무한적분

함수 \(f(x)\)는 반무한구간 \([a,\,\infty)\)에서 연속이고, 양수 \(T\)를 취하여 극한 \(\lim_{T\to\infty}\int_a^Tf(x)dx\)가 존재할 때 이것을 다음 기호로 나타낸다.

\[\int_a^\infty f(x)dx=\lim_{T\to\infty}\int_a^Tf(x)dx\cdots(1)\]

이 때 무한적분 \(\int_a^\infty f(x)dx\)는 존재한다 또는 수렴한다라 한다. 만일 윗 식 우변의 극한이 존재하지 않으면, 이 무한적분은 존재하지 않는다 또는 발산한다라 한다.

그림 1

마찬가지로 다른 형의 무한적분도 각각 다음과 같이 정의한다.

\[\begin{split}&\int_{-\infty}^bf(x)dx=\lim_{T\to-\infty}\int_T^bf(x)dx&\cdots(2)\\&\int_{-\infty}^\infty f(x)dx=\lim_{T\to+\infty}\lim_{T'\to-\infty}\int_{T'}^Tf(x)dx&\cdots(3)\end{split}\]

그림 2

그림 2는 (3)의 의미를 나타낸 것이다. (2)의 의미는 그림 1에서 유추할 수 있다.

또 무한적분 \(\int_a^\infty f(x)dx\)에도 값을 구할 수 있다. 함수 \(f(x)\)가 구간 \([a,\,+\infty)\)에서 연속이고, 부정적분 \({\rm F}(x)\)를 가진다고 하자. 이 때 \(\lim_{x\to\infty}{\rm F}(x)={\rm B}\)가 유한확정적으로 존재한다고 가정하면

\[\lim_{T\to\infty}\int_a^Tf(x)dx=\lim_{T\to\infty}\{{\rm F}(T)-{\rm F}(a)\}=\lim_{T\to\infty}{\rm F}(T)-F(a)={\rm B}-{\rm F}(a)\]

가 되어 좌변의 극한값이 존재한다. 이 때

\[\int_a^\infty f(x)dx=\lim_{T\to\infty}[{\rm F}(x)]_a^T=[{\rm F}(x)]_a^\infty\]

와 같은 형식으로 나타낸다. 비슷한 조거의 것으로서

\[\begin{align}&\int_{-\infty}^bf(x)dx=[{\rm F}(x)]_{-\infty}^b\\&\int_{-\infty}^\infty f(x)dx=[{\rm F}(x)]_{-\infty}^\infty\end{align}\]

와 같은 형식으로도 나타낸다.

[예제 1] 다음 무한적분이 존재하면, 그 값을 구하여라.

(1) \(\int_a^\infty \frac{dx}{x^2}(a>0)=\lim_{T\to\infty}\frac{dx}{x^2}=\lim_{T\to\infty}\left(-{1\over T}+{1\over a}\right)={1\over a}\)

(2) 

--- under construction ---