지수함수ㆍ대수함수의 미분법

\(a>0,\,a\ne1,\,x>0,\,x+h>0\) 이라 하면,

\[\begin{align}\frac{d}{dx}\log_ax&=\lim_{h\to0}\frac{\log_a(x+h)-\log_ax}{h}=\lim_{h\to0}{1\over h}\log_a\left(1+{1\over x}\right)\\&={1\over x}\lim_{h\to0}\log_a\left(1+{h\over x}\right)^{x\over h}={1\over x}\lim_{t\to\pm\infty}\log_a\left(1+{1\over t}\right)^t\\&={1\over x}\log_ae\end{align}\]

(← 실수의 지수 예제4 참조)

특히 \(a=e\) 인 경우는 \(\ln{e}=1\)이 된다. 이상을 종합하면

\[\frac{d}{dx}\log_ax={1\over x}\log_ae,\qquad\frac{d}{dx}\ln{x}={1\over x}\]

지수함수는 대수함수의 역함수이므로

\[y=a^x\ \text{이면}\ x=\log_ay.\]

따라서

\[\frac{d}{dx}a^x=\frac{1}{\frac{d}{dy}\log_ay}=\frac{y}{\log_ae}=a^x\ln{a}\]

특히 \(a=e\) 이면 \(\ln{a}=1\) 이다. 따라서,

\[\frac{d}{dx}a^x=a^x\ln{a},\qquad\frac{d}{dx}e^x=e^x.\]

[예제 1] 멱함수 \(f(x)=x^\mu(x>0,\,\mu\text{는 임의의 실수})\)를 미분하라.

<풀이> \(x^\mu=e^{\mu\ln{x}}\)로 쓸 수 있으므로

\[\frac{d}{dx}x^\mu=\frac{d}{dx}e^{\mu\ln{x}}=e^{\mu\ln{x}}\cdot\frac{\mu}{x}=x^\mu\cdot\frac{\mu}{x}=\mu x^{\mu-1}.\]

[예제 2] \(f(x)\)가 미분가능하면

\[\frac{d}{dx}\ln|f(x)|=\frac{f'(x)}{f(x)}\ (f(x)\ne0)\]

임을 증명하여라.

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