기본적인 적분

다음 공식은 자주 이용되는 것이다.

\[\int f(ax+b)dx={1\over a}{\rm F}(ax+b)\qquad(a\ne0)\]

여기서 \(\int f(x)dx={\rm F}(x)\) 이다.

<증명> 먼저 \(\int f(x)dx={\rm F}(x)\) 이므로 \({\rm F'}(x)=f(x)\) 이다. 그러므로 다음과 같이 미분계산을 할 수 있다.

\[\left({1\over a}{\rm F}(ax+b)\right)={\rm F'}(ax+b)=f(ax+b)\]

따라서 위의 공식이 증명되었다.

위의 공식을 이용해서, 부정적분의 기본공식을 생각하면, 다음 공식을 얻는다. 단, \(a\ne0\)이라 한다.

\[\begin{align}&\int(ax+b)^\alpha dx={1\over a(\alpha+1)}(ax+b)^{\alpha+1}\qquad(\alpha\ne-1)\\&\int\frac{dx}{ax+b}=\frac{\ln|ax+b|}{a}\\&\int e^{ax}dx=\frac{e^{ax}}{a}\\&\int\cos(ax+b)dx=\ \ \,\frac{\sin(ax+b)}{a}\\&\int\sin(ax+b)dx=-\frac{\cos(ax+b)}{a}\end{align}\]

[예제 1] 다음 함수를 적분하여라.

\((1)\ (2x+1)^3\qquad\quad\ (2)\ \dfrac{1}{(2x+1)^3}\qquad(3)\ \dfrac{1}{2x+1}\)

\((4)\ \sqrt{\dfrac{x}{2}+3}\qquad\quad\ \,(5)\ \dfrac{1}{\sqrt{x-1}}\qquad\ \ \ (6)\ \dfrac{1}{\sqrt[3]{1-3x}}\)

\((7)\ \cos(2x+3)\qquad(8)\ \cos^2x\qquad\quad\ \ \ (9)\ (e^{2x}+e^{-2x})^2\)

<풀이>

\((1)\ \displaystyle\int(2x+3)^3dx={1\over2(3+1)}(2x+1)^{3+1}={1\over8}(2x+1)^4\)

\((2)\ \displaystyle\int\frac{dx}{(2x+1)^3}={1\over2(-3+1)}(2x+1)^{-3+1}=-\frac{1}{4(2x+1)^2}\)

\((3)\ \displaystyle\int\frac{dx}{2x+1}=\frac{\ln|2x+1|}{2}\)

\((4)\ \displaystyle\int\sqrt{{x\over2}+3}dx={1\over{1\over2}\left({1\over2}+1\right)}\left({x\over2}+2\right)^{{1\over2}+1}={4\over3}\left({x\over2}+1\right)\sqrt{{x\over2}+1}\)

\((5)\ \displaystyle\int\frac{dx}{x-1}={1\over-{1\over2}+1}(x-1)^{{1\over2}+1}=2\sqrt{x-1}\)

\((6)\ \displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt[3]{1-3x}}=-{1\over3\left(-{1\over3}+1\right)}(1-3x)^{-{1\over3}+1}=-{1\over2}\sqrt[3]{(1-3x)^2}\)

\((7)\ \displaystyle\int\cos(2x+3)dx={1\over2}\sin(2x+3)\)

\((8)\ \displaystyle\int\cos^2xdx=\int\frac{\cos2x+1}{2}dx=\frac{\sin2x}{4}+{x\over2}\)

\((9)\ \displaystyle\int(e^{2x}+e^{-2x})^2dx=\int(e^{4x}+2+e^{-4x})={e^{4x}\over4}+2x-{e^{-4x}\over4}\)

한편, 지금까지 얻은 공식들을 이용해서 다음 공식들을 도입할 수 있다.

\[\begin{split}&\int\frac{dx}{a^2+x^2}={1\over a}{\rm Tan}^{-1}{x\over a}\quad(a>0)\\&\int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}={\rm Sin}^{-1}{x\over a}\quad(a>0)\\&\int\frac{dx}{x^2-a^2}={1\over2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right|\\&\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+\rm A}}=\ln|x+\sqrt{x^2+\rm A}|\\&\int\frac{dx}{(x-a)(x-b)}={1\over a-b}\ln\left|\frac{x-a}{x-b}\right|\quad(a\ne  b)\\&\int a^xdx=\frac{a^x}{\ln{a}}\quad(a\ne1,\,a>0)\end{split}\]

<증명>

\(\displaystyle\int\frac{dx}{a^2+x^2}={1\over a^2}\int\frac{dx}{1+\left({x\over a}\right)^2}={1\over a}={1\over a}{\rm Tan}^{-1}{x\over a}\)

\(\displaystyle\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}={1\over a}\int\frac{dx}{\sqrt{1-({x\over a})^2}}={\rm Sin}^{-1}{x\over a}\)

\(\displaystyle\int\frac{dx}{x^2-a^2}=\int{1\over2a}\left({1\over x-a}-{1\over x+a}\right)dx={1\over2a}(\ln|x-a|-\ln|x+a|)={1\over2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right|\)

\(\displaystyle\left(\ln(x+\sqrt{x^2+{\rm A}})\right)'=\frac{1}{x+\sqrt{x^2+\rm A}}(x+\sqrt{x^2+\rm A})=\frac{1}{x+\sqrt{x^2+\rm A}}\left(1+\frac{x}{\sqrt{x^2+\rm A}}\right)\)

\(=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+A}}\)

\(\displaystyle\int\frac{dx}{(x-a)(x-b)}={1\over a-b}\int\left({1\over x-a}-{1\over x-b}\right)dx={1\over a-b}\ln\left|\frac{x-a}{x-b}\right|\)

\(\displaystyle\int a^xdx=\int e^{x\ln{a}}dx=\frac{e^{x\ln{a}}}{\ln{a}}=\frac{a^x}{\ln{a}}\)

[예제 2] 다음 함수를 적분하여라.

\(\displaystyle(1)\ \frac{1}{\sqrt{4-x^2}}\qquad\qquad\ \ (2)\ \frac{1}{1+9x^2}\qquad\qquad\ \ (3)\ \frac{1}{4-x^2}\)

\(\displaystyle(4)\ \frac{1}{\sqrt{9x^2-5}}\qquad\qquad(5)\ \frac{1}{\sqrt{5+x^2}}\qquad\qquad\,(6)\ \frac{1}{x^2-4x+7}\)

\(\displaystyle(7)\ \frac{1}{x^2-4x+1}\qquad\quad(8)\ \frac{1}{\sqrt{4x-1-x^2}}\qquad(9)\ \frac{1}{\sqrt{x^2-4x+7}}\)

\(\displaystyle(10)\ \frac{1}{x^2-4x+3}\qquad(11)\ 3^x+\cos{x}\qquad\quad\ \ (12)\ (10^x+1)^2\)

<풀이>

\((1)\ \displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{4-x^2}}={\rm Sin}^{-1}{x\over2}\)

--- under construction ---