삼각함수로의 치환적분법

삼각함수에 의해서 치환하면, 적분이 쉽게 계산될 수 있는 경우가 있다. 예를 들면

\[\int\frac{dx}{(x^2+a^2)^{3\over2}}\quad(a>0)\]

적분변수를 다음과 같이 변환한다.

\(x=a\tan\theta\)라 하면 \(dx=a\sec^2\theta d\theta\)

\[\int\frac{dx}{(x^2+a^2)^{3\over2}}={1\over a^2}\int\cos\theta d\theta=\frac{\sin\theta}{a^2}=\frac{x}{a^2\sqrt{x^2+a^2}}\]

피적분함수의 형태에 따라 아래와 같은 삼각함수로 치환한다.

1	\(\sqrt{a^2-x^2}\)	\(x=a\sin\theta\) 또는 \(x=a\cos\theta\)
2	\(\sqrt{x^2+a^2}\)	\(x=a\tan\theta\)
3	\(\sqrt{a^2-x^2}\)	\(x=a\sec\theta\)

[예제 1] 다음 함수를 적분하여라. \((a>0)\)

\(\displaystyle(1)\ \frac{1}{(a^2-x^2)^{5\over2}}\qquad(2)\ \frac{\sqrt{x^2-a^2}}{x^4}\qquad(3)\ \frac{1}{x^4\sqrt{1+x^2}}\)

<풀이>

(1) \(x=a\sin\theta\)라 두면, \(dx=a\cos\theta d\theta\).

\(\begin{align}\int\frac{dx}{(a^2-x^2)^{5\over2}}&=\int\frac{a\cos\theta}{a^5(1-\sin^2\theta)^{5\over2}}d\theta={1\over a^4}\int\sec^4\theta d\theta={1\over a^4}\int(1+\tan^2\theta)\sec^2\theta d\theta\\&={1\over a^4}\int(1+\tan^2\theta)d(\tan\theta)={1\over a^4}\left(\tan\theta+{\tan^3\theta\over3}\right)\\&=\frac{x}{a^4\sqrt{a^2-x^2}}\left(\frac{x^2}{3(a^2-x^2)}+1\right)=\frac{x(3a^2-2x^2)}{3a^4(a^2-x^2)^{3\over2}}\end{align}\)

(2) \(x=a\sec\theta\)라 두면, \(dx=a\sec\theta\tan\theta d\theta\).

\(\begin{align}\int\frac{\sqrt{x^2-a^2}}{x^4}dx&=\int\frac{a\sqrt{\sec^2\theta-1}}{a^4\sec^4\theta}a\sec\theta\tan\theta d\theta={1\over a^2}\int\sin^2\theta\cos\theta d\theta\\&=\frac{\sin^3\theta}{3a^2}={1\over3a^2}\left(1-{a^2\over x^2}\right)^{3\over2}=\frac{(x^2-a^2)^{3\over2}}{3a^2x^3}\end{align}\)

(3) \(x=\tan\theta\)라 두면, \(dx=\sec^2\theta d\theta\).

\(\begin{align}\int\frac{dx}{x^4\sqrt{1+x^2}}&=\int\frac{\sec^2x}{\tan^4\theta\sqrt{1+\tan^2\theta}}d\theta=\int\frac{cos^3\theta}{\sin^4\theta}d\theta=\int\frac{1-\sin^2\theta}{\sin^4\theta}d\theta\\&=\int\left({1\over\sin^4\theta}-{1\over\sin^2\theta}\right)d(\sin\theta)=-{1\over3\sin^3\theta}+{1\over\sin\theta}=\frac{(2x^2-1)\sqrt{1+x^2}}{3x^3}\end{align}\)

[예제 2] 다음 관계식을 증명하여라.

\[\int\sqrt{a^2-x^2}dx={1\over2}\left(x\sqrt{a^2-x^2}+a^2{\rm Sin}^{-1}{x\over a}\right)\]

<풀이> \(x=a\sin\theta\)라 두면, \(dx=a\cos\theta d\theta\) 이고 삼각함수 항등식을 이용한다.

\(\begin{align}\int\sqrt{a^2-x^2}dx&=a^2\int\cos^2\theta d\theta={a^2\over2}\int(\cos2\theta+1)d\theta={a^2\over2}\left({\sin2\theta\over2}+\theta\right)\\&={a^2\over2}(\sin\theta\cos\theta+\theta)={1\over2}\left(x\sqrt{a^2-x^2}+a^2{\rm Sin}^{-1}{x\over a}\right)\end{align}\)

[주의] 이 공식은 원의 면적을 계산할 때 이용한다.

적분공식 (9)와 (10)을 치환적분을 이용하여 유도할 수 있다. 공식 (9)를 증명하기 위하여 \(x=a\tan\theta\)라 두면 \(dx=a\sec^2\theta d\theta\), 이들을 주어진 식에 대입하면

\(\displaystyle\int\frac{dx}{a^2+x^2}=\int\frac{a\sec^2\theta}{a^2(1+\tan^2\theta)}d\theta={1\over a}\int d\theta={\theta\over a}={1\over a}{\rm Tan}^{-1}{x\over a}\)

공식 (10)을 증명하기 위하여, \(x=a\sin\theta\)라 두면 \(dx=a\cos\theta d\theta\). 이것을 주어진 식에 대입하면

\(\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\int\frac{a\cos\theta}{a\sqrt{1-\sin^2\theta}}d\theta=\int d\theta=\theta={\rm Sin}^{-1}{x\over a}\)

《문       제》

1. 다음 함수를 적분하여라.

\((1)\ \dfrac{1}{(1+x^2)\sqrt{1-x^2}}\qquad(2)\ \dfrac{\sqrt{1-x^2}}{1+x^2}\qquad(3)\ \dfrac{x^4}{\sqrt{(1-x^2)^3}}\qquad(4)\ \dfrac{x^2}{(1+x^2)^{3\over2}}\)

\((5)\ \dfrac{1}{(1-x^2)\sqrt{1+x^2}}\qquad(6)\ \dfrac{x^2}{(a^2+x^2)^{7\over2}}\)

<풀이>

(1) \(x=\sin\theta\)라 두면, \(dx=\cos\theta d\theta\).

\(\begin{align}\int\frac{dx}{(1+x^2)\sqrt{1-x^2}}&=\int\frac{d\theta}{1+\sin^2\theta}=\int\frac{d(\tan\theta)}{1+2\tan^2\theta}={1\over\sqrt{2}}{\rm Tan}^{-1}(\sqrt{2}\tan\theta)\\&={1\over\sqrt{2}}{\rm Tan}^{-1}\frac{\sqrt{2}x}{\sqrt{1-x^2}}\end{align}\)

(2) \(x=\sin\theta\)라 두면, \(dx=\cos\theta d\theta\).

\(\begin{align}\int\frac{\sqrt{1-x^2}}{1+x^2}dx&=\int\frac{\cos^2\theta}{1+\sin^2\theta}d\theta=\int\frac{d(\tan\theta)}{(\tan^2\theta+1)(2\tan^2\theta+1)}\\&=\int\left(\frac{2}{2\tan^2\theta+1}-\frac{1}{\tan^2\theta+1}\right)d(\tan\theta)\\&=\sqrt{2}{\rm Tan}^{-1}(\sqrt{2}\tan\theta)-{\rm Tan}^{-1}(\tan\theta)=\sqrt{2}{\rm Tan}^{-1}\frac{\sqrt{2}x}{\sqrt{1-x^2}}-{\rm Sin}^{-1}x\end{align}\)

(3) \(x=\sin\theta\)라 두면, \(dx=\cos\theta d\theta\).

\(\begin{align}\int\frac{x^4}{\sqrt{(1-x^2)^3}}dx&=\int\frac{\sin^4\theta}{\cos^2\theta}d\theta=\int(\sec^2\theta-2+\cos^2\theta)d\theta\\&=\tan\theta-{3\over2}\theta+{\sin2\theta\over4}=\frac{x(3-x^2)}{2\sqrt{1-x^2}}-{3\over2}{\rm Sin}^{-1}x\end{align}\)

(4) \(x=\tan\theta\)라 두면, \(dx=\sec^2\theta d\theta\).

\(\begin{align}\frac{x^4}{(1+x^2)^{3\over2}}&=\int\frac{\sin^2\theta}{\cos\theta}d\theta=\int\frac{\sin^2\theta}{\sin^2\theta-1}d(\sin\theta)=\int\frac{d(\sin\theta)}{\sin^2\theta-1}-\int d(\sin\theta)\\&={1\over2}\ln\left|\frac{\sin\theta-1}{\sin\theta+1}\right|-\sin\theta={1\over2}\ln\left|\frac{x-\sqrt{1+x^2}}{x+\sqrt{1+x^2}}\right|-\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\end{align}\)

(5) \(x=\tan\theta\)라 두면, \(dx=\sec^2\theta d\theta\).

\(\begin{align}\int\frac{dx}{(1-x^2)\sqrt{1+x^2}}&=\int\frac{\cos\theta}{1-2\sin^2\theta}d\theta={1\over2}\int\frac{d(\sin\theta)}{\left({1\over\sqrt{2}}\right)^2-\sin^2\theta}\\&={1\over2\sqrt{2}}\ln\left|\frac{\sqrt{2}\sin\theta+1}{\sqrt{2}\sin\theta-1}\right|={1\over2\sqrt{2}}\ln\left|\frac{\sqrt{2}x+\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{2}x-\sqrt{1+x^2}}\right|\end{align}\)

(6) \(x=\tan\theta\)라 두면, \(dx=\sec^2\theta d\theta\).

\(\begin{align}\int\frac{x^2}{(a^2+x^2)^{7\over2}}&={1\over a^4}\int\cos^3x\sin^2\theta d\theta={1\over a^4}\int(\sin^2\theta-\sin^4\theta)d(\sin\theta)\\&={1\over a^4}\left({\sin^3\theta\over3}-{\sin^5\theta\over5}\right)=\frac{x^3(2x^2+5a^2)}{15a^4(a^2+x^2)^{5\over2}}\end{align}\)

2. 다음 함수를 적분하여라.

\((1)\ \sqrt{2ax-x^2}\qquad(2)\ \sqrt{1-3x^2}\qquad(3)\ \dfrac{x^2}{\sqrt{5-x^2}}\)

<풀이>

(1) 피적분함수를 다음과 같이 변형한다.

\[\sqrt{2ax-x^2}=\sqrt{a^2-(x-a)^2}\]

여기서 \(x-a=t\)라 두면, \(dx=dt\).

\(\begin{align}\int\sqrt{2ax-x^2}dx&=\int\sqrt{a^2-t^2}dt={1\over2}\left(t\sqrt{a^2-t^2}+a^2{\rm Sin}^{-1}{t\over a}\right)\\&={1\over2}\left\{(x-a)\sqrt{2ax-x^2}+a^2{\rm Sin}^{-1}\frac{x-a}{a}\right\}\end{align}\)

(2) \(x=\sin\theta/\sqrt{3}\)이라 두면, \(dx=\cos\theta d\theta/\sqrt{3}\).

\(\begin{align}\int\sqrt{1=3x^2}dx&={1\over\sqrt{3}}\int\cos^2\theta d\theta={1\over2\sqrt{3}}\int(1+\cos2\theta)d\theta={1\over2\sqrt{3}}(\theta+\sin\theta\cos\theta)\\&={1\over2\sqrt{3}}\left\{{\rm Sin}^{-1}(\sqrt{3}x)+\sqrt{3}x\sqrt{1-3x^2}\right\}\end{align}\)

(3) \(x=\sqrt{5}\sin\theta\)라 두면, \(dx=\sqrt{5}\cos\theta d\theta\).

\(\begin{align}\int\frac{x^2}{\sqrt{5-x^2}}dx&=5\int\sin^2\theta d\theta={5\over2}\int(1-\cos2\theta)d\theta={5\over2}(\theta-\sin\theta\cos\theta)\\&={5\over2}\left({\rm Sin}^{-1}{x\over\sqrt{5}}-{x\over5}\sqrt{5-x^2}\right)\end{align}\)