\sqrt{x^2-a^2}\right)dx,\,x=a\sec{t}\)라 둔다.

[7] \(\displaystyle\int{\rm R}\left(x,\,\sqrt{a^2-x^2}\right)dx,\,x=a\sin{t}\)라 둔다.

《문     제》

1. 다음 함수를 적분하여라.

(1) \(\dfrac{\sqrt[4]{x}}{1+\sqrt{x}}\qquad\)(2) \(\sqrt{\dfrac{1-x}{1+x}}\qquad\)(3) \(\dfrac{1}{x\sqrt{1-x}}\)

<풀이>

(1) \(\sqrt[4]{x}=t\)라 두면 \(x=t^4,\,dx=4t^3dt\)

\(\begin{align}\int\frac{\sqrt[4]{x}}{1+\sqrt{x}}dx&=\int\frac{4t^4}{1+t^2}dt=\int\left(4t^2-4+\frac{4}{t^2+1}\right)dt={4t^3\over3}-4t+4{\rm Tan}^{-1}t\\&={4\over3}\sqrt[4]{x^3}-4\sqrt[4]{x}+4{\rm Tan}^{-1}\sqrt[4]{x}\end{align}\)

(2) \(\sqrt{\dfrac{1-x}{1+x}}\)라 두면 \(x=\dfrac{-t^2+1}{t^2+1},\,dx=-\dfrac{4t}{(t^2+1)^2}dt\)

\(\begin{split}\int\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}dx&=\int\frac{-4t^2}{(t^2+1)^2}dt=\int\left\{-\frac{4}{t^2+1}+\frac{4}{(t^2+1)^2}\right\}dt\\&=-4{\rm Tan}^{-1}t+2\left(\frac{t}{t^2+1}+{\rm Tan}^{-1}t\right)=\frac{2t}{t^2+1}-2{\rm Tan}^{-1}t\\&=\sqrt{1-x^2}-2{\rm Tan}^{-1}\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\end{split}\)

(3) \(\sqrt{1-x}=t\)라 두면 \(x=1-t^2, \,dx=-2tdt\)

\(\displaystyle\int\frac{dx}{x\sqrt{1-x}}=\int\frac{2}{t^2-1}dt=\ln\left|\frac{t-1}{t+1}\right|=\ln\left|\frac{\sqrt{1-x}-1}{\sqrt{1-x}+1}\right|\)

2. 다음 함수를 적분하여라.

(1) \(\dfrac{1}{(4+x)\sqrt{4+x^2}}\qquad\)(2) \(\dfrac{1}{x\sqrt{x^2+1}}\qquad\)(3) \(\dfrac{1}{(1-x)\sqrt{1+x^2}}\)

<풀이>

(1) \(\sqrt{4+x^2}=t\)라 두면 \(x=\dfrac{t^2-4}{2t},\,dx=\dfrac{t^2+4}{2t^2}dt\)

\(\begin{split}\int\frac{dx}{(4+x)\sqrt{4+x^2}}&=2\int\frac{dt}{\left\{(t+4)^2-(2\sqrt{5})^2\right\}}={1\over2\sqrt{5}}\ln\left|\frac{t+4-2\sqrt{5}}{t+4+2\sqrt{5}}\right|\\&={1\over2\sqrt{5}}\ln\left|\frac{\sqrt{4+x^2}+x+4-2\sqrt{5}}{\sqrt{4+x^2}+x+4+2\sqrt{5}}\right|\end{split}\)

(2) \(\sqrt{x^2+1}+x=t\)라 두면 \(x=\dfrac{t^2-1}{2t},\,dx=\dfrac{t^2+1}{2t^2}dt\)

\(\displaystyle\int\frac{dx}{x\sqrt{x^2+1}}=2\int\frac{dt}{t^2-1}=\ln\left|\frac{t-1}{t+1}\right|=\ln\left|\frac{\sqrt{x^2+1}-1}{\sqrt{x^2+1}+1}\right|\)

(3) (2)와 동일하게 치환한다.

\(\begin{split}\int\frac{dx}{(1-x)\sqrt{1+x^2}}&=-2\int\frac{dt}{(t-1)^2-(\sqrt{2})^2}={1\over\sqrt{2}}\ln\left|\frac{t-1+\sqrt{2}}{t-1-\sqrt{2}}\right|\\&=\ln\left|\frac{\sqrt{1+x^2}+x-1+\sqrt{2}}{\sqrt{1+x^2}+x-1-\sqrt{2}}\right|\end{split}\)

3. 다음 함수를 적분하여라. \((a>0)\)

(1) \(\dfrac{1}{(1-x^2)^{3\over2}}\qquad\ \ \)(2) \(\dfrac{1}{(x+2)\sqrt{1-x^2}}\qquad\)(3) \(\dfrac{x+1}{(x^2+4)\sqrt{x^2+4}}\qquad\)

(4) \(\dfrac{a^2}{(a^2+x^2)^{3\over2}}\qquad\)(5) \(\dfrac{\sqrt{x^2-a^2}}{x^4}\)

<풀이>

(1) \(1-x^2=-(x+1)(x-1)\) 이므로 \(-1<x<1\) 이다. 따라서

\(\sqrt{\dfrac{x+1}{1-x}}=t\)로 두면 \(x=\dfrac{t^2-1}{t^2+1},\,dx=\dfrac{4t}{(t^2+1)^2}dt\)

\(\displaystyle\int\frac{dx}{(1-x^2)^{3\over2}}={1\over2}\int\left(1+{1\over t^2}\right)dt={1\over2}\left(t-{1\over t}\right)=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\)

(2) 

[해법 1] (1)과 동일하게 치환한다.

\(\displaystyle\int\frac{dx}{(x+2)\sqrt{1-x^2}}={2\over3}\int\frac{dt}{t^2+\left({1\over\sqrt{3}}\right)^2}={2\over\sqrt{3}}{\rm Tan}^{-1}(\sqrt{3}t)={2\over\sqrt{3}}{\rm Tan}^{-1}\sqrt{\frac{3(x+1)}{1-x}}\)

[해법 2] \(x=\sin{t}\)로 두면 \(dx=\cos{t}dt\)

\(\displaystyle\int\frac{dx}{(x+2)\sqrt{1-x^2}}=\int\frac{dt}{\sin{t}+2}\)

다시 \(s=\tan\dfrac{t}{2}\)로 두면 \(sin{t}=\dfrac{2s}{1+s^2},\,dt=\frac{2}{1+s^2}ds\)

\(\begin{split}\int\frac{dt}{\sin{t}+2}&=\int\frac{ds}{\left(s+{1\over2}\right)^2+\left({\sqrt{3}\over2}\right)^2}={2\over\sqrt{3}}{\rm Tan}^{-1}\frac{2s+1}{\sqrt{3}}={2\over\sqrt{3}}{\rm Tan}^{-1}\frac{2\tan{t\over2}+1}{\sqrt{3}}\\&={2\over\sqrt{3}}{\rm Tan}^{-1}\frac{x+2-2\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{3}x}\end{split}\)

[주의 2] 해법 1과 2의 부정적분을 각각 \({\rm I}_1(x),\,{\rm I}_2(x)\)라 하면 아래 그림과 같이 \({\rm I}_1(x)-{\rm I}_2(x)=C=0.604\cdots\) 이므로 모두 주어진 함수의 부정적분이다.

(3) \(x=2\tan{t}\)로 두면 \(dx=2\sec^2{t}dt\)

\(\displaystyle\int\frac{x+1}{(x^2+4)\sqrt{x^2+4}}={1\over4}\int(2\sin{t}+\cos{t})dt=-{1\over2}\cos{t}+{1\over4}\sin{t}=\frac{x-4}{4\sqrt{x^2+4}}\)

(4) \(x=a\tan{t}\)로 두면 \(dx=a\sec^2tdt\)

\(\displaystyle\int\frac{a^2}{(a^2+x^2)^{3\over2}}dx=\int\cos{t}dt=\sin{t}=\frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}\)

(5) \(\displaystyle\int\frac{\sqrt{x^2-a^2}}{x^4}dx=-\frac{\sqrt{x^2-a^2}}{3x^3}+\int\frac{dx}{3x^2\sqrt{x^2-a^2}}\)

여기서 \(x=a\sec{t}\)로 두면 \(dx=a\dfrac{\sin{t}}{\cos^2t}dt\)

\(\displaystyle\int\frac{dx}{x^2\sqrt{x^2-a^2}}={1\over a^2}\int\cos{t}dt={1\over a^2}\sin{t}=\frac{\sqrt{a^2-a^2}}{a^2x}\)

따라서

\(\displaystyle\int\frac{\sqrt{x^2-a^2}}{x^4}dx=-\frac{\sqrt{x^2-a^2}}{3x^3}+\frac{\sqrt{x^2-a^2}}{3a^2x}=\frac{(x^2-a^2)^{3\over2}}{3ax^3}\)