관성능률의 평행축 정리
어떤 물체의 중심 \(G\)를 지나는 직선 \(g\) 둘레의 관성능률 을 \({\rm I}_g\)라 하고 \(g\)에 평행한 직선 \(g'\) 둘레의 관성능률을 \({\rm I}_g'\)로 두면 \[{\rm I}_g'={\rm I}_g+k^2{\rm M}\] 이다. 단, \(k\)는 \(g\)와 \(g'\)와의 거리이고 \(\rm M\)은 물체의 전체 질량이다. <증명> 아래 그림과 같이 \(g\)를 \(z\)축으로 두자. 또 \(g'\)를 \(z'\)축으로 하는 좌표계 x'y'z'-계를 설정하자. \(yz\)평면과 \(zx\)평면에 관한 2차능률을 각각 \(\rm H_1\)과 \(\rm H_2\), \(y'z'\)평면과 \(z'x'\)평면에 관한 2차능률을 각각 \(\rm H_1'\)과 \(\rm H_2'\)로 두면 \[{\rm H}_1=\int_a^bx^2g(x)dx,\qquad{\rm H}_2=\int_c^dy^2h(y)dy\] 한편 \(x'=x+k,\,y'=y\) 이므로 \[{\rm H}_1'=\int_a^b(x+k)^2g(x)dx,\qquad{\rm H}_2'=\int_c^dy^2h(y)dy={\rm H}_2\] 이다. 따라서 \[\begin{align}{\rm H}_1'&=\int_a^b\left(x^2+2kx+k^2\right)g(x)dx=\int_a^bx^2g(x)dx+2k\int_a^bxg(x)dx+k^2\int_a^bg(x)dx\\&=\int_a^bx^2g(x)dx+k^2{\rm M}={\rm H}_1+k^2{\rm M}\end{align}\] 여기서 중심 \(G\)가 \(z\)축 상에 있으므로 \[\int_a^bxg(x)dx=0\] 도 명백히 \[{\rm M}=\int_a^bg(x)dx\] 도형의 관성능률 식 (1)에 의하여 \[{\rm I}_g'={\r...