부분적분법

정리 1 \[\int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx\cdots(1)\]

<증명>

적(積)의 미분법으로부터 다음 관계식이 성립한다.

\[\begin{split}&\{f(x)g(x)\}'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\\&f(x)g'(x)=\{f(x)g(x)\}'-f'(x)g(x)\end{split}\]

양변을 적분하면

\[\begin{split}\int f(x)g'(x)dx&=\int\{f(x)g(x)\}'dx-\int f'(x)g(x)dx\\&=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx\end{split}\]

이 공식을 부분적분법의 공식이라 한다.

특히 \(g(x)=1\) 일 때는 다음과 같이 된다.

\[\int f(x)dx=xf(x)-\int xf'(x)dx\cdots(2)\]

먼저, 공식 (1)을 이용하여 다음 적분을 계산해 본다.

\[\int x\cos{x}dx=x\sin{x}-\int\sin{x}dx=x\sin{x}+\cos{x}\]

다음 적분은 공식 (2)를 이용하여 계산해 본다.

\[\int\ln{x}dx=x\ln{x}-\int dx=x\ln{x}-x\]

[예제 1] 다음 함수를 적분하여라.

\((1)\ x\sin{x}\qquad(2)\ xe^x\qquad(3)\ x{\rm Tan}^{-1}x\qquad(4)\ x^2e^x\qquad(5)\ {\rm Tan}^{-1}x\qquad(6)\ x{\rm Sin}^{-1}x\)

\((7)\ x\ln{x}\)

<풀이>

\(\displaystyle(1)\ \int x\sin{x}dx=-x\cos{x}+\int\cos{x}dx=-x\cos{x}+\sin{x}\)

\(\displaystyle(2)\ \int xe^xdx=xe^x-\int e^xdx=xe^x-e^x\)

\(\displaystyle(3)\ \int x{\rm Tan}^{-1}xdx={x^2\over2}{\rm Tan}^{-1}x-{1\over2}\int\frac{x^2}{1+x^2}dx={x^2\over2}{\rm Tan}^{-1}x-{1\over2}\int dx+{1\over2}\int\frac{dx}{1+x^2}\)

\(\displaystyle\qquad\qquad\qquad\qquad={1+x^2\over2}{\rm Tan}^{-1}x-{x\over2}\)

\(\displaystyle(4)\ \int x^2e^xdx=x^2e^x-2\int xe^xdx=x^2e^x-2xe^x+2e^x\)

\(\displaystyle(5)\ \int{\rm Tan}^{-1}xdx=x{\rm Tan}^{-1}x-\int\frac{x}{1+x^2}dx=x{\rm Tan}^{-1}x-{1\over2}\ln(1+x^2)\)

\(\displaystyle(6)\ \int x{\rm Sin}^{-1}xdx={x^2\over2}{\rm Sin}^{-1}x-{1\over2}\int\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}dx\)

\(\displaystyle\qquad\qquad\qquad\quad\ ={x^2\over2}{\rm Sin}^{-1}x+{1\over2}\int\sqrt{1-x^2}dx-{1\over2}\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}\)

\(\displaystyle\qquad\qquad\qquad\quad\ ={x^2\over2}{\rm Sin}^{-1}x+{1\over4}\left(x\sqrt{1-x^2}+{\rm Sin}^{-1}x\right)-{1\over2}{\rm Sin}^{-1}x\)

\(\displaystyle\qquad\qquad\qquad\quad\ =\left({x^2\over2}-{1\over2}\right){\rm Sin}^{-1}x+{x\over4}\sqrt{1-x^2}\)

\(\displaystyle(7)\ \int x\ln{x}dx={x^2\over2}\ln{x}-{1\over2}\int xdx={x^2\over2}\ln{x}-{x^2\over4}\)

--- under construction ---