쌍곡선 함수 (Hyperbolic Function)

쌍곡선 함수는

\[\sinh{x}=\frac{e^x-e^{-x}}{2},\,\cosh{x}=\frac{e^x+e^{-x}}{2},\,\tanh{x}=\frac{\sinh{x}}{\cosh{x}}\]

에 의해서 정의된 함수이고 차례대로 hyperbolic sine, cosine, tangent 라 읽는다. 이 함수에 대하여 다음 항등식이 성립한다.

\[\begin{align}&(1)\ \cosh^2x-\sinh^2x=1\\&(2)\ \sinh(x+y)=\sinh{x}\cosh{y}+\cosh{x}\sinh{x}\\&(3)\ \cosh(x+y)=\cosh{x}\cosh{y}+\sinh{x}\sinh{y}\\&(4)\ \tanh(x+y)=\frac{\tanh{x}+\tanh{y}}{1+\tanh{x}\tanh{y}}\\&(5)\ \sinh3x=4\sinh^3x+3\sinh{x}\\&(6)\ \cosh3x=4\cosh^3x-3\cosh{x}\end{align}\]

<증명>

\(\displaystyle(1)\ \cosh^2x-\sinh^2x=\left(\frac{e^x+e^{-x}}{2}\right)^2-\left(\frac{e^x-e^{-x}}{2}\right)^2\)

\(\displaystyle=\frac{e^{2x}+2+e^{-2x}}{4}-\frac{e^{2x}-2+e^{-2x}}{4}=1\)

\(\displaystyle(2)\ \sinh{x}\cosh{y}+\cosh{x}\sinh{y}=\left(\frac{e^x-e^{-x}}{2}\right)\left(\frac{e^y+e^{-y}}{2}\right)+\left(\frac{e^x+e^{-x}}{2}\right)\left(\frac{e^y-e^{-y}}{2}\right)\)

\(\displaystyle=\frac{e^{x+y}+e^{x-y}-e^{-x+y}-e^{-x-y}}{4}+\frac{e^{x+y}-e^{x-y}+e^{-x+y}-e^{-x-y}}{4}=\frac{e^{x+y}-e^{-(x+y)}}{2}\)

\(=\sinh(x+y)\)

\((3)\displaystyle\cosh{x}\cosh{y}+\sinh{x}\sinh{y}=()()+()()\)

--- under construction ---