부정적분

어떤 구간에서 함수 \(F(x)\)의 도함수를 함수 f(x)라 할 때, 즉

\[\frac{dF(x)}{dx}=f(x)\]

라 할 때, \(F(x)\)를 \(f(x)\)의 부정적분(不定積分) 또는 원시함수(原始函數)라 한다. 부정적분을 간단히 적분이라 할 때도 있다. 예를 들면

\[\frac{d}{dx}(x^2)=2x,\qquad\frac{d}{dx}(\sin{x})=\cos{x}\]

이므로 \(x^2\)은 \(2x\)의 부정적분이고, \(\sin{x}\)는 \(\cos{x}\)의 부정적분이다.

일반적으로, 한 함수 \(f(x)\)의 부정적분은 무수히 많이 존재한다. 그래서 그 중 하나를 찾을 수 있으면 그 밖의 부정적분을 구하는 것은 매우 간단하다.

지금 함수 \(F(x)\)와 \(G(x)\)가 같은 함수의 부정적분이라고 하자. 부정적분의 정의에 의해서

\[F'(x)=f(x),\qquad G'(x)=f(x)\]

이므로

\[\{G(x)-F(x)\}'=G'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0\]

그런데, 어떤 구간에서 그의 도함수가 0 인 함수는, 그 구간에서 어떤 상수 \(c\)와 같게 된다. 그러므로

\[G(x)-F(x)=c\qquad\therefore\ G(x)=F(x)+c\]

다시 말하면, \(G(x)\)는 \(F(x)\)에 어떤 상수 \(c\)를 더하여 얻을 수 있다. 역으로 \(F(x)\)가 \(f(x)\)의 부정적분이면 \(F(x)+c\)도 \(f(x)\)의 부정적분이라는 것을 알 수 있다. 즉, 이것은

\[\{F(x)+c\}'=F'(x)=f(x)\]

인 것으로부터 쉽게 알 수 있다. 따라서 한 함수의 부정적분은 무수히 많고 그 일반형은 상수 \(c\)를 써서 위와 같이 나타낼 수 있다.

일반적으로 함수 \(f(x)\)의 부정적분을 기호 \(\int f(x)dx\)와 같이 나타내고, \(f(x)\)의 한 부정적분을 \(F(x)\)라 하면

\[\int f(x)dx=F(x)+c\]

이다. 이 때 상수 \(c\)를 적분상수(積分常數) 또는 임의의 값을 취하는 상수라는 뜻에서 임의상수(任意常數)라고 한다.

여기서 기호 \(\int f(x)dx\)는 하나의 함수를 나타내는 것이 아니고 \(f(x)\)의 부정적분 전체를 나타내고 있는 것으로 한다. 예를 들면

\[\int2xdx=x^2+c,\qquad\int\cos{x}dx=\sin{x}+c,\,\cdots\]

이다. 지금부터 부정적분을 품는 등식에 있어서 우변의 적분상수 \(c\)를 생략하는 것으로 한다. 즉,

\[\int2xdx=x^2,\qquad\int\cos{x}dx=\sin{x},\,\cdots\]

와 같이 나타내기로 한다. 결국 이들 식은 양변의 차가 상수와 같다는 것을 나타내고 있다.

함수 \(f(x)\)가 주어졌을 때, 그의 부정적분 \(\int f(x)dx\)를 구하는 것을 함수 \(f(x)\)를 적분한다라 하고 이 때, 함수 \(f(x)\)를 피적분함수(被積分函數)라 한다. 또한, 독립변수 \(x\)를 적분변수(積分變數)라고도 한다.

"임의의 연속함수는 부정적분을 가진다."

[주의 1] 그렇지만 불연속인 함수라도 부정적분을 가지는 것이 있다.

예를 들면, 함수 \(f(x)\)가 구간 \((-\infty,\,+\infty)\)에 있어서

\[f(x)=\begin{cases}&2x\sin{\dfrac{1}{x}}-\cos{\dfrac{1}{ x}}\quad(x\ne0)\\&0\qquad\qquad\qquad\quad\ \ \ \,(x=0)\end{cases}\]

에 의하여 정의되어 있다고 한다면 \(f(x)\)는 \(x=0\)에서 불연속이다.

그런데, 함수 \(F(x)\)를 구간 \((-\infty,\,+\infty)\)에 있어서

\[F(x)=\begin{cases}&x^2\sin{\dfrac{1}{x}}\qquad\qquad\quad\ (x\ne0)\\&0\qquad\qquad\qquad\qquad\ (x=0)\end{cases}\]

에 의해서 정의한다면

\[F'(x)=f(x)\]

가 되어 \(f(x)\)는 부정적분 \(F(x)\)를 가진다.

 함수 \(F(x)\)가 함수 \(f(x)\)의 부정적분이면

\[F(x)=\int f(x)dx\]

가 성립된다. 즉,

\[\frac{dF(x)}{dx}=f(x)\]

가 성립된다. 따라서

\[\frac{d}{dx}\left\{\int f(x)dx\right\}=f(x)\]

이다. 그러므로

\[\frac{d}{dx}\left\{\int dx\right\}=1\]

리고 하는 관계가 성립한다. 여기서 우변의 1은 수 1을 곱하는 연산을 나타내는 연산기호이다. 이 사실은 연산기호 \(d/dx\)와 \(\int dx\)는 서로 상쇄시키는 것이 되므로 결국 \(d/dx\)는 \(\int dx\)의 역연산임을 나타내고 있다. 그런데

\[\int\left\{\frac{d}{dx}f(x)\right\}dx=f(x)+c\]

가 되어, 이 우변은 일반적으로 \(f(x)\)와 일치하지 않는다. 따라서 여기서 말하는 역연산을 보통의 의미로 말하는 역연산과 조금 다른 의미를 가진다. 이런 의미로서 '미분한다'라고 하는 연산은 '적분한다'라고 하는 연산의 역연산이다.

[주의 2] 부정적분의 정의에 의하면, 관계

\[F(x)=\int f(x)dx\]

는 관계

\[dF(x)/dx=f(x)\qquad\text{즉}\ dF(x)=f(x)dx\]

와 같은 것을 나타내고 있다. 여기서 \(dF(x)\)는 함수 \(F(x)\)의 미분을, \(dx\)는 독립변수 \(x\)의 미분을 나타내고 있다. 부정적분 \(f(x)dx\)를 구하는 것을, \(f(x)\)를 적분한다고 하였으나, 원래는 '미분 \(f(x)dx\)를 적분한다'라고 하였다.