감마함수

다음 적분

\[\Gamma(s)=\int_0^\infty x^{s-1}e^{-x}dx\qquad(s>0)\]

은 상한에 관해서 무한적분이고, 하한에 관해서는 특이적분이다. 이 적분은 \(s>0\)을 만족하는 임의의 실수 \(s\)에 대해서 항상 존재한다는 것이 알려져 있다. 각각의 \(s\)의 값에 대해서 이 적분의 값 \(\Gamma(s)\)를 대응시키면 하나의 함수 \(\Gamma(s)\)를 생각할 수 있다. 이 \(s\)의 함수 \(\Gamma(s)\)를 감마함수라 한다.

\[\Gamma(s+1)=\int_0^\infty x^se^{-x}dx=[-x^se^{-x}]_0^\infty+s\int_0^\infty x^{s-1}e^{-x}dx=s\Gamma(s)\]

또 \(\Gamma(1)\)를 구하면

\[\Gamma(1)=\int_0^\infty e^{-x}dx=[-e^{-x}]_0^\infty=1\]

위의 두 식을 이용하면 양의 정수 \(n\)에 대하여

\[\Gamma(n+1)=n\Gamma(n)=n(n-1)\Gamma(n-1)=\cdots=n!\Gamma(1)\]

따라서 다음 공식을 얻는다.

\[\Gamma(n+1)=n!\qquad(n=0,\,1,\,2,\,\cdots)\]