기계공학 (Mechanical Engineering)

원통좌표계 에서 2차 텐서(2nd rank tensor)의 발산을 유도해 본다. 원통좌표계의 델 연산자 \((\nabla)\)를 적용하고 텐서 를 단위벡터 의 형태로 나타내면 다음과 같다. \[\nabla\cdot\boldsymbol\sigma=\left(\hat{r}\frac{\partial}{\partial r}+\hat\theta\frac{\partial}{r\partial\theta}+\hat{z}\frac{\partial}{\partial z}\right)\cdot\left(\begin{matrix}\quad\sigma_{rr}\hat{r}\hat{r}+\sigma_{r\theta}\hat{r}\hat\theta+\sigma_{rz}\hat{r}\hat{z}\\+\sigma_{\theta r}\hat\theta\hat{r}+\sigma_{\theta\theta}\hat\theta\hat\theta+\sigma_{\theta z}\hat\theta\hat{z}\\+\sigma_{zr}\hat{z}\hat{r}+\sigma_{z\theta}\hat{z}\hat\theta+\sigma_{zz}\hat{z}\hat{z}\end{matrix}\right)\] 2차 텐서 각 항에 단위벡터의 좌표계 미분 과 적(積)의 미분법 을 이용하여 델 연산자의 성분 을 적용하면 \[\begin{split}&\hat{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(\sigma_{rr}\hat{r}\hat{r}\right)=\hat{r}\frac{\partial\sigma_{rr}}{\partial r}\\&\hat{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(\sigma_{r\theta}\hat{r}\right)\end{split}\] --- under construction ---

[문 제] \(\rm O\)와 \(\rm D\)는 각 원의 중심이다. \(\rm R=6,\,r=3\) 일 때 \(\rm DA\times DB\)를 구하여라. <풀이> \(\angle{\rm ADO}=a,\,\angle{\rm ADB}=b,\,\angle{\rm BDT}=c\)로 두면 \[\angle{\rm TBD}={\pi\over2}-c,\,\angle{\rm BAD}={\pi\over2}-c-b,\,\angle{\rm ABO}={\pi\over2}+a-b-c,\,\angle{\rm DBO}=a+b\] 한편 \(\angle{\rm ABO}+\angle{\rm DBO}+\angle{\rm TBD}=\pi\) 이므로 \(a=c\) 이다. 따라서 \[{\rm DA\times DB=2R}\cos{a}\left(r\over\cos{a}\right)=36\]

정의 1. 두 개의 벡터 \({\bf a}, {\bf b}\)에 대하여 다음과 같은 크기와 방향을 갖는 벡터 \(\bf c\)를, \(\bf a\)와 \(\bf b\)의 외적(外積) 또는 벡터적 이라 말하고, \({\bf a}\times{\bf b}\) 또는 \([{\bf a},\,{\bf b}]\)로 나타낸다.   \({\bf c}={\bf a}\times{\bf b}\)의 크기 : 점 \(\rm O\)를 시점으로 해서 \({\bf a}=\rm OA,\,{\bf b}=OB\)를 만들 때, \(\rm OA\)와 \(\rm OB\)를 두변으로하는 평행사변형의 면적. \({\bf c}={\bf a}\times{\bf b}\)의 방향 : 벡터 \({\bf a},\,{\bf b}\)에 수직이고, \(\rm OA\)를 \(\rm O\)의 주위에 \(\pi\) 이하의 각 \(\theta\) 만큼을 회전해서 \(\rm OB\)에 겹치게 할 때, 오른쪽 나사 의 진행하는 방향. 특히, \({\bf a},\,{\bf b}\)가 평행할 때나 어느 한쪽이 영벡터 일 때는 \({\bf a}\times{\bf b}={\bf 0}\)로 한다. [ 주의 ] \(\theta\)를 벡터 \(\bf a\)와 \(\bf b\)가 이루는 각이라 할 때, \(\rm OA,\,OB\)를 두변으로 하는 평행사변형의 면적은 \(|{\bf a}||{\bf b}|\sin\theta\)와 같다. 이것이 \(|{\bf a}\times{\bf b}|\) 이다. 정리 1   (외적의 성질) (i)   \({\bf a}\times{\bf a}={\bf 0}\) (ii)  \({\bf a}\times{\bf b}=-{\bf b}\times{\bf a}\) (iii) \((t{\bf a})\times{\bf b}={\bf a}\times(t{\bf b})=t({\bf a}\times{\bf b})\) (iv) \({\bf a}...

  chauffa ge [ ʃofaːʒ] m. 난방

공간에 질량 \(m_1,\,m_2,\,\cdots,\,m_n\)을 가진 점 \({\rm P}_1,\,{\rm P}_2,\,\cdots,\,{\rm P}_n\)와 직선 \(g\)가 주어져다고 하자. 이 때 각 점에서 직선까지의 거리가 각각 \(r_1,\,r_2,\,\cdots,\,r_n\) 이면, 다음 합 \[{\rm I}_g=\sum_{i=1}^nm_ir_i^2=m_1r_1^2+m_2r_2^2+\cdots+m_nr_n^2\] 을 이 질점계의 \(g\)둘레의 관성능률(慣性能率) 이라 한다. 여기서 직선 \(g\)가 \(z\)축이라면 각 점의 좌표를 각각 \({\rm P}_1(x_1,\,y_1,\,z_1),\,{\rm P}_2(x_2,\,y_2,\,z_2),\cdots,\,{\rm P}_n(x_n,\,y_n,\,z_n)\)으로 나타낼 때 \(z\)축 둘레의 관성능률은 \(r_i^2=x_i^2+y_i^2\ (i=1,\,2,\,\cdots,\,n)\)이므로 \[{\rm I}_z=\sum_{i=1}^nm_i\left(x_i^2+y_i^2\right)\]  이다. 같은 방법으로 \(x\)축과 \(y\)축 둘레의 관성능률은 각각 \[{\rm I}_x=\sum_{i=1}^nm_i\left(y_i^2+z_i^2\right),\qquad{\rm I}_y=\sum_{i=1}^nm_i\left(z_i^2+x_i^2\right)\] 으로 주어진다. 여기서 \[{\rm H}_1=\sum_{i=1}^nm_ix_i^2,\qquad{\rm H}_2=\sum_{i=1}^nm_iy_i^2,\qquad{\rm H}_3=\sum_{i=1}^nm_iz_i^2\] 을 각각 \(yz,\,zx,\,xy\) 평면에 관하여 이 질점계의 2차 능률(二次能率) 이라 한다. \[{\rm I}_x={\rm H}_2+{\rm H}_3,\qquad{\rm I}_y={\rm H}_3+{\rm H}_1,\qquad{\rm I}_z={\rm H}_1+{\rm H}_2\cdots(1)\] 가 성립함을 알 수 있...

 make use of : ~을 활용하다.