삼각함수 유리식의 적분

\(\sin{x}\)와 \(\cos{x}\)에 관한 유리식의 부정적분 계산법을 알아 본다. \({\rm R}(u,\,v)\)는 문자 \(u,\,v\)에 관한 유리식을 나타내는 것으로 한다.

일반적으로 적분

\[\int{\rm R}(\sin{x},\,\cos{x})dx\]

의 계산법을 알아 본다. 먼저

\[\tan{x\over2}=t\]

라 두면 삼각함수 항등식에 의해

\[\begin{split}\sin{x}&=2\sin{x\over2}\cos{x\over2}=\frac{2t}{1+t^2}\\\cos{x}&=\cos^2{x\over2}-\sin^2{x\over2}=\frac{1-t^2}{1+t^2}\\\tan{x}&=\frac{2\tan\dfrac{x}{2}}{1-\tan^2\dfrac{x}{2}}=\frac{2t}{1-t^2}\end{split}\]

가 얻어진다. 또한 \(x=2{\rm Tan}^{-1}t\) 이므로 미분하면

\[dx={2\over1+t^2}dt\]

이다. 이들을 대입하면

\[\int{\rm R}(\sin{x},\,\cos{x})dx=\int{\rm R}\left(\frac{2t}{1+t^2},\,\frac{1-t^2}{1+t^2}\right)\frac{2}{1+t^2}dx\ (\text{단},\ \tan{x\over2}=t)\]

[예제] 다음 함수를 적분하여라.

\((1)\ \dfrac{1}{\sin{x}}\qquad(2)\ \dfrac{1}{\cos{x}}\qquad(3)\ \dfrac{1}{1-\cos{x}}\qquad(4)\ \dfrac{1}{5+3\sin{x}}\qquad(5)\ \dfrac{\sin{x}}{1+\sin{x}}\)

<풀이>

\(\displaystyle(1)\ \int\frac{dx}{\sin{x}}=\int\frac{1+t^2}{2t}\cdot\frac{2}{1+t^2}dt=\int\frac{dt}{t}=\ln|t|=\ln\left|\tan{x\over2}\right|\)

\(\displaystyle(2)\ \int\frac{dx}{\cos{x}}=\int\frac{1+t^2}{1-t^2}\cdot\frac{2}{1+t^2}dt=2\int\frac{dt}{1-t^2}=\ln\left|\frac{t+1}{t-1}\right|=\ln\left|\frac{\tan\dfrac{x}{2}+1}{\tan\dfrac{x}{2}-1}\right|\)

\(\displaystyle\qquad\qquad\quad\ \,=\ln\left|\tan\left({x\over2}+{\pi\over4}\right)\right|\)

\(\displaystyle (3)\ \int\frac{dx}{1-\cos{x}}=\int\frac{1}{1-\dfrac{1-t^2}{1+t^2}}\cdot\frac{2}{1+t^2}dt=\int\frac{dt}{t^2}=-{1\over t}=-\cot{x\over2}\)

\(\displaystyle(4)\ \int\frac{dx}{5+3\sin{x}}=\int\frac{1}{5+\dfrac{6t}{1+t^2}}\cdot\frac{2}{1+t^2}dt=\int\frac{2}{5t^2+6t+5}dt\)

\(\displaystyle\qquad\qquad\qquad\quad\ \,\,={2\over5}\int\frac{dt}{\left(t+\dfrac{3}{5}\right)^2+\left(\dfrac{4}{5}\right)^2}={1\over2}{\rm Tan}^{-1}\left({5\over4}t+{3\over4}\right)\)

\(\displaystyle\qquad\qquad\qquad\quad\ \,\,={1\over2}{\rm Tan}^{-1}\left({5\over4}\tan{x\over2}+{3\over4}\right)\)

\(\displaystyle(5)\ \int\frac{\sin{x}}{1+\sin{x}}=\int\frac{\dfrac{2t}{1+t^2}}{1+\dfrac{2t}{1+t^2}}\cdot\frac{2}{1+t^2}dt=2\int\left\{\frac{1}{1+t^2}-\frac{1}{(1+t)^2}\right\}dt\)

\(\displaystyle\qquad\qquad\qquad\quad=2\left({\rm Tan}^{-1}t+\frac{1}{1+t}\right)=x+\frac{2}{1+\tan\dfrac{x}{2}}\)

《문     제》

1. 다음 함수를 적분하여라.

\(\displaystyle(1)\ \frac{\sin{x}}{(1+\cos{x})^3}\qquad(2)\ \frac{1}{1+\tan{x}}\qquad(3)\ \frac{\sin{x}}{3+\tan^2{x}}\)

<풀이>

\(\begin{align}(1)\ \int\frac{\sin{x}}{(1+\cos{x})^3}dx=-\int\frac{d(\cos{x})}{(1+\cos{x})^3}=\frac{1}{2(1+\cos{x})^2}\end{align}\)

\(\begin{align}(2)\ \int\frac{dx}{1+\tan{x}}&=\int\frac{\sec^2x}{(\tan{x}+1)(\tan^2x+1)}dx=\int\frac{dt}{(t+1)(t^2+1)}\\&={1\over2}\int\frac{dt}{t+1}-{1\over4}\int\frac{2t}{t^2+1}dt+{1\over2}\int\frac{dt}{t^2+1}\\&=\frac{\ln|t+1|}{2}-\frac{\ln(t^2+1)}{4}+\frac{{\rm Tan}^{-1}t}{2}\\&={1\over2}(x+\ln|1+\tan{x}|-\ln|\sec{x}|)\end{align}\)

\(\begin{align}(3)\ \int\frac{\sin{x}}{3+\tan^2x}dx&=\int\frac{\cos^2{x}}{1+2\cos^2x}\sin{x}dx=-\int\frac{t^2}{2t^2+1}dt\\&=\int\left[-{1\over2}+\frac{1}{4\left\{t^2+\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^2\right\}}\right]dx=-{t\over2}+{\sqrt{2}\over2}{\rm Tan}^{-1}(\sqrt{2}t)\\&=-{\cos{x}\over2}+{\sqrt{2}\over2}{\rm Tan}^{-1}(\sqrt{2}\cos{x})\end{align}\)

3. 다음 함수를 적분하여라.

\(\displaystyle(1)\ \frac{1}{1+\cos{x}}\qquad(2)\ \frac{1}{2\sin{x}+3\cos{x}+4}\qquad(3)\ \frac{2-\sin{x}}{2+\cos{x}}\)

<풀이>

\(\begin{align}(1)\ \int\frac{dx}{1+\cos{x}}=\int\frac{1}{1+\dfrac{1-t^2}{1+t^2}}\cdot\frac{2}{1+t^2}dt=\int dt=t=\tan{x\over2}\end{align}\)

\(\begin{align}(2)\ \int\frac{dx}{2\sin{x}+3\cos{x}+4}=&\int\frac{1}{2\left(\dfrac{2t}{1+t^2}\right)+3\left(\dfrac{1-t^2}{1+t^2}\right)+4}\cdot\frac{2}{1+t^2}dt\\&=2\int\frac{dt}{(t+2)^2+(\sqrt{3})^2}={2\over\sqrt{3}}{\rm Tan}^{-1}\frac{t+2}{\sqrt{3}}\\&={2\over\sqrt{3}}{\rm Tan}^{-1}\frac{\tan\dfrac{x}{2}+2}{\sqrt{3}}\end{align}\)

\(\begin{align}(3)\ \int\frac{2-\sin{x}}{2+\cos{x}}dx&=2\int\frac{dx}{2+\cos{x}}-\int\frac{\sin{x}}{2+\cos{x}}dx\\&=2\int\frac{1}{2+\dfrac{1-t^2}{1+t^2}}\cdot\frac{2dt}{1+t^2}+\int\frac{d(\cos{x})}{2+\cos{x}}\\&=4\int\frac{dt}{t^2+(\sqrt{3})^2}+\ln|2+\cos{x}|={4\over\sqrt{3}}{\rm Tan}^{-1}{t\over\sqrt{3}}+\ln|2+\cos{x}|\\&={4\over\sqrt{3}}{\rm Tan}^{-1}\frac{\tan\dfrac{x}{2}}{\sqrt{3}}+\ln|2+\cos{x}|\end{align}\)