쌍곡선 함수 (Hyperbolic Function)

쌍곡선 함수는

\[\sinh{x}=\frac{e^x-e^{-x}}{2},\,\cosh{x}=\frac{e^x+e^{-x}}{2},\,\tanh{x}=\frac{\sinh{x}}{\cosh{x}}\]

에 의해서 정의된 함수이고 차례대로 hyperbolic sine, cosine, tangent 라 읽는다. 이 함수에 대하여 다음 항등식이 성립한다.

\[\begin{align}&(1)\ \cosh^2x-\sinh^2x=1\\&(2)\ \sinh(x+y)=\sinh{x}\cosh{y}+\cosh{x}\sinh{x}\\&(3)\ \cosh(x+y)=\cosh{x}\cosh{y}+\sinh{x}\sinh{y}\\&(4)\ \tanh(x+y)=\frac{\tanh{x}+\tanh{y}}{1+\tanh{x}\tanh{y}}\\&(5)\ \sinh3x=4\sinh^3x+3\sinh{x}\\&(6)\ \cosh3x=4\cosh^3x-3\cosh{x}\end{align}\]

<증명>

\(\displaystyle(1)\ \cosh^2x-\sinh^2x=\left(\frac{e^x+e^{-x}}{2}\right)^2-\left(\frac{e^x-e^{-x}}{2}\right)^2\)

\(\displaystyle=\frac{e^{2x}+2+e^{-2x}}{4}-\frac{e^{2x}-2+e^{-2x}}{4}=1\)

\(\displaystyle(2)\ \sinh{x}\cosh{y}+\cosh{x}\sinh{y}=\left(\frac{e^x-e^{-x}}{2}\right)\left(\frac{e^y+e^{-y}}{2}\right)+\left(\frac{e^x+e^{-x}}{2}\right)\left(\frac{e^y-e^{-y}}{2}\right)\)

\(\displaystyle=\frac{e^{x+y}+e^{x-y}-e^{-x+y}-e^{-x-y}}{4}+\frac{e^{x+y}-e^{x-y}+e^{-x+y}-e^{-x-y}}{4}=\frac{e^{x+y}-e^{-(x+y)}}{2}\)

\(=\sinh(x+y)\)

\((3)\ \displaystyle\cosh{x}\cosh{y}+\sinh{x}\sinh{y}=\left(\frac{e^x+e^{-x}}{2}\right)\left(\frac{e^y+e^{-y}}{2}\right)+\left(\frac{e^x-e^{-x}}{2}\right)\left(\frac{e^y-e^{-y}}{2}\right)\)

\(\displaystyle=\frac{e^{x+y}+e^{x-y}+e^{-x+y}+e^{-x-y}}{4}+\frac{e^{x+y}-e^{x-y}-e^{-x+y}+e^{-x-y}}{4}=\frac{e^{x+y}+e^{-(x+y)}}{2}\)

\(=\cosh(x+y)\)

\((4)\ \displaystyle\frac{\tanh{x}+\tanh{y}}{1+\tanh{x}\tanh{y}}=\frac{\dfrac{\sinh{x}}{\cosh{x}}+\dfrac{\sinh{y}}{\cosh{y}}}{1+\dfrac{\sinh{x}\sinh{y}}{\cosh{x}\cosh{y}}}=\frac{\sinh{x}\cosh{y}+\cosh{x}\sinh{y}}{\cosh{x}\cosh{y}+\sinh{x}\sinh{y}}\)

\(\displaystyle=\frac{\sinh(x+y)}{\cosh(x+y)}=\tanh(x+y)\)

\((5)\ \displaystyle4\sinh^3x+3\sinh{x}=4\left(\frac{e^x-e^{-x}}{2}\right)^3+3\left(\frac{e^x-e^{-x}}{2}\right)\)

\(\displaystyle={1\over2}(e^{3x}-3e^x+3e^{-x}-e^{-3x})+{3\over2}(e^x-e^{-x})=\frac{e^{3x}-e^{-3x}}{2}=\sinh3x\)

\((6)\ \displaystyle4\cosh^3x+3\cosh{x}=4\left(\frac{e^x+e^{-x}}{2}\right)^3-3\left(\frac{e^x+e^{-x}}{2}\right)\)

\(\displaystyle={1\over2}(e^{3x}+3e^x+3e^{-x}+e^{-3x})-{3\over2}(e^x+e^{-x})=\frac{e^{3x}+e^{-3x}}{2}=\cosh3x\)

복소수와 쌍곡선 함수

지수함수는 복소수를 정의역으로 정할 수 있으므로, 지수함수의 사칙연산인 쌍곡선 함수 또한 복소수로 확장할 수 있다. 이 때 복소수를 \(z\)라 하면 \(\sinh(z)\)와 \(\cosh(z)\)는 복소평면의 어떤 점에서도 해석적인(analytic) 전해석함수(entire function)이다.

삼각함수와의 관계는 복소수에 대한 오일러 공식으로 다음과 같다.

\((1)\ \sinh(ix)=i\sin(x)\)

\((2)\ \cosh(ix)=\cos(x)\)

\((3)\ \tanh(ix)=i\tan(x)\)

\((4)\ \sinh(x)=-i\sin(ix)\)

\((5)\ \cosh(x)=\cos(ix)\)

\((6)\ \tanh(x)=-i\tan(ix)\)

<증명> 오일러 공식에 의해

\[e^{ix}=\cos{x}+i\sin{x}\]

이다.

\((1)\ \sinh(ix)=\dfrac{e^{ix}-e^{-ix}}{2}=\dfrac{(\cos{x}+i\sin{x})-(\cos{x}-i\sin{x})}{2}=i\sin(x)\)

\((2)\ \cosh(ix)=\dfrac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}=\dfrac{(\cos{x}+i\sin{x})+(\cos{x}-i\sin{x})}{2}=\cos(x)\)

\((3)\ \tanh(ix)=\dfrac{\sinh(ix)}{\cosh(ix)}=\dfrac{i\sin{x}}{\cos{x}}=i\tan(x)\)

\((4)\ \sinh(x)=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}=\dfrac{e^{-i^2x}-e^{i^2x}}{2}=\dfrac{\{\cos(ix)-i\sin(ix)\}-\{\cos(ix)+i\sin(ix)\}}{2}\)

                    \(=-i\sin(ix)\)

\((5)\ \cosh(x)=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}=\dfrac{e^{-i^2x}+e^{i^2x}}{2}=\dfrac{\{\cos(ix)-i\sin(ix)\}+\{\cos(ix)+i\sin(ix)\}}{2}\)

                    \(=\cos(ix)\)

\((6)\ \tanh(x)=\dfrac{\sinh(x)}{\cosh(x)}=\dfrac{-i\sin(ix)}{\cos(ix)}=-i\tan(ix)\)