발산 이론 (Divergence theorem)

발산 이론(divergence theorem)은 벡터장의 확산은 면 적분과 체적 적분이 동일함을 나타낸다.

벡터장 \(\bf F\)의 발산 이론은 다음식으로 표현된다.

\[\int\nabla\cdot{\bf F}dV=\oint{\bf F}\cdot{\bf n}dS\]

좌변은 벡터 \(\bf F\)의 구배(gradient, 변화율)를 체적에 대하여 적분한 것이며 우변은 표면적에 대하여 적분한 것이다. 벡터 \(\bf n\)은 면 외측 방향의 단위 벡터이다.

[증명] 1-D인 경우만 증명한다. 이 경우 \(dV=dx\) 이고 \(\nabla{\bf F}=dF(x)/dx\) 이므로 좌변은

\[\int\nabla\cdot{\bf F}dV=\int_{x_1}^{x_2}\frac{dF(x)}{dx}dx=F(x_2)-F(x_1)\]

우변은 \(ds=1\) 이고 \(n\)은 아래 그림과 같이 \(x_1\)에서 (-), \(x_2\)에서 (+) 이므로

\[\oint{\bf F}\cdot{\bf n}dS=F(x_1)n_1+F(x_2)n_2=F(x_2)-F(x_1)\]