벡터의 외적 (Cross Product of Vectors)

정의 1. 두 개의 벡터 \({\bf a}, {\bf b}\)에 대하여 다음과 같은 크기와 방향을 갖는 벡터 \(\bf c\)를, \(\bf a\)와 \(\bf b\)의 외적(外積) 또는 벡터적이라 말하고, \({\bf a}\times{\bf b}\) 또는 \([{\bf a},\,{\bf b}]\)로 나타낸다.

 

\({\bf c}={\bf a}\times{\bf b}\)의 크기 : 점 \(\rm O\)를 시점으로 해서 \({\bf a}=\rm OA,\,{\bf b}=OB\)를 만들 때, \(\rm OA\)와 \(\rm OB\)를 두변으로하는 평행사변형의 면적.

\({\bf c}={\bf a}\times{\bf b}\)의 방향 : 벡터 \({\bf a},\,{\bf b}\)에 수직이고, \(\rm OA\)를 \(\rm O\)의 주위에 \(\pi\) 이하의 각 \(\theta\) 만큼을 회전해서 \(\rm OB\)에 겹치게 할 때, 오른쪽 나사의 진행하는 방향.

특히, \({\bf a},\,{\bf b}\)가 평행할 때나 어느 한쪽이 영벡터 일 때는 \({\bf a}\times{\bf b}={\bf 0}\)로 한다.

[주의] \(\theta\)를 벡터 \(\bf a\)와 \(\bf b\)가 이루는 각이라 할 때, \(\rm OA,\,OB\)를 두변으로 하는 평행사변형의 면적은 \(|{\bf a}||{\bf b}|\sin\theta\)와 같다. 이것이 \(|{\bf a}\times{\bf b}|\) 이다.

정리 1   (외적의 성질) (i)   \({\bf a}\times{\bf a}={\bf 0}\) (ii)  \({\bf a}\times{\bf b}=-{\bf b}\times{\bf a}\) (iii) \((t{\bf a})\times{\bf b}={\bf a}\times(t{\bf b})=t({\bf a}\times{\bf b})\) (iv) \({\bf a}\times({\bf b}+{\bf c})={\bf a}\times{\bf b}+{\bf a}\times{\bf c},\,({\bf a}+{\bf b})\times{\bf c}={\bf a}\times{\bf c}+{\bf b}\times{\bf c}\) (분배법칙)

<증명> (iv)의 전반만 증명한다. 벡터 \({\bf a},\,{\bf b},\,{\bf c}\) 가운데 영벡터가 있으면, 당연히 등식은 성립를 하기 때문에, 어느 벡터도 영벡터가 아니라고 가정한다. 한 점 \(\rm O\)를 시점으로 하고, 벡터 \({\bf a},\,{\bf b}\)와 같게 \(\rm OA,\,OB\)를 긋고, \(\rm O\)를 지나 \(\rm OA\)에 수직인 평면 \(\pi\)를 만들면, \(\rm O\)를 시점으로 하는 벡터 \({\bf a}\times{\bf b}=\rm OP\)는 평면 \(\pi\) 상에 있다. 점 \(\rm B\)로부터 \(\pi\)에 내린 수선의 발을 \(\rm B'\)라 하면, \(\rm OA\)와 \(\rm OB\)를 두변으로 하는 평행사변형의 면적과 같고, 또한, \(\rm OA\times OB\)와 \(\rm OA\times OB'\)의 방향도 일치하기 때문에

\[{\bf a}\times{\bf b}=\rm OA\times OB=OA\times OB'=OP\]

이다. 이 식으로부터 \(\rm OP\)는 \(\rm OB'\)를 \(|{\bf a}|\) 배하여, \(\rm O\)의 주위로 \(90^\circ\) 만큼 양의 방향으로 회전한 것임을 알 수 있다.

같은 모양으로, \(\bf c\)와 같은 벡터 \(\rm OC\)를 만들어, 점 \(\rm C\)로부터 평면 \(\pi\)에 내린 수선의 발을 \(\rm C'\)라 하면,

\[{\bf a}\times{\bf c}=\rm OA\times OC=OA\times OC'\]

이다. 또 \(\rm OB\)와 \(\rm OC\)를 두변으로 하는 평행사변형의 대각선을 \(\rm OD\)라 하고, 점 \(\rm D\)로부터 평면 \(\pi\)에 내린 수선의 발을 \(\rm D'\)라 하면

\[{\bf a}\times({\bf b}+{\bf c})=\rm OA\times OD=OA\times OD'\]

이다. 한편, \(\rm OB'D'C'\)는 평행사변형 \(\rm OBDC\)의 평면 \(\pi\) 위에 있어서 정사영이므로 마찬가지로 평행사변형이며

\[\rm OB'+OC'=OD'\]

이다. 여기에서,

\[\begin{gather}{\bf a}\times{\bf c}=\rm OQ\\{\bf a}\times({\bf b}+{\bf c})=\rm OR\end{gather}\]

이라 두면, \(\rm OQ,\,OR\)은 각각 \(\rm OC',\,OD'\)를 \(|{\bf a}|\) 배하여, \(\rm O\)의 주위로 \(90^\circ\) 만큼 양의 방향으로 회전한 것이 된다. 따라서, \(\rm OPRQ\)는 평행사변형이 되고,

\[\rm OR=OP+OQ\ \text{즉},\,{\bf a}\times({\bf b}+{\bf c})={\bf a}\times{\bf b}+{\bf a}\times{\rm c}\]

이다.

우수계 정규직교계 \(\{{\bf i},\,{\bf j},\,{\bf k}\}\)에서 다음 관계가 성립한다.

\[\begin{gather}{\bf i}\times{\bf i}={\bf j}\times{\bf j}={\bf k}\times{\bf k}={\bf 0}\\{\bf j}\times{\bf k}={\bf i},\,{\bf k}\times{\bf i}={\bf j},\,{\bf i}\times{\bf j}={\bf k}\end{gather}\]

[예제 1] 단위벡터 \({\bf n}=(0.4,\,0.6,\,0.693),\,{\bf s}=(-0.832,\,0.555,\,0.0)\) 일 때, \({\bf n},\,{\bf s}\)에 수직인 단위벡터 \(\bf e\)를 구하여라. 단, \({\bf a},\,{\bf b},\,{\bf e}\)는 우수계이다.

<풀이> \({\bf e}={\bf n}\times{\bf s}=(0.4{\bf i}+0.6{\bf j}+0.693{\bf k})\times(-0.832{\bf i}+0.555{\bf j}+0.0{\bf k})\)

\(=-0.333{\bf i}\times{\bf i}+0.222{\bf i}\times{\bf j}-0.499{\bf j}\times{\bf i}+0.333{\bf j}\times{\bf j}-0.576{\bf k}\times{\bf i}+0.385{\bf k}\times{\bf j}\)

\(=0.222{\bf k}+0.499{\bf k}-0.576{\bf j}-0.385{\bf i}=-0.385{\bf i}-0.576{\bf j}+0.721{\bf k}\)

[예제 2] \({\bf a}={\bf i}+2{\bf j}-3{\bf k},\,{\bf b}=-3{\bf i}+{\bf j}+4{\bf k}\) 일 때, \({\bf a},\,{\bf b}\)에 수직인 단위벡터 \({\bf e}\)를 구하고, \({\bf a},\,{\bf b},\,{\bf e}\)가 우수계가 되도록 하여라.

<풀이> \({\bf a}\times{\bf b}=({\bf i}+2{\bf j}-3{\bf k})\times(-3{\bf i}+{\bf j}+4{\bf k})\)

\(=-3{\bf i}\times{\bf i}+{\bf i}\times{\bf j}+4{\bf i}\times{\bf k}-6{\bf j}\times{\bf i}+2{\bf j}\times{\bf j}+8{\bf j}\times{\bf k}+9{\bf k}\times{\bf i}-3{\bf k}\times{\bf j}-12{\bf k}\times{\bf k}\)

\(={\bf k}-4{\bf j}+6{\bf k}+8{\bf i}+9{\bf j}+3{\bf i}=11{\bf i}+5{\bf j}+7{\bf k}\)

\(\displaystyle{\bf e}=\frac{{\bf a}\times{\bf b}}{|{\bf a}\times{\bf b}|}=\frac{11{\bf i}+5{\bf j}+7{\bf k}}{\sqrt{11^2+5^2+7^2}}=\frac{11{\bf i}+5{\bf j}+7{\bf k}}{\sqrt{195}}\)

두 개의 벡터 \({\bf a},\,{\bf b}\)를 두변으로 하는 삼각형의 면적 \(\rm S\)는 다음과 같다.

\[{\rm S}={1\over2}|{\bf a}\times{\bf b}|\]

정리 2   (평행육면체의 체적) 3개의 벡터 \({\bf a},\,{\bf b},\,{\bf c}\)를 세변으로 하는 평행육면체의 체적 \(\rm V\)는 \[{\rm v}=({\bf a},\,{\bf b}\times{\bf c})\]로 나타내진다. 단, \({\bf a},\,{\bf b},\,{\bf c}\)가 우수계라면 \(\rm V>0\), 좌수계라면 \(\rm V<0\)라고 생각한다.

<증명> \(\rm O\)를 시점으로 하고, \({\bf a},\,{\bf b},\,{\bf c}\)와 같은 벡터 \(\rm OA,\,OB,\,OC\)를 만들고, 이것을 세변으로 하는 평행육면체를 만든다. \({\rm OD}={\bf b}\times{\bf c}\)라 하고, \(\rm OD\)와 \(\rm OA\)가 이루는 각을 \(\theta,\,\rm OA\)와 \(\rm OD\) 상에의 정사영의 길이를 \(h\)라 하고, \(\rm OB,\,OC\)를 두변으로 하는 평행사변형의 면적을 \(\rm S\)라 하면,

\[h=|{\bf a}|\cos\theta,\,\rm S=|{\bf b}\times{\bf c}|\]

이므로,

\[({\bf a},\,{\bf b}\times{\bf c})=|{\bf a}||{\bf b}\times{\bf c}|\cos\theta=h\rm S=V\]

이 된다. \({\bf a},\,{\bf b},\,{\bf c}\)가 우수계인가, 좌수계인가에 따라, \(\theta\)는 예각 또는 둔각이 되고, \(h\)는 양 또는 음이 된다.

정의 2. \(({\bf a},\,{\bf b}\times{\bf c})\)를 벡터 \({\bf a},\,{\bf b},\,{\bf c}\)의 스칼라삼중적(三重積)이라 하고, \([{\bf a},\,{\bf b},\,{\bf c}]\)로 나타낸다.

세개의 벡터 \({\bf a},\,{\bf b,\,{\bf c}}\)를 세변으로 하는 평행육면체의 체적은, 세개의 벡터 \({\bf b},\,{\bf c},\,{\bf a}\)가 만드는 평행육면체의 체적과 부호를 포함하여 같은 것이다. 이런 식으로 생각하면, 다음식이 성립한다.

\[({\bf a},\,{\bf b}\times{\bf c})=({\bf b},\,{\bf c}\times{\bf a})=({\bf c},\,{\bf a}\times{\bf b})\]

《문     제》

1. \({\bf a}=2{\bf i}-3{\bf j}+{\bf k},\,{\bf b}={\bf i}-2{\bf j}-3{\bf k}\) 일 때, \({\bf a}\times{\bf b}\)를 구하여라. 또, \({\bf a},\,{\bf b}\)에 수직인 단위벡터 \(\bf e\)를 구하여라.

<풀이>

\({\bf a}\times{\bf b}=\left|\begin{matrix}\bf i&\bf j&\bf k\\2&-3&1\\1&-2&-3\end{matrix}\right|=11{\bf i}+7{\bf j}-{\bf k}\)

\(\displaystyle{\bf e}=\pm\frac{{\bf a}\times{\bf b}}{|{\bf a}\times{\bf b}|}=\pm\frac{11{\bf i}+7{\bf j}-{\bf k}}{\sqrt{171}}\)

2. \(\rm OA=[3,\,-2,\,1],\,OB=[1,\,4,\,-3]\)이라 할 때, \(\rm OA\times OB\)를 구하여라. 또 \(\rm OA,\,OB\)를 두변으로 하는 평행사변형의 면적을 구하여라.

<풀이>

\(\overrightarrow{\rm OA}\times\overrightarrow{OB}=\left|\begin{matrix}\bf i&\bf j&\bf k\\3&-2&1\\1&4&-3\end{matrix}\right|=2{\bf i}+10{\bf j}+14{\bf k}\)

\(\rm S=|\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB}|=10\sqrt{3}\)

3. \(({\bf a}+t{\bf b})\times{\bf b}={\bf a}\times{\bf b}\)를 증명하고, 또 그의 도형적 의미를 설명하여라.

<풀이> \(({\bf a}+t{\bf b})\times{\bf b}=({\bf a}\times{\bf b})+(t{\bf b}\times{\bf b})=({\bf a}\times{\bf b})\)

아랙 그림에서 \(|{\bf a}|\sin\alpha=|{\bf a}+t{\bf b}|\sin\beta\) 이므로 각각 벡터 \({\bf a}+t{\bf b}\)와 \({\bf b},\,{\bf a}\)와 \(\bf b\)를 두변으로 하는 평행사변형의 면적은 같다. 또한 외적 \(\bf c\)의 방향은 \(\bf a\)를 동일 방향으로 회전시키므로 같은 방향이 된다.

4. \(s,\,t\)를 실수라 할 때, \((s{\bf a}+t{\bf b},\,{\bf a}\times{\bf b})=0\)을 증명하여라.

<풀이> \((s{\bf a}+t{\bf b},\,{\bf a}\times{\bf b})=({\bf a},\,{\bf b}\times(s{\bf a}+t{\bf b}))=({\bf b},\,(s{\bf a}+t{\bf b})\times{\bf a})=({\bf a},\,s({\bf b}\times{\bf a}))\)

                                        \(=s({\bf b},\,{\bf a}\times{\bf a})=s({\bf b},\,{\bf 0})=0\)

5. 좌표가 \((1,\,1,\,0),\,(2,\,3,\,-1),\,(-1,\,0,\,2)\)인 세점을 정점으로 하는 삼각형의 면적을 구하여라.

<풀이> 세점을 순서대로 \(\rm O, A, B\)라 하면

\({\bf a}=\overrightarrow{\rm OA}=(2-1,\,3-1,\,-1-0)=(1,\,2,\,-1)\)

\({\bf b}=\overrightarrow{\rm OB}=(-1-1,\,0-1,\,2-0)=(-2,\,-1,\,2)\)

\(\displaystyle\rm S=\frac{|{\bf a}\times{\bf b}|}{2}=\frac{|({\bf i}+2{\bf j}-{\bf k})\times(-2{\bf i}-{\bf j}+2{\bf k})|}{2}={3\over2}|{\bf i}+{\bf k}|={3\over\sqrt{2}}\)