등비수열

등비수열은 각 항이 초항과 일정한 비를 가지는 수열이다. 즉, 초항이 \(a\)이고 공비가 \(r\) 이면 수열 \(\{a_n\}\)은

\[a,\,ar,\,ar^2,\,ar^3,\,\cdots,\,ar^{n-1},\,ar^n,\,\cdots\]

이므로 \(n\) 번째 항은

\[a_n=ar^{n-1}\]

\(r\ne1\) 인 경우 초항부터 \(n\)항 까지의 합은

\[S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\ (\text{단,}\,r=1\ \text{인 경우는}\ na)\]

[증명] 초항부터 \(n\)번째 항까지의 합, \(S_n\)은 식 (1)과 같다.

\[S_n=a+ar+ar^2+ar^3+\cdots+ar^{n-1}\cdots(1)\]

식 (1)의 양변에 공비 \(r\)를 곱하면

\[rS_n=ar+ar^2+ar^3+\cdots+ar^{n-1}+ar^n\cdots(2)\]

식 (1)에서 식 (2)를 빼고 \(r\ne1\) 일 때 정리하면 다음과 같이 합의 공식을 얻는다.

\[(1-r)S_n=a-ar^n,\,S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}\]