음함수의 미분법

방정식

\[x^2y-x+y=0\qquad(1)\]

이 주어졌다고 하면 \(y\)는 \(x\)의 함수라고 생각한다. 이 식을 \(y\)에 대해 풀면

\[y=f(x)=\frac{x}{x^2+1}\qquad(2)\]

가 되고, \(y=f(x)\)는 미분가능이다. 그리고 (1)의 방정식의 항 \(x^2y,\,x,\,y\)는 모두 미분가능하므로 양변을 \(x\)로 미분하면

\[\begin{split}&2xy+x^2y'-1+y'=0\\&y'(x^2+1)=1-2xy\\&y'=\frac{1-2xy}{x^2+1}\end{split}\]

가 된다. 이와 같이 계산하면 (2)식과 같이 고쳐서 \(y'\)을 계산하는 것보다 용이하다. 또한 (1)은 (2)식과 같이 변형하기가 간단하나, 일반적인 음함수

\[F(x,\,y)=0\qquad(3)\]

이 주어질 때 간단히 \(y=f(x)\) 형으로 반드시 구해진다고 할 수 없다. 그러나, (3)이 함수 \(y=f(x)\)를 \(x\)의 적당한 구간 내에서 정의하여, \(f\)가 미분가능하다고 하면 (3)을 직접 \(x\)로 미분하여 \(y'\)을 구할 수 있다.

[예제] \(x^2-6x+y^2-2y=15\) 일 때 점 (-1, 4) 및 (6, 5)에서의 \(dy/dx\)를 계산하여라.

<풀이> 양변을 \(x\)로 미분하면

\[\begin{align}&2x-6+2yy'-2y'=0\\&y'=\frac{3-x}{y-1}\end{align}\]

따라서, \(x=-1,\,y=4\) 이면 \(y'=4/3\). \(x=6,\,y=5\) 이면 \(y'=-3/4\).