기계공학 (Mechanical Engineering)

정의 1 공간내의 한 점 \(\rm O\)로부터 일차독립 인 3개의 벡터 \[e_1=\overrightarrow{\rm OE_1},\,e_2=\overrightarrow{\rm OE_2},\,e_3=\overrightarrow{\rm OE_3}\] 을 만들면, 임의의 벡터 \(\bf x\)는 \(e_1,\,e_2,\,e_3\)의 일차결합으로서 \[{\bf x}=xe_1+ye_2+ze_3\ (x,\,y,\,z\text{는 실수})\] 의 형으로 일의성으로 표현된다. 이 때 \(e_1,\,e_2,\,e_3\)을 공간의 기저(基底)벡터 또는 기저 라 부르고, \(\{e_1,\,e_2,\,e_3\}\)로 표현한다. \(x,\,y,\,z\)는 기저 \(\{e_1,\,e_2,\,e_3\}\)에 관한 벡터 \(\bf x\)의 성분(成分)이라 하고, \[{\bf x}=[x,\,y,\,z]\ \text{또는}\ {\bf x}=\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}\] 로 나타낸다. 특히 \(e_1,\,e_2,\,e_3\)가 서로 직교하는 단위벡터일 때, 이것을 보통 \({\bf i},\,{\bf j},\,{\bf k}\)로 쓰기로 하고, \(\{{\bf i},\,{\bf j},\,{\bf k}\}\)를 정규직교기저(正規直 交基底)라 한다. [ 주의 ] 기저는 항상 일차독립인 벡터의 짝으로 되어 있다. 평면의 경우는, 위 정의의 특별한 경우로서 정의된다. 단, 평면에 있어서 기저의 부호를 생각하여 다음과 같이 생각한다. 직교기저 \({\bf i},\,{\bf j}\)의 시점을 동일한 점 \(\rm O\)라 할 때, \(\bf i\)로부터 \(\bf j\)를 향하여 잰 각이 \(\pi/2\) 일 때, 이것을 정(正) 의 직교기저 라 하고, \(-\pi/2\) 일 때 부(負)의 직교기저 라 한다. 일반적으로, 일차독립이지만, 직교하지 않는 2개의 벡터에 대해서도, 같은 모양으로 기저의 부호를 구별할 수 있다. 공간의 경우에는 \({\bf i},\,...

2변수 \((x,\,y)\) 함수  \({\rm F}(x,\,y)={\rm F(P)}\)에서 \(\rm P\)는 좌표 \((x,\,y)\)를 갖는 \(xy\) 평면 위에 영역 \(\rm D\)가 있다 하자. \(\rm D\)를 여러 곡선으로 분할하여, 분할 \(\Delta\)에서 얻어지는 각 소영역에 번호를 붙여 \[{\rm D}_1,\,{\rm D}_2,\,\cdots,\,{\rm D}_i,\,\cdots,\,{\rm D}_n\] 이라 하자. 그림 1 각각의 소영역 \({\rm D}_i\) 내에서 임의의 점 \({\rm P}_1(x_1,\,y_1),\,{\rm P}_2(x_2,\,y_2),\,\cdots,\,{\rm P}_n(x_n,\,y_n)\)을 잡아 다음의 합 \[\begin{align}{\rm S}_n&=\sum_{i=1}^n{\rm F(P}_i)\Delta{\rm S}_i\\&={\rm F(P_1)\Delta S_1+F(P_2)\Delta S_2+\cdots+F(P}_n)\Delta{\rm S}_n\\&={\rm F}(x_1,\,y_1)\Delta{\rm S_1+F}(x_2,\,y_2)\Delta{\rm S_2+\cdots+F}(x_n,\,y_n)\Delta{\rm S}_n\end{align}\] 을 만들자. 여기서 \(\Delta{\rm S}_i\)는 각 소영역 \({\rm D}_i\)의 면적을 나타낸다. 이 분할을 \(\rm D_i\)의 면적이 0에 수렴하도록 세분할 때 합 \({\rm S}_n\)이 일정한 극한치 \(\rm S\)에 한없이 가까이 갈 때, 즉 \[{\rm S}=\lim_{n\to\infty}{\rm S}_n=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n{\rm F(P}_i)\Delta{\rm S}_i\] 일 경우, 함수 \({\rm F}(x,\,y)={\rm F(P)}\)는 영역 \(\rm D\)에서 적분가능(積分可能) 이다 라고 한다. 극한치 \(\rm S\)를 \[\iint_{\r...