쌍곡선 함수와 적분

이공학의 많은 분야에서 나타는 쌍곡선 함수와 그 적분에 대해서 알아 보자. 먼저 쌍곡선 함수를 정의한다.

\[\sinh{x}=\frac{e^x-e^{-x}}{2},\qquad\cosh{x}=\frac{e^x+e^{-x}}{2}\]

라 주고, 이들을 각각 쌍곡선 사인과 쌍곡선 코사인이라 한다. 위의 정의로부터 다음 항등식이 성립함을 알 수 있다.

\[\cosh^2x-\sinh^x=1\]

또한

\[\begin{split}\tanh2x=\frac{\sinh{x}}{\cosh{x}},\qquad\coth{x}=\frac{\cosh{x}}{\sinh{x}}\\{\rm sech}\,{x}=\frac{1}{\cosh{x}},\qquad{\rm csch}\,{x}=\frac{1}{\sinh{x}}\end{split}\]

로 정의하고 함수 \(\sinh{x},\,\cosh{x},\,\tanh{x},\,\coth{x},\,{\rm sech}\,x\) 및 \({\rm csch}\,x\)를 총칭해서 쌍곡선 함수라 한다. 쌍곡선 함수는 삼각함수와 비슷한 성질을 가지고 있으나, 그의 기하학적 의미를 생각하는 것보다, 형식적으로 위의 정의식에 의해서 도입된 함수라고 알고 있는 것이 좋다. 맨 앞의 두 식을 미분하면 바로

\[(\sinh{x})'=\cosh{x}\qquad(\cosh{x})'=\sinh{x}\]

가 성립함을 알 수 있다. 따라서 다음 공식

\[\int\sinh{x}dx=\cosh{x},\qquad\int\cosh{x}dx=\sinh{x}\]

을 얻는다.

또한 두번째 정의식의 처음 두 식을 미분하면

\[(\tanh{x})'={\rm sech}^2x,\qquad(\coth{x})'=-{\rm csch}^2x\]

을 얻는다. 따라서 다음 공식을 얻는다.

\[\int{\rm sech}^2xdx=\tanh{x}\qquad\int{\rm csch}^2x-=-\coth{x}\]