2변수함수의 극대ㆍ극소
정의 1 (극대ㆍ극소) 함수 \(f(x,\,y)\)가 있어서 점 \((a,\,b)\)의 근방 의 임의의 점 \((x,\,y)\)에 대하여 \[\begin{split}f(x,\,y)<f(a,\,b)\text{이면}\ f\text{는}\ (a,\,b)\text{에서}\ {\bf 극대(極大)}\\f(x,\,y)>f(a,\,b)\text{이면}\ f\text{는}\ (a,\,b)\text{에서}\ {\bf 극소(極小)}\end{split}\] 라 하며, \(f(a,\,b)\)를 각각 극대치(極大値) 및 극소치(極小値) 라고 한다. 극대치와 극소치를 합쳐서 극치(極値) 라 한다. 정리 1 편미분가능 한 함수 \(f(x,\,y)\)가 점 \((a,\,b)\)에서 극치를 가지면 \(f_x(a,\,b)=f_y(a,\,b)=0\) 이다. <증명> \(f\)가 \((a,\,b)\)에서 극치를 갖는다면, 직선 \(y=b\) 상에서 생각한 함수 \(f(x,\,b)\)는 \(x=a\)에서 극치를 갖는다. 따라서 \(f_x(a,\,b)=0\). 같은 방법으로, 직선 \(x=a\) 상에서 생각한 함수 \(f(a,\,y)\)도 \(y=b\)에서 극치를 가지므로 \(f_y(a,\,b)=0\) 이다. [ 주의 ] \(f_x(x,\,y)=f_y(x,\,y)=0\)의 근이 모두 극치를 준다고 말할 수 없다. 또 한편 미분계수가 존재하지 않는 점에서도 극치를 가질 수 있다. 정리 2 함수 \(f(x,\,y)\)가 점 \((a,\,b)\)에서 \(f_x(x,\,y)=f_y(x,\,y)=0\)을 만족한다고 하자. \[{\rm D}=f_{xy}(a,\,b)^2-f_{xx}(a,\,b)f_{yy}(a,\,b)\]라 둘 때 (i) \({\rm D}<0,\,f_{xx}(a,\,b)>0\) 이면 \(f...