유리함수의 적분
두 개의 다항식의 비(比)로 주어진 함수
\[\frac{a_0x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+\cdots+a_{n-1}x+a_n}{b_0x^m+b_1x^{m-1}+b_2x^{m-2}+\cdots+b_{m-1}x+b_m}\]
를 유리함수라 한다. 유리함수는 그의 분모의 다항식을 \(0\)으로 하는 \(x\)의 값에서는 정의되지 않고 그 밖의 \(x\)에서는 연속이다. 어떤 유리함수의 부정적분도 반드시 구하는 것이 원칙적으로 가능하다.
부분분수로 분해하는 방법을 쓰면 어떤 유리함수도 다항식과 아래 나타낸 간단한 형의 유리함수
\[{1\over(x-a)^n},\qquad{x\over(x^2+a^2)^n},\qquad{1\over(x^2+a^2)^n}\ (n=1,\,2,\,\cdots)\]
에 계수를 곱한 것의 합으로 분해된다. 따라서 이들 간단한 유리함수의 부정적분을 생각해 보자. 먼저
\[{\rm I}_n=\int\frac{dx}{(x-a)^n},\qquad{\rm J}_n=\int\frac{x}{(x^2+a^2)}dx,\qquad{\rm K}_n=\int\frac{dx}{(x^2+a^2)^n}\]
\[\begin{split}&{\rm I}_1=\ln|x-a|\\&{\rm I}_n=-\frac{1}{(n-1)(x-a)^{n-1}}\ (n=2,\,3,\,\cdots)\\&{\rm J}_1=\frac{\ln(x^2+a^2)}{2}\\&{\rm J}_n=-\frac{1}{(n-1)(x^2+a^2)^{n-1}}\ (n=2,\,3,\,\cdots)\\&K_1={1\over a}{\rm Tan}^{-1}{x\over a}\\&{\rm K}_n={1\over2(n-1)a^2}\left\{\frac{x}{(x^2+a^2)^{n-1}}+(2n-3){\rm K}_{n-1}\right\}\ (n=2,\,3,\,\cdots)\end{split}\]
따라서 임의로 주어진 유리함수 \({\rm R}(x)\)를 위에서 나타난 간단한 유리함수와 다항식으로 분해하는 방법을 아는 것이 중요하다. 예를 들면
\[\begin{split}&\frac{x^3+2}{x-1}=x^2+x+1+\frac{3}{x-1}\\&\frac{1}{(x-1)(x-2)}=-{1\over x-1}+{1\over x-2}\\&\frac{x+1}{x(x-1)^2(x+2)}={1\over 2x}-{5\over9(x+1)}-{2\over3(x-1)^2}+{1\over18(x+2)}\end{split}\]
와 같이 좌변의 유리함수를 우변과 같이 분해하는 것을 부분분수분해(partial fraction decomposition)라 한다. 부분분수분해의 일반적인 방법을 설명한다. 먼저 유리함수
\[{\rm R}(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\]
(\(f(x)\)와 \(g(x)\)는 각각 \(n\)차와 \(m\)차의 다항식이라 한다)에 있어서, 분자의 차수 \(n\)이 분모의 차수 \(m\) 보다 클 때는 분자 \(f(x)\)를 분모 \(g(x)\)로 나누어
\[f(x)={\rm Q}(x)g(x)+h(x)\]
가 되었다고 하면, \({\rm Q}(x)\)는 \(x\)에 관한 다항식이고, \(h(x)\)는 분모의 차수 \(m\) 보다 낮은 차수의 다항식이다(「다항식의 나눗셈」 참조). 따라서
\[{\rm R}(x)={\rm Q}(x)+\frac{h(x)}{g(x)}\]
가 진분수식이고, 분모가 인수분해에 의해서
\[g(x)=(x-\alpha)^m(x-\beta)^n\cdots\{(x-p)^2+q^2\}^h\{(x-r)^2+s^2\}^k\cdots\]
와 같이 되었다고 하자(우변의 {} 안의 2차식은 각각 그들의 판별식이 음이라 한다). 이 때 주어진 \({\rm R}(x)\)를 다음과 같이 부분분수로 분해할 수 있다.
\[\begin{split}{\rm R}(x)=\frac{h(x)}{g(x)}&=\left\{\frac{A_1}{x-\alpha}+\frac{A_2}{(x-\alpha)^2}+\cdots+\frac{A_m}{(x-\alpha)^m}\right\}\\&+\left\{\frac{B_1}{x-\beta}+\frac{B_2}{(x-\beta)^2}+\cdots+\frac{B_n}{(x-\beta)^n}\right\}\\&+\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\&+\left\{\frac{a_1x+b_1}{(x-p)^2+q^2}+\frac{a_2x+b_2}{\{(x-p)^2+q^2\}}+\cdots+\frac{a_hx+b_h}{\{(x-p)^2+q^2\}^h}\right\}\\&+\left\{\frac{c_1x+d_1}{(x-r)^2+s^2}+\frac{c_2x+d_2}{\{(x-r)^2+s^2\}^2}+\cdots+\frac{c_kx+d_k}{\{(x-r)^2+s^2\}^k}\right\}\\&+\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\end{split}\]
여기서 \(A_1,\,\cdots,\,A_m;\;B_1,\,\cdots,\,B_n;\;a_1,\,\cdots,\,a_h;\;b_1,\,\cdots,\,b_h;\;c_1,\,\cdots,\,c_k;\;d_1,\,\cdots,\,d_k;\;\cdots\)는 모두 상수이다.
[예제 1] 다음 함수를 적분하여라. \((a\ne b)\)
--- under construction ---
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