부정적분의 기본공식
\[\begin{matrix}({\rm a})\int dx=x\qquad\ \,(x\ne0)&({\rm b})\int x^adx=\frac{1}{\alpha+1}x^{\alpha+1}\ (\alpha\ne-1)\\({\rm c})\int{1\over x}dx=\ln|x|\ (x\ne0)&({\rm d})\int e^xdx=e^x\qquad\qquad\qquad\quad\,\\({\rm e})\int\cos{x}dx=\sin{x}\qquad\ &({\rm f})\int\sin{x}dx=-\cos{x}\qquad\qquad\\({\rm g})\int\sec^2xdx=\tan{x}\quad\ \ \,&({\rm h})\int\csc^2xdx=-\cot{x}\qquad\quad\ \,\\({\rm i})\int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx={\rm Sin}^{-1}x\quad&({\rm j})\int\frac{1}{1+x^2}dx={\rm Tan}^{-1}x\qquad\quad\ \ \end{matrix}\]
여기서 \(\alpha\)는 임의의 실수이고, 역삼각함수 \({\rm Sin}^{-1}x\)와 \({\rm Tan}^{-1}x\)는 각각의 주치를 나타낸다.
[주의 1] 공식 \((\rm c)\)를 유도함에 있어서는 다음과 같이 한다.
\(x>0\) 일 때
\[(\ln|x|)'=(\ln{x})'={1\over x}\]
\(x<0\) 일 때
\[(\ln|x|)'=(\ln(-x))'={-1\over-x}={1\over x}\]
이므로 공식 \((\rm c)\)는 \(x\ne0\) 일 때 항상 성립한다.
[주의 2] 공식 \((\rm i)\)와 \((\rm j)\)에 나타난 역삼각함수 \({\rm Sin}^{-1}x\)와 \({\rm Tan}^{-1}x\)는 각각의 주치를 나타내는 것이므로 다음과 같은 범위 내에 있다.
\[-{\pi\over2}\le{\rm Sin}^{-1}x\le{\pi\over2},\qquad-{\pi\over2}\le{\rm Tan}^{-1}x\le{\pi\over2}\]
특히 공식 \(({\rm i})\)는 범위 \(-1\le x\le1\)의 임의의 \(x\)에 대해서 성립한다.
다음 공식은 부정적분을 계산하는 데 기본적인 것이다.
\[\begin{align}&\int kf(x)=k\int f(x)dx\ (k\text{는 상수})\\&\int\{f(x)\pm g(x)\}dx=\int f(x)dx\pm\int g(x)dx\end{align}\]
<증명> 먼저 다음 두 관계식이 성립한다.
\[\left(\int kf(x)dx\right)'=kf(x),\qquad\left(k\int f(x)dx\right)'=kf(x)\]
또, 다음 두 관계식이 성립한다.
\[\begin{split}&\left(\int\{f(x)\pm g(x)\}dx\right)'=f(x)\pm g(x)\\&\left(\int f(x)dx\pm\int g(x)dx\right)'=\left(\int f(x)dx\right)'\pm\left(\int g(x)dx\right)'=f(x)\pm g(x)\end{split}\]
위의 공식을 반복하여 사용하면 다음 공식을 얻는다.
\[\int\{af(x)+bg(x)+\cdots+ch(x)\}dx=a\int f(x)dx+b\int g(x)dx+\cdots+c\int h(x)dx\]
여기서 \(a,\,b,\,\cdots,\,c\)는 상수이다.
[예제 1] 다음을 적분하여라.
\(\begin{matrix}(1)\ x^2(x+2)^2&(2)\ \frac{(x-2)^2}{x^3}&(3)\ \left(\sqrt{t}+{1\over\sqrt{t}}\right)^3\\(4)\ \frac{2+3s}{\sqrt[3]{s}}\qquad\ &(5)\ \frac{x^2-1}{x^2+1}\ \,&(6)\ \cot^2x\qquad\ \ \end{matrix}\)
<풀이>
\((1)\ \int x^2(x+1)^2dx=\int(x^4+2x^3+x^2)dx={x^5\over5}+{x^4\over2}+{x^3\over3}\)
\((2)\ \int\frac{(x-2)^2}{x^3}dx=\int\left({1\over x}-{4\over x^2}+{4\over x^3}\right)dx=\ln|x|+{4\over x}-{2\over x^2}\)
\((3)\ \int\left(\sqrt{t}+{1\over\sqrt{t}}\right)^2dt=\int\left(t^{3\over2}+3t^{1\over2}+3t^{-{1\over2}}+t^{-{3\over2}}\right)dt={2t^2\over5}\sqrt{t}+2t\sqrt{t}+6\sqrt{t}-{2\over\sqrt{t}}\)
\((4)\ \int\frac{2+3s}{\sqrt[3]{x}}ds=\int\left(2s^{-{1\over3}}+3s^{2\over3}\right)ds=3\sqrt[3]{s^2}+{9\over5}\sqrt[3]{s^5}\)
\((5)\ \int\frac{x^2-1}{x^2+1}dx=\int\left(1-\frac{2}{x^2+1}\right)dx=x-2{\rm Tan}^{-1}x\)
\((6)\ \int\cot^2xdx=\int(\csc^2x-1)dx=-\cot{x}-x\)
《문 제》
1. 다음 함수를 적분하여라.
\(\begin{matrix}(1)\ (x-2)(x-1)&(2)\ x^3-4x^2+5x-6&(3)\ (t-1)^3\quad\ \ \\(4)\ \left(1+{1\over\sqrt{s}}\right)^2\quad\ \ &(5)\ \left(x-{1\over x}\right)^3\qquad\quad\ \ \,&(6)\ 3e^t+2\sin{t}\\(7)\ {1\over x}-{1\over\sqrt{1-x^2}}\quad\ \ &(8)\ \tan^2x\qquad\qquad\quad&(9)\ {3\over x^2}+{1\over1+x^2}\ \,\end{matrix}\)
<풀이>
\((1)\ \int(x-2)(x-1)dx=\int(x^2-3x+2)dx={x^3\over3}-{3x^2\over2}+2x\)
\((2)\ \int(x^3-4x^2+5x-6)dx={x^4\over4}-{4x^3\over3}+{5x^2\over2}-6x\)
\((3)\ \int(t-1)^3dx=\int(t^3-3t^2+3t-1)dt={t^4\over4}-t^3+{3t^2\over2}-t\)
\((4)\ \int\left(1+{1\over\sqrt{s}}\right)^2ds=\int\left(1+{2\over\sqrt{s}}+{1\over s}\right)ds=s+4\sqrt{s}+\ln|s|\)
\((5)\ \int\left(x-{1\over x}\right)^3dx=\int\left(x^3-3x+{3\over x}-{1\over x^3}\right)dx={x^4\over4}-{3x^2\over2}+3\ln|x|+{1\over2x^2}\)
\((6)\ \int(3e^t+2\sin{t})dt=3e^t-2\cos{t}\)
\((7)\ \int\left({1\over x}-{1\over\sqrt{1-x^2}}\right)dx=\ln|x|-{\rm Sin}^{-1}x\)
\((8)\ \int\tan^2xdx=\int(\sec^2x-1)dx=\tan{x}-x\)
\((9)\ \int\left({3\over x^2}+{1\over1+x^2}\right)dx=-{3\over x}+{\rm Tan}^{-1}x\)
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