기계공학 (Mechanical Engineering)

2변수함수 \(z=f(x,\,y)\)의 편도함수  \(f_x,\,f_y\)는 역시 \(x,\,y\)에 관한 함수 이다. 이 함수의 편도함수가 또 다시 존재하면 이것을 주어진 함수 \(z=f(x,\,y)\)의 제2차편도함수(第二次偏導函數)라 하고 다음과 같은 기호로 표시한다. \[\begin{split}&\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)=\frac{\partial^2f}{\partial x^2}\ \ \,=f_{xx}=z_{xx},\qquad\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)=\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}=f_{xy}=z_{xy}\\&\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)=\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}=f_{yx}=z_{yx},\qquad\,\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)=\frac{\partial^2f}{\partial y^2}\ \ \,=f_{yy}=z_{yy}\end{split}\] [예제1] \(f(x,\,y)={\rm Tan}^{-1}\dfrac{y}{x}\) (단, \(x\ne0\))의 제2차편도함수를 구하여라. <풀이> \(\dfrac{\partial f}{\partial x}=-\dfrac{y}{x^2+y^2},\,\dfrac{\partial f}{\partial y}=-\dfrac{x}{x^2+y^2}\) 이므로 \(\dfrac{\partial^2f}{\partial x^2}=\dfrac{2xy}{(x^2+y^2)^2},\,\dfrac{\partial^2f}{\part...

다음 적분 \[\Gamma(s)=\int_0^\infty x^{s-1}e^{-x}dx\qquad(s>0)\] 은 상한에 관해서 무한적분 이고, 하한에 관해서는 특이적분 이다. 이 적분은 \(s>0\)을 만족하는 임의의 실수 \(s\)에 대해서 항상 존재한다는 것이 알려져 있다. 각각의 \(s\)의 값에 대해서 이 적분의 값 \(\Gamma(s)\)를 대응시키면 하나의 함수 \(\Gamma(s)\)를 생각할 수 있다. 이 \(s\)의 함수 \(\Gamma(s)\)를 감마함수라 한다. \[\Gamma(s+1)=\int_0^\infty x^se^{-x}dx=[-x^se^{-x}]_0^\infty+s\int_0^\infty x^{s-1}e^{-x}dx=s\Gamma(s)\] 또 \(\Gamma(1)\)를 구하면 \[\Gamma(1)=\int_0^\infty e^{-x}dx=[-e^{-x}]_0^\infty=1\] 위의 두 식을 이용하면 양의 정수 \(n\)에 대하여 \[\Gamma(n+1)=n\Gamma(n)=n(n-1)\Gamma(n-1)=\cdots=n!\Gamma(1)\] 따라서 다음 공식을 얻는다. \[\Gamma(n+1)=n!\qquad(n=0,\,1,\,2,\,\cdots)\]

1. 다음 함수 의 원점 \((0,\,0)\)에서의 편미분계수 를 구하여라. (1) \(f(x,\,y)=\sqrt{|xy|}\)          (2) \(f(x,\,y)=\sqrt{x^2+y^2}\)          (3) \(f(x,\,y)=\begin{cases}\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}&(x,\,y)\ne(0,\,0)\\0&(x,\,y)=(0,\,0)\end{cases}\) < 풀이 > (1) \(f_x(0,\,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(h,\,0)-f(0,\,0)}{h}=0,\,f_y(0,\,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(0,\,h)-f(0,\,0)}{h}=0\) (2) \(f_x(0,\,0)=\lim_{n\to\pm0}\frac{f(h,\,0)-f(0,\,0)}{h}=\pm1,\,f_y(0\,0)=\lim_{h\to\pm0}\frac{f(0,\,h)-f(0,\,0)}{h}=\pm1\)      ∴ 원점에서는 편미분계수가 존재하지 않는다. (3) \(f_x(0,\,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(h,\,0)-f(0,\,0)}{h}=0,\,f_y(0,\,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(0,\,h)=f(0,\,0)}{h}=0\) 2. 다음 함수를 편미분하여라. (1) \(f(x,\,y)=x^2+3xy^2-2x+4y+3\) (2) \(f(x,\,y)=x^3+3x^2y-y^3\)          (3) \(f(x,\,y)=2x+ye^{-x}\) (4) \(f(x,\,y)=\sqrt{x^2+xy+y^2}\)         (5) \(f(x,\,y)={\rm Sin}^{-1}{x\over y}\) (6) \(f(x,\,y)={\rm Tan}^{-1}\frac{x+y}{...

함수 \(f(x)\)는 반무한구간 \([a,\,\infty)\)에서 연속 이고, 양수 \(T\)를 취하여 극한 \(\lim_{T\to\infty}\int_a^Tf(x)dx\)가 존재할 때 이것을 다음 기호로 나타낸다. \[\int_a^\infty f(x)dx=\lim_{T\to\infty}\int_a^Tf(x)dx\cdots(1)\] 이 때 무한적분 \(\int_a^\infty f(x)dx\)는 존재한다 또는 수렴한다라 한다. 만일 윗 식 우변의 극한이 존재하지 않으면, 이 무한적분은 존재하지 않는다 또는 발산한다라 한다. 그림 1 마찬가지로 다른 형의 무한적분도 각각 다음과 같이 정의한다. \[\begin{split}&\int_{-\infty}^bf(x)dx=\lim_{T\to-\infty}\int_T^bf(x)dx&\cdots(2)\\&\int_{-\infty}^\infty f(x)dx=\lim_{T\to+\infty}\lim_{T'\to-\infty}\int_{T'}^Tf(x)dx&\cdots(3)\end{split}\] 그림 2 그림 2는 (3)의 의미를 나타낸 것이다. (2)의 의미는 그림 1에서 유추할 수 있다. 또 무한적분 \(\int_a^\infty f(x)dx\)에도 값을 구할 수 있다. 함수 \(f(x)\)가 구간 \([a,\,+\infty)\)에서 연속이고, 부정적분 \({\rm F}(x)\)를 가진다고 하자. 이 때 \(\lim_{x\to\infty}{\rm F}(x)={\rm B}\)가 유한확정적으로 존재한다고 가정하면 \[\lim_{T\to\infty}\int_a^Tf(x)dx=\lim_{T\to\infty}\{{\rm F}(T)-{\rm F}(a)\}=\lim_{T\to\infty}{\rm F}(T)-F(a)={\rm B}-{\rm F}(a)\] 가 되어 좌변의 극한값이 존재한다. 이 때 \[\int_a^\infty f(x)dx=\lim_{T\to\infty}[{\rm F}(x...

1. 다음 함수 의 극치 를 구하여라. (1) \(f(x)=x^4+4x\)          (2) \(f(x)=\sqrt{x}-{1\over\sqrt{x}}\) <풀이> (1) \(f'(x)=4(x+1)(x^2-x+1),\,f''(x)=12x^2\) 이고 \(f'(-1)=0,\,f''(-1)=12>0,\,f(-1)=-3\) 이므로 극소점 \((-1,\,-3)\) (2) \(f'(x)={1\over2}\left({1\over\sqrt{x}}+{1\over x\sqrt{x}}\right)>0\) 이므로 극치는 존재하지 않는다. 2. \(b^2<3ac,\,a>0\) 이면 함수 \(y=ax^3+bx^2+cx+d\)는 \(x\)의 모든 값에 대해서 증가함을 증명하여라. <증명> 가정에 의해 \(y'=3ax^2+2bx+c>0\) 이므로 모든 \(x\)에 대해서 \(y\)는 증가상태에 있다. 3. 타원 \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)에 내접하는 최대 직사각형의 면적을 구하여라. <풀이> 직사각형 면적의 \({1\over4}\)를 \(S\)로 두면 \(S=xy={b\over a}x\sqrt{a^2-x^2}\). \(S'=\frac{b(a^2-2x^2)}{\sqrt{a^2-x^2}}=0\) 이면 \(x={a\over\sqrt{2}}\). 따라서 최대직사각형의 면적\(=4S\left({a\over\sqrt{2}}\right)=2ab\). 4. \(y=ax^3+bx^2+cx\)가 점 \((0,\,0)\)에서 접선 \(y=2x\)를 갖고, 점 \((1,\,1)\)이 변곡점 이 되도록 \(a,\,b,\,c\)를 정하여라. <풀이> \(y'=3ax^2+2bx+c\)에서 \(y'(0)=c=2.\ y(1)=a+b+2=1,\,y''=6ax+2b\)에서 \(y''(1)=6a+...

유계 (有界)가 아닌 함수 , 예를 들어 함수 \[f(x)={1\over\sqrt{x}}\] 을 구간 \((0,\,1]\)에서 생각하면 \(f(x)\)는 유계가 아니다. 이 함수를 0에서 1까지 적분 하여 보자. 함수 \(f(x)=1/\sqrt{x}\)은 구간 \((0,\,1]\)에서 연속 이기는 하나 \[\lim_{x\to0}{1\over\sqrt{x}}=\infty\] 이므로 유계는 아니다. 여기서 위의 그래프와 같이 작은 양수 \(\epsilon\)를 취하여 폐구간 \([\epsilon,\,1]\)에서 \(f(x)=1/\sqrt{x}\)을 생각하면, \(f(x)\)는 \([\epsilon,\,1]\)에서 연속이므로 정적분 \[\int_\epsilon^1\frac{dx}{\sqrt{x}}=[2\sqrt{x}]_\epsilon^1=2(1-\sqrt{\epsilon})\] 을 구할 수 있다. 여기서 극한 \[\lim_{\epsilon\to0}\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{x}}=\lim_{\epsilon\to0}2(1-\sqrt{\epsilon})=2\] 를 생각한다. 이 값을 써서 함수 \(f(x)=1/\sqrt{x}\)의 0에서 1까지의 적분을 \[\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{x}}=\lim_{\epsilon\to0}\int_\epsilon^1\frac{dx}{\sqrt{x}}=2\] 라고 생각하는 것은 자연스러운 것이다. 일반적으로 함수 \(f(x)\)가 구간 \((a,\,b]\)에서 연속이고, 부정적분 \({\rm F}(x)\)를 가진다고 하자. 이 때 \[\lim_{x\to a+0}f(x)=+\infty\ \text{또는}\ -\infty\] 일지라도 \[\lim_{x\to a+0}{\rm F}(x)=\rm A\] 가 유한확정적으로 존재한다고 가정하면 \[\begin{align}\lim_{\epsilon\to0}\int_{a+\epsilon}^bf(x)dx&=\lim_{\epsilon\to0}[{\rm F}...

\(\begin{split}&\overrightarrow{a}=a_1\hat{e}_1+a_2\hat{e}_2+a_3\hat{e}_3\\&\overrightarrow{b}=b_1\hat{e}_1+b_2\hat{e}_2+b_3\hat{e}_3\\&\overrightarrow{c}=c_1\hat{e}_1+c_2\hat{e}_2+c_3\hat{e}_3\end{split}\) (a) 행열 표기법 과 (b) 텐서 표기법 을 사용하여 다음을 계산하고 (a)와 (b)의 결과가 같음을 보여라. 1. \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\) ( dot product ) (a) \(\begin{Bmatrix}a_1&a_2&a_3\end{Bmatrix}\begin{Bmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{Bmatrix}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\) (b) \(a_ib_i=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\) 2. \(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}\) ( cross product ) (a) \(\begin{Bmatrix}a_1&a_2&a_3\end{Bmatrix}\times\begin{Bmatrix}b_1&b_2&b_3\end{Bmatrix}=\left|\begin{matrix}\hat{e}_1&\hat{e}_2&\hat{e}_3\\a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\end{matrix}\right|\) \(=(a_2b_3-a_3b_2)\hat{e}_1+(a_3b_1-a_1b_3)\hat{e}_2+(a_1b_2-a_2b_1)\hat{e}_3\) (b) \(a_i\times b_j=\epsilon_{ijk}a_jb_k\) \(=(\epsilon_{123}a_2b_3+\epsilon_{132}a_3b_2)\hat{e}_1+(\epsilon_{131}a_3b_1...

정의 1 (전미분 가능) 함수 \(f\)가 점 \((x_0,\,y_0)\)의 근방 에서 적당한 상수 \(\rm A,\,B\)를 잡아서 \[f(x,\,y)-f(x_0,\,y_0)={\rm A}(x-x_0)+{\rm B}(y-y_0)+(x-x_0)\lambda_1+(y-y_0)\lambda_2\cdots(1)\] 라 두었을 때 \[\lim_{(x,\,y)\to(x_0,\,y_0)}\lambda_1=\lim_{(x,\,y)\to(x_0,\,y_0)}\lambda_2=0\] 이 성립하면 \(f\)는 점 \((x_0,\,y_0)\)에서 전미분가능(全微分可能) 하다고 한다. (단, \(\rm A,\,B\)는 \(x_0,\,y_0\)에 의존하는 상수이다.) \(x=x_0+h,\,y=y_0+k\)라 두면 (1)은 \[f(x_0+h,\,y_0+k)-f(x_0,\,y_0)={\rm A}h+{\rm B}k+\lambda_1h+\lambda_2k\] 가 된다. 정리 1  함수 \(z=f(x,\,y)\)에 대해서 \(f_x,\,f_y\)가 존재하고 이것이 연속 이면 \(f\)는 전미분가능하다. < 증명 > 함수 \(z=f(x,\,y)\)의 정의역내의 임의의 점 \((x_0,\,y_0)\) 근방에서의 함수의 증분은 \[f(x_0+h,\,y_0+k)-f(x_0,\,y_0)=\{f(x_0+h,\,y_0+k)\}+\{f(x_0,\,y_0+k)-f(x_0,\,y_0)\}\] 이다. 윗 식의 제 1항과 제 2항에 평균치 정리 를 적용하면 \[\begin{gather}\text{우변}=f_x(x_0+\theta_1h,\,y_0+k)h+f_y(x_0,\,y_0+\theta_2k)k\\0<\theta_1<1,\,0<\theta_2<1\end{gather}\] 여기서 \[\begin{align}&\lambda_1=f_x(x_0+\theta_1h,\,y_0+k)-f_x(x_0,\,y_0)\\...

극좌표계 에서 기본적인 벡터 연산자(vector operator)의 유도 과정을 소개한다. 극좌표계의 단위 벡터는 좌표계의 함수 이다. 단위 벡터의 좌표계 미분 을 복습하면 다음과 같다. \[\begin{split}&\frac{\partial\hat{r}}{\partial r}=\frac{\partial\hat\theta}{\partial r}=\frac{\partial\hat\phi}{\partial r}=\frac{\partial\hat\phi}{\partial\theta}=0,\,\frac{\partial\hat{r}}{\partial\theta}=\hat\theta,\,\frac{\partial\hat{r}}{\partial\phi}=\sin\theta\hat\phi,\,\frac{\partial\hat\theta}{\partial\theta}=-\hat{r},\,\frac{\partial\hat\theta}{\partial\phi}=\cos\theta\hat\phi,\,\\&\frac{\partial\hat\phi}{\partial\phi}=-\cos\theta\hat\theta-\sin\theta\hat{r}\end{split}\] 경로 증분 (Path Increment) 단위 벡터의 좌표계 미분과 합성함수의 편미분법 을 적용하면 다음과 같이 유도된다. \[d{\bf p}=d(r\hat{r})=\hat{r}dr+rd\hat{r}=\hat{r}dr+r\left(\frac{\partial\hat{r}}{\partial r}dr+\frac{\partial\hat{r}}{\partial\theta}d\theta+\frac{\partial\hat{r}}{\partial\phi}d\phi\right)=\hat{r}dr+r\hat\theta d\theta+r\sin\theta\hat\phi d\phi\] 구배 연산자 (Del Operator from the Definition of Gradient) 어느 스칼라 장(場, field) \(f...

직교좌표계와 상호변환 \(r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\) \(\theta={\rm Tan}^{-1}(y/x)\) \(\phi={\rm Cos}^{-1}(z/r)\) \(x=r\sin\theta\cos\phi\) \(y=r\sin\theta\sin\phi\) \(z=r\cos\theta\) 단위 벡터 극좌표계의 단위 벡터는 직교좌표계와 달리 원주(원통)좌표계 처럼 좌표의 함수 이다. 따라서 직교좌표계 단위 벡터와 같이 표현하면 편리하다. \(\hat{r}=\dfrac{\bf r}{r}=\dfrac{x{\bf i}+y{\bf j}+z{\bf k}}{r}=\sin\theta\cos\phi{\bf i}+\sin\theta\sin\phi{\bf j}+\cos\theta{\bf k}\) \(\begin{split}\hat\theta&=\hat\phi\times\hat{r}=(-\sin\theta{\bf i}+\cos\phi{\bf j})\times(\sin\theta\cos\phi{\rm i}+\sin\theta\sin\phi{\bf j}+\cos\theta{\bf k})\\&=\cos\theta\cos\phi{\bf i}+\cos\theta\sin\phi{\bf j}-\sin\theta{\bf k}\end{split}\) \(\hat\phi=\hat{z}\times\hat{r}(\pi/2,\,\phi)={\bf k}\times(\cos\phi{\bf i}+\sin\phi{\bf j})=-\sin\phi{\bf i}+\cos\phi{\bf j}\) 단위 벡터의 좌표계 미분 위의 표현을 이용하면 다음과 같이 쉽게 단위 벡터의 좌표계 방향별 편미분 을 유도할 수 있다. \(\dfrac{\partial\hat{r}}{\partial r}=0\) \(\dfrac{\partial\hat{r}}{\partial\theta}=\cos\theta\cos\phi{\bf i}+\cos\theta\sin\phi{\bf j}-\sin\theta{\bf k}=\...