[연습문제] 보의 응력

1. 다음 그림과 같이 직사각형 단면의 단순지지 보가 분포하중을 받고 있다. 이 때, C점에서의 굽힘응력과 전단응력을 구하라.

<풀이>

지지점 A, B에서의 모멘트 평형으로부터

$$R_a={a\over4}(3q_1+q_2)=350\ {\rm kN}\qquad R_b={a\over4}(q_1+3q_2)=250\ {\rm kN}$$

구간 [0, a]에서 A로부터 거리 x 위치의 모멘트식으로부터 C점의 위치, x=1m에서의 모멘트 M을 구할 수 있다.

$$M(x)={x\over2}(2R_a-q_1x)\qquad M(1)=250\ {\rm kNm}$$

따라서 C점, 즉 y=-0.1m 에서의 굽힘응력 σ는 다음과 같다. 여기서 I는 단면 2차 모멘트이다.

$$I={bh^3\over12}=0.00333\ {\rm m^4}\qquad\sigma={My\over I}=-7,5000\ {\rm kN/m^2}$$

다음으로 구간 [0, a]에서 거리 x 위치의 전단력식으로부터 C점의 전단력 V를 구한다.

$$V(x)=R_a-q_1x\qquad V(1)=150\ {\rm kN}$$

이로부터 C점에서의 전단응력 τ를 구한다.

$$\tau={V\over bh}=3,750\ {\rm kN/m^2}$$

2. 두께가 20mm 인 Bottom Shell의 굽힘감도 보강을 위해 Built-Up T-bar를 부착하여 보강판 구조를 만들고자 한다. 구조 강도를 검토한 결과, 보강재 개당 탄성 단면계수 1600 cm³, 전단면적 70 cm² 이 요구되었다. 보강재의 구조적 거동에 기여하는 판의 효과를 고려하여 Built-Up T-bar의 최적단면을 설계하라. (보강재 웨브의 두께 : $t_w=12\ {\rm mm}$)

<풀이>
아래 그림과 같이 T-bar의 치수를 B, H로 두고 문제의 조건을 만족하는 치수를 찾는다.

보강재 개당 면적 A=7,000 mm² 이므로
$$A=t_w(B+H)=7,000\ {\rm mm^2}$$
이다. 이 식으로부터 B, H 중 하나가 결정되면 다른 하나도 구할 수 있다.

평행축 정리에 의해서 바닥면에 대한 각 단면과 T-bar의 단면 2차 모멘트는

$$\begin{split}I_{b1}&=I_1+Ad_1^2={Bt_w^2\over12}+t_wB\left(t_s+H+{t_w\over2}\right)^2\\I_{b2}&=I_2+A_2d_2^2={t_wH^2\over12}+t_wH\left(t_s+{H\over2}\right)^2\\I_b&=I_{b1}+I_{b2}\end{split}$$

이다.

이제 단면계수의 정의와 문제의 조건으로부터

$$Z={I_b\over d}={I_b\over t_s+H+t_w}=1,600,000\ {\rm mm^2}$$

여기서 $t_w=12\ {\rm mm},\,t_s=20\ {\rm mm}$ 이므로 위의 식들로부터 B와 H를 결정하면

$$B=107.7\ {\rm mm},\qquad H=475.6\ {\rm mm}$$

이다.

3. 그림과 같이 동일한 면적을 갖는 단면 (100×20) 3개가 있다.
멘 왼쪽 그림에서 보여진 배치는 밑면에 대해 관성모멘트가 최소가 되는 배치이다. 이 단면을 (배치예)와 같이 재배치아여 밑면에 대하여 관성모멘트가 최대가 되는 배치와 그 때의 관성모멘트를 구하라.

<풀이>

맨 왼쪽의 최소 관성모멘트를 구하기 위해 위에서부터 각 단면의 밑면에 대한 관성모멘트를  $I_{b1},\,I_{b2},\,I_{b3}$라 하면 평행축 정리에 의해

$$\begin{align}I_{b1}&=100*20^3/12+20*100*(20+20+10)^2=5,066,666.7\\I_{b2}&=100*20^3/12+20*100*(20+10)^2=1,866,666.7\\I_{b3}&=100*20^3/12+20*100*10^2=266,666.7\end{align}$$

전체 관성모멘트 $I_b$는 다음과 같다.

$$I_b=I_{b1}+I_{b2}+I_{b3}=7.20\times10^6$$

이다. 오른쪽 (배치예)의 관성모멘트는

$$\begin{align}I_{b1}&=20*100^3/12+20*100*(20+20+50)^2=17,866,666.7\\I_{b2}&=100*20^3/12+20*100*(20+10)^2=1,866,666.7\\I_{b3}&=100*20^3/12+20*100*(10)^2=266,666.7\\I_b&=I_{b1}+I_{b2}+I_{b3}=2.00\times10^7\end{align}$$

이므로 최소 및 최대 관성모멘트는 다음과 같다.

1) 최소 관성모멘트 : $7.20\times10^6$

2) 최대 관성모멘트 : $4.56\times10^7$

4. 다음 그림은 간략화된 유조선의 중앙단면이다. Deck, Bottom 및 Inner Bottom에서의 단면계수를 구하라. (단, 단면은 좌우 대칭이며 모든 판의 두께는 10mm 이다.)

<풀이> 평행축 정리를 이용한다.
$$\small\begin{align}I_{\rm deck}&=3/12*(40*0.01^3+0.01*10^3)+40*0.01*(6^2+10^2)+10*0.01*5^2=59.4\ {\rm m}^4\\I_{\rm inner\ bottom}&=3/12*(40*0.01^3+0.01*10^3)+40*0.01*(6^2+\ \ 4^2)+10*0.01*1^2=23.4\ {\rm m}^4\\I_{\rm bottom}&=3/12*(40*0.01^3+0.01*10^3)+40*0.01*(10^2+4^2)+10*0.01*5^2=51.4\ {\rm m}^4\end{align}$$

5. 밑변의 길이가 b이고 높이가 h인 삼각형 단면의 도심축에 대한 관성모멘트 Ix를 구하시오.

<풀이> 위의 그림과 같이 미소 면적요소를 정의하고 관성모멘트의 정의식에 따라 적분한다.
$$I_x=\int y^2dA={b\over h}\int_{-{h\over3}}^{2h\over3}y^2\left({2\over3}h-y\right)dy={b\over h}\left[y^3\left({2\over9}h-{y\over4}\right)\right]_{-{h\over3}}^{2h\over3}={bh^3\over36}$$