기계공학 (Mechanical Engineering)

입체의 체적(부피)를 정적분 을 이용하여 구하는 방법을 알아본다. 정리 1   입체와 직선 \(g\)가 있고 \(g\) 상에 주어진 좌표 \((x)\)에 대하여 \(g\) 상에 좌표 \(x\)인 점 \(\rm P\)를 통하고 \(g\)에 수직인 평면으로 입체를 절단할 때 절단면의 면적을 \({\rm S}(x)\)라 하자. 이 때 \({\rm S}(x)\)가 \(x\)의 연속함수 라면, 이 입체의 부피는 \[{\rm V}=\int_a^b{\rm S}(x)dx\]로 주어진다. <증명>   \(g\) 상의 점 \(x\)와 \(x+\Delta{x}\)를 통하는 \(g\)에 수직인 두 평면으로 입체를 절단하여 그림 1 처럼 얇은 판모양의 입체를 만들자. 이 때 얇은 판모양의 입체의 부피는 \[\Delta{\rm V}\fallingdotseq{\rm S}(x)dx\] 에 근사하다. 따라서 정적분의 성질에 의하여 입체 부피 \(rm V\)는 \[{\rm V}=\int_a^b{\rm S}(x)dx\] 가 된다. 그림 1 [예제 1] 타원면 \[\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\ (a,\,b,\,c>0)\] 으로 싸인 타원체의 부피를 구하여라. <풀이> 이 타원체를 그림 2와 같이 표시한 부분은 전체의 \(1/8\)이다. 여기서 점 \((x,\,0,\,0)\)을 지나고 \(x\)축에 수직인 평면으로 절단된 부분은 타원의 \(1/4\)로서 그 타원의 방정식은 \[\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1-\frac{x^2}{a^2}\] 이것을 변형하면 \[\frac{y^2}{\left(b\sqrt{1-x^2/a^2}\right)^2}+\frac{z^2}{\left(c\sqrt{1-x^2/a^2}\right)^2}=1\] 이것으로부터 절단부분의 넓이를 구하면 타원의 \(1/4\) 이므로 \[...

1개의 직선상에 \(n\)개의 점 \({\rm P}_1(x_1),\,{\rm P}_2(x_2),\,\cdots,\,{\rm P}_n(x_n)\)에 각각 질량 \(m_1,\,m_2,\,\cdots,\,m_n\)이 주어져 있을 때, 좌표 \[\overline{x}=\frac{m_1x_1+m_2x_2+\cdots+m_nx_n}{m_1+m_2+\cdots+m_n}\] 을 갖는 점 \({\rm G}(\overline{x})\)를 이 질점계의 중심(重心) 이라 한다. 이 때 \(\overline{x}\)는 질량 \(m_1,\,m_2,\,\cdots,\,m_n\)을 갖는 \(x_1,\,x_2,\,\cdots,\,x_n\)의 가중평균치 이다. 그림 1 평면상에 \(n\)개의 점 \({\rm P}_1(x_1,\,y_1),\,{\rm P}_2(x_2,\,y_2),\,\cdots,\,{\rm P}_n(x_n,\,y_n)\)에 각각 질량 \(m_1,\,m_2,\,\cdots,\,m_n\)이 주어져 있을 때, 좌표 \[\begin{align}\overline{x}&=\frac{m_1x_1+m_2x_2+\cdots+m_nx_n}{m_1+m_2+\cdots+m_n}\\\overline{y}&=\frac{m_1y_1+m_2y_2+\cdots+m_ny_n}{m_1+m_2+\cdots+m_n}\end{align}\] 을 갖는 점 \({\rm G}(\overline{x},\,\overline{y})\)를 이 질점계의 중심 이라 한다. 공간의 \(n\)개의 점 \({\rm P}_1(x_1,\,y_1,\,z_1),\,{\rm P}_2(x_2,\,y_2,\,z_2),\,\cdots,\,{\rm P}_n(x_n,\,y_n,\,z_n)\)에 각각 질량 \(m_1,\,m_2,\,\cdots,\,m_n\)이 주어져 있을 때, 좌표 \[\begin{align}\overline{x}&=\frac{m_1x_1+m_2x_2+\cdots+m_nx_n}{m_1+m_2+\cdots+m_n}...

  함수 \(f(x,\,y)\)에 대해서, \(f(tx,\,ty)=t^nf(x,\,y)\) (\(t\)는 \(0\)이 아닌 실수)이면, \(f\)를 \(x,\,y\)의 \(n\)차 동차함수(同次函數)라 한다. \(f\)가 \(x,\,y\)의 \(n\)차 동차함수이면 \[\left(x\frac{\partial}{\partial x}+y\frac{\partial}{\partial y}\right)^kf(x,\,y)=n(n-1)\cdots(n-k+1)f(x,\,y)\] 임을 증명하여라. <증명> \(u=tx,\,v=ty\)라 두면 \(f(tx,\,ty)=f(u,\,v)=t^n(x,\,y)=g(t)\)가 된다. 양변을 \(t\)로 미분하면 합성함수의 편미분법 정리 1에 의해 \[g'(t)=\frac{\partial f}{\partial x}u'(t)+\frac{\partial f}{\partial y}v'(t)=\left(x\frac{\partial}{\partial u}+y\frac{\partial}{\partial v}\right)f(u,\,v)=nt^{n-1}f(x,\,y)\] 이다. 이 식의 양변을 \(t\)로 계속 미분하면 \[g^{(n)}(t)=\left(x\frac{\partial}{\partial u}+y\frac{\partial}{\partial v}\right)^kf(u,\,v)=n(n-1)\cdots(n-k+1)t^{n-k}f(x,\,y)\] \(t=1\)로 놓으면 \(u=x,\,v=y\) 이므로 증명되었다.

\(n\)개의 수 \(y_1,\,y_2,\,\cdots,\,y_n\)의 평균치(平均値)는 \[\frac{y_1+y_2+\cdots+y_n}{n}\] 이다. 또 \(n\)개의 수 \(y_1,\,y_2,\,\cdots,\,y_n\)에 대하여 양수 \(w_1,\,w_2,\,\cdots,\,w_n\)이 대응되었을 때 \[\frac{w_1y_1+w_2y_2+\cdots+w_ny_n}{w_1+w_2+\cdots+w_n}\] 을 무게 \(w_1,\,w_2,\,\cdots,\,w_n\)을 가지는 \(y_1,\,y_2,\,\dots,\,y_n\)의 가중평균치(加重平均値)라 한다. 특히, \(w_1=w_2=\cdots=w_n\) 이면 가중평균치는 보통의 평균치와 일치한다. 이 생각을 확장하여 함수 의 평균치를 정의한다. 구간  \([a,\,b]\)에 연속 인 함수 \(f(x)\)와 양의 연속인 함수 \(w(x)\)가 주어져 있다고 하자. 구간 \([a,\,b]\)를 \[a=x_0<x_1<x_2<\cdots<x_{n-1}<x_n=b\] 로 분할하여, 이 분할을 \(\Delta\)라 하자. \(\Delta\)의 소구간 \([w_{i-1},\,w_i]\)의 내부에서 임의의 수 \(\xi_i\)을 택하자. 즉, \(x_{i-1}<\xi_i<x_i\) 이다. 지금 \(n\)개의 수 \[f(\xi_1),\,f(\xi_2),\,\cdots,\,f(\xi_n)\] 에 각각 무게 \[w(\xi_1)(x_1-x_0),\,w(\xi_2)(x_2-x_1),\,\cdots,\,w(\xi_n)(x_n-x_{n-1})\] 를 가지는 가중평균은 \[{\rm M}_n=\frac{w(\xi_1)(x_1-x_0)f(\xi_1)+w(\xi_2)(x_2-x_1)f(\xi_2)+\cdots+w(\xi_n)(x_n-x_{n-1})f(\xi_n)}{w(\xi_1)(x_1-x_0)+w(\xi_2)(x_2-x_1)+\cdots+w(\xi_n)(x_n-x_{n-1})}\] ...

정의 1 영벡터 가 아닌 두개의 벡터 \({\bf a},\,\bf b\)가 주어져 있을 때, 임의의 점 \(\rm O\)를 시점으로하고, \({\bf a}={\rm OA},\,{\bf b}={\rm OB}\)를 만들어, \(\theta=\angle{\rm AOB}(0\le\theta\le\pi)\)를 벡터 \(\bf a\)와 \(\bf b\)가 이루는 각(角)이라 한다. 이 때, \(\bf|a|\cdot|b|\cos\theta\)를 \({\bf a},\,{\bf b}\)의 내적(內積) 또는 스칼라적 이라 하고, \(({\bf a},\,{\bf b})\) 또는 \(\bf a\cdot b\)로 나타낸다. \(\bf a\)와 \(\bf b\) 중, 어느 하나가 영벡터일 때는, \(({\bf a},\,{\bf b})=0\)로 정한다. 정리 1 (벡터의 길이, 수직, 평행의 내적표시) (i) \(({\bf a},\,{\bf a})=|\bf a|^2\)                   (ii) \({\bf a},\,{\bf b}\)가 영벡터가 아닐 때, \({\bf a}\perp{\bf b}\Leftrightarrow({\bf a},\,{\bf b})=0\) \({\bf a}\parallel{\bf b}\Leftrightarrow({\bf a},\,{\bf b})=\pm\bf|a||b|\) [ 예제 1 ] 단위벡터 \({\bf n}=(0.4,\,0.6,\,0.693)\)에 수직인 단위벡터 \(\bf s\)를 구하여라. 단, \(\bf s\)의 \(z\) 방향 성분은 '\(0\)' 이다. < 풀이 > \({\bf s}=(x,\,y,\,z)\)이라 하면 \(z=0\)에 수직이므로 \({\bf n\cdot s}=0.4x+0.6y=0\). 또한 단위벡터이므로 \(x^2+y^2=1\).  따라서 \(x=0.832,\,...

2변수 함수 \(f(x,\,y)\)가 연속 인 편도함수 \(f_x\)와 \(f_y\)를 갖는다고 하자. 방정식 \[z=f(x,\,y)\] 는 공간에 대한 곡면을 표시하고, 이 곡면 상의 임의의 점을 \((x,\,y,\,z)\)라 하면 \((x,\,y,\,z)=(x,\,y,\,f(x,\,y))\) 이다. 이 곡면 상의 점 \((a,\,b,\,f(a,\,b))\)를 지나는 평면 \(y=b\)와 \(x=a\)에 의해 이 곡면을 절단하는 단면의 곡선을 각각 \(\rm C_1,\,C_2\)라 한다. \[\begin{gather}f_x(a,\,b)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h,\,b)-f(a,\,b)}{h}\\f_y(a,\,b)=\lim_{h\to0}\frac{f(a,\,b+h)-f(a,\,b)}{h}\end{gather}\] 이므로, 점 \({\rm P}(a,\,b,\,c),\,(c=f(a,\,b))\)에서 곡선 \(\rm C_1\)의 접선의 방향비 는 \((1,\,0,\,f_x(a,\,b))\) 곡선 \(\rm C_2\)의 접선의 방향비는 \((0,\,1,\,f_y(a,\,b))\) 이다. 여기서 \(\rm P\)에 대한 \(\rm C_1,\,C_2\)의 접선을 포함하는 평면을 구해 보자. 우선 점 \({\rm P}(a,\,b,\,c)\)를 지나는 평면은 일반적으로 \[l(x-a)+m(y-b)+n(z-c)=0\] 이고, \(l,\,m,\,n\)이 평면에 수직인 직선의 방향비이다. 따라서 \(\rm C_1,\,C_2\)의 접선이 이 평면 안에 있기 위해서는, 직교조건에 의해 \[\begin{gather}1\cdot l+0\cdot m+f_x(a,\,b)\cdot n=0\\0\cdot l+1\cdot m+f_y(a,\,b)\cdot n=0\end{gather}\] 이어야 한다. 이것으로부터 \(l,\,m,\,n\)의 비를 구하면 \[l:m:n=f_x(a,\,b):f_y(a,\,b):-1\] 이 된다. 따라서 구하는 평면의 방정식은 \[z-c=f_...

평면상 또는 공간에서 곡선호 \(\rm PQ\)의 길이를 구하는 방법을 생각해 보자. 호 위에 아래 그림과 같이 점 \({\rm P=P}_0,\,{\rm P}_1,\,{\rm P}_2,\,\cdots,\,{\rm P}_{n-1},\,{\rm P}_n={\rm Q}\)로서 \(\rm PQ\)의 분할 \(\Delta\)를 만들자. 이 경우 \(n\)개의 현 \[\overline{\rm P_0P_1},\,\overline{\rm P_1P_2},\,\cdots,\,\overline{{\rm P}_{n-1}{\rm P}_n}\] 의 길이를 각각 \[l_1,\,l_2,\,\cdots,\,l_n\] 으로 두고 그 합 \[l_n=\sum_{i=1}^nl_i=l_1+l_2+\cdots+l_n\] 을 생각하자. 분할 \(\Delta\)에서 각 현 \({\rm P}_{i-1}{\rm P}_i\)의 길이 \(l_i\)가 \(l_i\to0\) 되도록 분점의 개수를 무한히 증가시키면 극한치 \[\lim_{n\to\infty}l_n=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^nl_i=\rm L\] 가 얻어진다. 이 극한치 \(\rm L\)를 곡선호 \(\rm PQ\)의 길이 라고 한다. 정리 1 평면상의 곡선 호의 길이    방정식 \(y=f(x)\ (a\le x\le b)\)로 표시되는 곡선호 \(\rm AB\)의 길이는 \[{\rm L}=\int_a^b\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}dx\]로 주어진다. < 증명 > \(x\)축상의 구간  \([a,\,b]\)의 분할 \(\Delta\)를 만들어 그 분점을 \[a=x_0<x_1<\cdots<x_{n-1}<x_n=b\] 로 두자. 이것에 대응하여 \(\rm AB\) 상에 \(n+1\)개의 점을 \[{\rm A=P}_0(x_0,\,f(x_0)),\,{\rm P}_1(x_1,\,f(x...