지수함수ㆍ대수함수의 미분법
\(a>0,\,a\ne1,\,x>0,\,x+h>0\) 이라 하면,
\[\begin{align}\frac{d}{dx}\log_ax&=\lim_{h\to0}\frac{\log_a(x+h)-\log_ax}{h}=\lim_{h\to0}{1\over h}\log_a\left(1+{1\over x}\right)\\&={1\over x}\lim_{h\to0}\log_a\left(1+{h\over x}\right)^{x\over h}={1\over x}\lim_{t\to\pm\infty}\log_a\left(1+{1\over t}\right)^t\\&={1\over x}\log_ae\end{align}\]
(← 실수의 지수 예제4 참조)
특히 \(a=e\) 인 경우는 \(\ln{e}=1\)이 된다. 이상을 종합하면
\[\frac{d}{dx}\log_ax={1\over x}\log_ae,\qquad\frac{d}{dx}\ln{x}={1\over x}\]
\[y=a^x\ \text{이면}\ x=\log_ay.\]
따라서
\[\frac{d}{dx}a^x=\frac{1}{\frac{d}{dy}\log_ay}=\frac{y}{\log_ae}=a^x\ln{a}\]
특히 \(a=e\) 이면 \(\ln{a}=1\) 이다. 따라서,
\[\frac{d}{dx}a^x=a^x\ln{a},\qquad\frac{d}{dx}e^x=e^x.\]
<풀이> \(x^\mu=e^{\mu\ln{x}}\)로 쓸 수 있으므로
\[\frac{d}{dx}x^\mu=\frac{d}{dx}e^{\mu\ln{x}}=e^{\mu\ln{x}}\cdot\frac{\mu}{x}=x^\mu\cdot\frac{\mu}{x}=\mu x^{\mu-1}.\]
[예제 2] \(f(x)\)가 미분가능하면
\[\frac{d}{dx}\ln|f(x)|=\frac{f'(x)}{f(x)}\ (f(x)\ne0)\]
임을 증명하여라.
<증명> \(f(x)>0\) 일 때 \(y=f(x)\)라 두면
\[\frac{d}{dx}\ln|f(x)|=\frac{d}{dx}\ln f(x)=\frac{d}{dy}\ln{y}\cdot\frac{dy}{dx}=\frac{1}{y}\cdot y'=\frac{f'(x)}{f(x)}\]
\(f(x)>0\) 일 때 \(y=-f(x)\)라 두면
\[\frac{d}{dx}\ln|f(x)|=\frac{d}{dx}\ln(-f(x))=\frac{d}{dy}\ln{y}\cdot\frac{dy}{dx}=\frac{1}{y}\cdot y'=\frac{f'(x)}{f(x)}\]
따라서, \(f(x)\ne0\)인 경우에는 \(\dfrac{d}{dx}\ln|f(x)|=\dfrac{f'(x)}{f(x)}\)
[주의] 위의 결과에서
\[f'(x)=f(x)\cdot\frac{d}{dx}\ln|f(x)|\]
가 된다. 그러므로 \(f(x)\)를 미분할 때 직접 미분하기 보다, \(\ln|f(x)|\)를 미분하는 편이 더 간단한 경우에는 이 공식에 따라 미분해도 된다. 이와 같이 대수를 취해 미분하는 방법을 대수미분법(對數微分法)이라 한다.
[예제 3] \(y=\dfrac{(x-a)^p(x-b)^q}{(x-c)^r}(x\ne a,\,x\ne b,\,x\ne c)\)를 미분하여라.
<풀이> 양변의 절대치에 대수를 취하면,
\[\ln|y|=p\ln|x-a|+q\ln|x-b|-r\ln|x-c|\]
양변을 \(x\)로 미분하면
\[\frac{y'}{y}=\frac{p}{x-a}+\frac{q}{x-b}-\frac{r}{x-c}\]
따라서
\[y'=\frac{(x-a)^p(x-b)^q}{(x-c)^r}\left(\frac{p}{x-a}+\frac{q}{x-b}-\frac{r}{x-c}\right)\]
[예제 4] \(y=x^x(x>0)\)를 미분하여라.
<풀이> 양변에 대수를 취하면 \(\ln y=x\ln x.\) 양변을 \(x\)로 미분하면
\[\frac{y'}{y}=\ln{x}+1,\,y'=x^x(\ln{x}+1)\]
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