레이놀즈 수 (Reynolds Number)
\[\rho\left(\frac{\partial{\bf v}}{\partial t}+{\bf v}\cdot\nabla{\bf v}\right)=-\nabla{p}+\mu\nabla^2{\bf v}+\rho{\bf f}\]
정상상태를 가정하고 체적력을 무시하면 다음과 같이 간략화된다.
\[\rho v\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial p}{\partial x}+\mu\frac{\partial^2v}{\partial x^2}\]
다음과 같은 무차원 변수를 정의한다.
\[\rho^*=\rho/{\rm R}\qquad v^*=v/{\rm V}\qquad x^*=x/{\rm L}\qquad p^*=p/{\rm P}\qquad\mu^*=\mu/{\rm M}\]
위의 방정식에 대입하면
\[\rho^*{\rm R}v^*{\rm V}\frac{\partial(v^*{\rm V})}{\partial(x^*{\rm L})}=-\frac{\partial(p^*{\rm P})}{\partial(x^*{\rm L})}+\mu^*{\rm M}\frac{\partial^2(v^*{\rm V})}{\partial(x^*{\rm L})^2}\]
정리하면
\[\left(\frac{\rm RV^2}{\rm L}\right)\rho^*v^*\frac{\partial v^*}{\partial x^*}=-\left(\frac{\rm P}{\rm L}\right)\frac{\partial p^*}{\partial x^*}+\left(\frac{\rm MV}{\rm L^2}\right)\mu^*\frac{\partial^2v^*}{\partial x^{*2}}\]
양변을 \(\rm RV^2/L\)로 나누면
\[\rho^*v^*\frac{\partial v^*}{\partial x^*}=-\left(\frac{\rm P}{\rm RV^2}\right)\frac{\partial p^*}{\partial x^*}+\left(\frac{\rm M}{\rm RVL}\right)\mu^*\frac{\partial^2v^*}{\partial x^{*2}}\]
\(\rm R\)은 밀도, \(\rho\), 그리고 \(\rm M\)은 점성계수, \(\mu\) 이므로 두 개의 무차원수는 오일러 수(Euler number)와 레이놀즈 수(Renolds number)이다.
\[{\rm Eu}=\frac{\rm P}{\rho\rm V^2}\qquad{\rm Re}=\frac{\rho\rm VL}{\mu}\]
오일러 수는 관성력에 대한 압축력의 비율을 나타낸다. 압축력은 \(\rm P\)와 관련이 있고 관성력은 \(\rho\rm V^2\)과 관련이 있다. 레이놀즈 수는 점성력에 대한 관성력의 비율을 나타낸다. 점성력은 \(\mu\rm V/L\)과 관련이 있다.
나비어-스톡스 방정식을 이들 무차원 수로 표현하면 다음과 같다.
\[\rho^*v^*\frac{\partial v^*}{\partial x^*}=-{\rm Eu}\frac{\partial p^*}{\partial x^*}+\frac{1}{\rm Re}\mu^*\frac{\partial^2v^*}{\partial x^{*2}}\]
레이놀즈 수가 높다는 것은 관성력이 점성력보다 훨씬 크다는 것을 의미한다. 이는 통상 고속일 경우에 발생한다. 이 경우, 위의 식에서 점성항은 무시된다. 타이어 전방 접촉면 수막이 트레드가 물을 밀어내는 것에 저항하는 관성에 의해 발생하는 수막현상(hydroplaning)이 대표적인 예이다.
반대로, 낮은 레이놀즈 수는 점성력이 지배적인 경우이다. 얇은 수막이 타이어 트랜드와 지면 사이에 형성되어 높은 속도 구배로 인한 큰 점성력을 유발시키는 점성현상(viscoplaning)이 경우이다.
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