매개변수에 의한 미분

2개의 변수 \(x,\,y\)가 동시에 다른 한 개의 변수 \(t\)의 함수가 되어

\[x=f(t),\,y=g(t)\]

로 표현되는 경우, 일반적으로 \(y\)는 \(t\)를 매개로 하는 \(x\)의 함수라고 생각할 수 있다. \(x=f(t),\,y=g(t)\)가 미분가능하며 \(x=f(t)\)의 역함수 \(t=h(x)\)가 존재하고 미분가능하면

\[y=g(t)=g(h(t))=(g\circ h)(x)\]

또한 \(f'(t)=\frac{dx}{dy}\ne0\) 이면 \(h'(x)=\frac{1}{dx\over dt}\) 이므로 합성함수의 미분법에 의해

\[\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\frac{dt}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{g'(t)}{f'(t)}\]

[예제 1] \(x=r\cos\alpha t,\,y=r\sin\alpha t(\alpha\ne0)\) 일 때 \(dy/dx\)를 구하여라. (단, \(r,\,\alpha\)는 정수이다.)

<풀이> \(\frac{dx}{dt}=-\alpha\sin\alpha t,\,\frac{dy}{dt}=\alpha r\cos\alpha t\)

\(\frac{dx}{dt}\ne0\)이기 위해서는 \(t\ne\frac{n\pi}{\alpha}\)이면 된다. 따라서 \(t=\frac{n\pi}{\alpha}\) 이면

\(\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{\alpha r\cos\alpha t}{-\alpha r\sin\alpha t}=-\cot\alpha t.\)