합성함수의 미분법

정리 1. 함수 \(y=f(x)\)와 \(z=g(y)\)가 각각 \(x_0\)와 \(y_0=f(x_0)\)에서 미분가능하면 합성함수 \(h=g\circ f\)는 \(x_0\)에서 미분가능하고 \[h'(x_0)=g'(y_0)f'(x_0)\] 이다.

<증명> \(f\)는 \(x_0\)에서 미분가능이므로 \(x\to x_0\) 일 때 \(y\to y_0\) 이다. 따라서,

\[\begin{split}h'(x_0)&=\lim_{x\to x_0}\frac{h(x)-h(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0}\left\{\frac{g(y)-g(y_0)}{y-y_0}\cdot\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\right\}\\&=\lim_{y\to y_0}\frac{g(y)-g(y_0)}{y-y_0}\cdot\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=g'(y_0)\cdot f'(x_0)\end{split}\]

합성함수에 대한 이 법칙은 일반적으로

\[\frac{dz}{dx}=\frac{dz}{dy}\cdot\frac{dy}{dx}\]

라 할 수도 있다.

[예제 1] \(y=(x^3+3x-5)^8\) 일 때 \(\dfrac{dy}{dx}\)를 구하여라.

<풀이> \(u=f(x)=x^3+3x=5,\,y=g(u)=u^8\)라 두면

\[\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}=8u^7\cdot(3x^2+3)=24(x^3+3x-5)^7(x^2+1)\]

[예제 2] \(y=\sin{x^3}\) 일 때 \(\dfrac{dy}{dx}\)를 구하여라.

<풀이> \(\dfrac{dy}{dx}=\cos{x^3}\cdot3x^2=3x^2\cos{x^3}\)

[예제 3] \(y=\cos^3(x^2+1)\) 일 때 \(\dfrac{dy}{dx}\)를 구하여라.

<풀이> \(\dfrac{dy}{dx}=3\cos^2(x^2+1)\cdot\{-\sin(x^2+1)\}\cdot2x=-6x\cos^2(x^2+1)\sin(x^2+1)\)

[예제 4] \(y=\sqrt{3x^2-x+5}\) 일 때 \(\dfrac{dy}{dx}\)를 구하여라.

<풀이> \(u=3x^2-x+5\)라 두면 \(y=\sqrt{u}\) 이다.

\[\frac{dy}{dx}=\frac{d}{du}(\sqrt{u})\cdot\frac{du}{dx}={1\over2\sqrt{u}}\cdot(6x-1)=\frac{6x-1}{2\sqrt{3x^2-x+5}}\]

[예제 5] \(n\)은 자연수, \(x\ne0\) 일 때 \(y=x^{-n}\)은 미분가능하며 \(y'=-nx^{-n-1}\)임을 증명하여라.

<증명> \(y=x^{-n}=\dfrac{1}{x^n}=\left(\dfrac{1}{x}\right)^n\) 이므로 \(u=f(x)=\dfrac{1}{x},\,y=g(u)=u^n\)라 하면

\[y=g(f(x))=h(x)\]

이 되어 \(f\)와 \(g\)가 미분가능하므로 \(h\)도 미분가능하다. 그러므로,

\[y'=h'(x)=g'(u)f'(x)=nu^{n-1}\left(-{1\over x^2}\right)=-nx^{-n-1}\]

[예제 6] 함수 \(g\)는 미분가능한 함수, \(n\)은 정수일 때 \(f(x)=(g(x))^n\) (단, \(n\le0\) 인 경우는 \(g(x)\ne0\))는 미분가능하며 \(f'(x)=n(g(x))^{n-1}g'(x)\) 임을 보여라.

<증명> \(u=g(x),\,h(u)=u^n\) 이라 하면 \(f(x)=h(g(x))\) 이다. \(g\)는 가정에 의해 미분가능, \(h\)도 미분가능이기 때문에 합성함수 \(f=g\circ h\)는 미분가능하다. 따라서,

\[f'(x)=h'(u)g'(x)=nu^{n-1}g'(x)=nu^{n-1}g'(x)=ng(x)^{n-1}g'(x)\].