유리함수의 적분
두 개의 다항식의 비(比)로 주어진 함수
\[\frac{a_0x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+\cdots+a_{n-1}x+a_n}{b_0x^m+b_1x^{m-1}+b_2x^{m-2}+\cdots+b_{m-1}x+b_m}\]
를 유리함수라 한다. 유리함수는 그의 분모의 다항식을 \(0\)으로 하는 \(x\)의 값에서는 정의되지 않고 그 밖의 \(x\)에서는 연속이다. 어떤 유리함수의 부정적분도 반드시 구하는 것이 원칙적으로 가능하다.
부분분수로 분해하는 방법을 쓰면 어떤 유리함수도 다항식과 아래 나타낸 간단한 형의 유리함수
\[{1\over(x-a)^n},\qquad{x\over(x^2+a^2)^n},\qquad{1\over(x^2+a^2)^n}\ (n=1,\,2,\,\cdots)\]
에 계수를 곱한 것의 합으로 분해된다. 따라서 이들 간단한 유리함수의 부정적분을 생각해 보자. 먼저
\[{\rm I}_n=\int\frac{dx}{(x-a)^n},\qquad{\rm J}_n=\int\frac{x}{(x^2+a^2)}dx,\qquad{\rm K}_n=\int\frac{dx}{(x^2+a^2)^n}\]
\[\begin{split}&{\rm I}_1=\ln|x-a|\\&{\rm I}_n=-\frac{1}{(n-1)(x-a)^{n-1}}\ (n=2,\,3,\,\cdots)\\&{\rm J}_1=\frac{\ln(x^2+a^2)}{2}\\&{\rm J}_n=-\frac{1}{(n-1)(x^2+a^2)^{n-1}}\ (n=2,\,3,\,\cdots)\\&K_1={1\over a}{\rm Tan}^{-1}{x\over a}\\&{\rm K}_n={1\over2(n-1)a^2}\left\{\frac{x}{(x^2+a^2)^{n-1}}+(2n-3){\rm K}_{n-1}\right\}\ (n=2,\,3,\,\cdots)\end{split}\]
따라서 임의로 주어진 유리함수 \({\rm R}(x)\)를 위에서 나타난 간단한 유리함수와 다항식으로 분해하는 방법을 아는 것이 중요하다. 예를 들면
\[\begin{split}&\frac{x^3+2}{x-1}=x^2+x+1+\frac{3}{x-1}\\&\frac{1}{(x-1)(x-2)}=-{1\over x-1}+{1\over x-2}\\&\frac{x+1}{x(x-1)^2(x+2)}={1\over 2x}-{5\over9(x+1)}-{2\over3(x-1)^2}+{1\over18(x+2)}\end{split}\]
와 같이 좌변의 유리함수를 우변과 같이 분해하는 것을 부분분수분해(partial fraction decomposition)라 한다. 부분분수분해의 일반적인 방법을 설명한다. 먼저 유리함수
\[{\rm R}(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\]
(\(f(x)\)와 \(g(x)\)는 각각 \(n\)차와 \(m\)차의 다항식이라 한다)에 있어서, 분자의 차수 \(n\)이 분모의 차수 \(m\) 보다 클 때는 분자 \(f(x)\)를 분모 \(g(x)\)로 나누어
\[f(x)={\rm Q}(x)g(x)+h(x)\]
가 되었다고 하면, \({\rm Q}(x)\)는 \(x\)에 관한 다항식이고, \(h(x)\)는 분모의 차수 \(m\) 보다 낮은 차수의 다항식이다(「다항식의 나눗셈」 참조). 따라서
\[{\rm R}(x)={\rm Q}(x)+\frac{h(x)}{g(x)}\]
가 진분수식이고, 분모가 인수분해에 의해서
\[g(x)=(x-\alpha)^m(x-\beta)^n\cdots\{(x-p)^2+q^2\}^h\{(x-r)^2+s^2\}^k\cdots\]
와 같이 되었다고 하자(우변의 {} 안의 2차식은 각각 그들의 판별식이 음이라 한다). 이 때 주어진 \({\rm R}(x)\)를 다음과 같이 부분분수로 분해할 수 있다.
\[\begin{split}{\rm R}(x)=\frac{h(x)}{g(x)}&=\left\{\frac{A_1}{x-\alpha}+\frac{A_2}{(x-\alpha)^2}+\cdots+\frac{A_m}{(x-\alpha)^m}\right\}\\&+\left\{\frac{B_1}{x-\beta}+\frac{B_2}{(x-\beta)^2}+\cdots+\frac{B_n}{(x-\beta)^n}\right\}\\&+\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\&+\left\{\frac{a_1x+b_1}{(x-p)^2+q^2}+\frac{a_2x+b_2}{\{(x-p)^2+q^2\}}+\cdots+\frac{a_hx+b_h}{\{(x-p)^2+q^2\}^h}\right\}\\&+\left\{\frac{c_1x+d_1}{(x-r)^2+s^2}+\frac{c_2x+d_2}{\{(x-r)^2+s^2\}^2}+\cdots+\frac{c_kx+d_k}{\{(x-r)^2+s^2\}^k}\right\}\\&+\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\end{split}\]
여기서 \(A_1,\,\cdots,\,A_m;\;B_1,\,\cdots,\,B_n;\;a_1,\,\cdots,\,a_h;\;b_1,\,\cdots,\,b_h;\;c_1,\,\cdots,\,c_k;\;d_1,\,\cdots,\,d_k;\;\cdots\)는 모두 상수이다.
[예제 1] 다음 함수를 적분하여라. \((a\ne b)\)
\((1)\ \dfrac{1}{(x-a)(x-b)}\qquad(2)\ \dfrac{x}{(x-a)(x-b)}\)
<풀이>
(1) 주어진 함수를
\(\dfrac{1}{(x-a)(x-b)}=\dfrac{A}{x-a}+\dfrac{B}{x-b}\)
라 두면 \(A(x-b)+B(x-a)=1\) 에서 \(A=-B=1/(a-b)\)를 얻는다. 그러므로
\(\displaystyle\int\frac{dx}{(x-a)(x-b)}={1\over a-b}\left(\int\frac{dx}{x-a}-\int\frac{dx}{x-b}\right)={1\over a-b}\ln\left|\frac{x-a}{x-b}\right|\)
(2) 주어진 함수를
\(\dfrac{x}{(x-a)(x-b)}=\dfrac{A}{x-a}+\dfrac{B}{x-b}\)
라 두면 \(A(x-b)+B(x-a)=x\) 에서 \(A=a/(a-b),\,B=-b/(a-b)\)를 얻는다. 그러므로
\(\displaystyle\int\frac{x}{(x-a)(x-b)}dx={1\over a-b}\left(a\int\frac{dx}{x-a}-b\int\frac{dx}{x-b}\right)\)
\(\displaystyle\qquad\qquad\qquad\qquad\quad={1\over a-b}(a\ln|x-a|-b\ln|x-b|)\)
[예제 2] 다음 함수를 적분하여라.
\((1)\ \dfrac{x^3+2x^2}{x^2-1}\qquad(2)\ \dfrac{1}{x^3+1}\qquad(3)\ \dfrac{5x^2-3x+1}{(x-2)^3(x+3)}\qquad(4)\ \dfrac{x+1}{x(x-1)^2(x+2)}\)
<풀이>
(1) 분자의 차수가 분모의 차수보다 크므로 분자를 분모로 나누고
\(\dfrac{x^3+2x^2}{x^2-1}=x+2+\dfrac{x+2}{(x-1)(x+1)}=x+2+\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+1}\)
라 두면 \(x+2=A(x+1)+B(x-1)\). 위의 식에서 \(x=1\)을 대입하여 \(A=3/2\)를, \(x=-1\)을 대입하여 \(B=-1/2\)를 얻는다. 그러므로
\(\begin{align}\int\frac{x^3+2x^2}{x^2-1}dx&=\int(x+2)dx+{3\over2}\int\frac{dx}{x-1}-{1\over2}\int\frac{dx}{x+1}\\&={x^2\over2}+2x+{3\over2}\ln|x-1|-{1\over2}\ln|x+1|\end{align}\)
(2) \(\dfrac{1}{x^3+1}=\dfrac{1}{(x+1)(x^2-x+1)}=\dfrac{A}{x+1}+\dfrac{Bx+C}{x^2-x+1}\)
라 두면 \(1=A(x^2-x+1)+(Bx+C)(x+1)\).
위식에서 \(x=-1\)을 대입하면 \(A=1/3\), 또 이 식에 \(A=1/3\)을 대입하여 얻은 식을 정리하여 \(B,\,C\)의 값을 구하면 \(B=-1/3,\,C=2/3\). 그리므로
\(\begin{align}\int\frac{dx}{x^3+1}&=\int\left\{\frac{1}{3(x+1)}-\frac{x-2}{3(x^2-x+1)}\right\}\\&=\int\left[\dfrac{1}{3(x+1)}-\frac{2x-1}{6(x^2-x+1)}+\frac{1}{2\left\{\left(x-{1\over2}\right)^2+{3\over4}\right\}}\right]dx\\&={1\over3}\ln|x+1|-{1\over6}\ln(x^2-x+1)+{1\over\sqrt{3}}{\rm Tan}^{-1}{2x-1\over\sqrt{3}}\end{align}\)
(3) \(\dfrac{5x^3-3x+1}{(x-2)^3(x+3)}=\dfrac{A}{x+3}+\dfrac{B}{x-2}+\dfrac{C}{(x-2)^2}+\dfrac{D}{(x-2)^3}\)
라 두면 \(5x^3-3x+1=A(x-2)^2+B(x+3)(x-2)^2+C(x+3)(x-2)+D(x+3)\).
여기서 \(x=-3\)을 대입하면 \(A=1\). 윗식에 \(A=1\)을 대입하고 양변에서 \((x-2)^2\)을 빼면 \(4x^3+6x^2-15x+9=B(x+3)(x-2)^2+C(x+3)(x-2)+D(x+3)\).
양변을 \(x+3\)으로 나누고 \(x=2\)를 대입하면 \(D=7\). 다시 \(D=7\)을 대입하고 양변을 \(x-2\)로 나누면 \(4x+2=B(x-2)+C\).
그러므로 \(B=4,\,C=10\). 따라서
\(\begin{align}\int\frac{5x^3-3x+1}{(x-2)^2(x+3)}dx&=\int\frac{dx}{x+3}+4\int\frac{dx}{x-2}+10\int\frac{dx}{(x-2)^2}+7\int\frac{dx}{(x-2)^3}\\&=\ln|x+3|+4\ln|x-2|-\frac{7}{2(x-2)^2}\end{align}\)
(4)
\(\dfrac{x+1}{x(x-1)^2(x+2)}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x-1}+\dfrac{C}{(x-1)^2}+\dfrac{D}{x+2}\)
라 두면 \(x+1=A(x-1)^2(x+2)+Bx(x-1)(x+2)+Cx(x+2)+Dx(x-1)^2\).
\(x=0\)을 대입하면 \(A=1/2\), \(x=1\)을 대입하면 \(C=2/3\), \(x=-2\)를 대입하면, \(D=1/18\), 다음 \(x^3\)의 계수를 비교하면 \(A+B+D=0\). 따라서 \(B=-5/9\), 그러므로
\(\begin{align}\int\frac{x+1}{x(x-1)^2(x+2)}dx&=\int\frac{dx}{2x}-{5\over9}\int\frac{dx}{x-1}+{2\over3}\int\frac{dx}{(x-1)^2}+{1\over18}\int\frac{dx}{x+2}\\&={1\over2}\ln|x|-{5\over9}\ln|x-1|-\frac{2}{3(x-1)}+{1\over18}\ln|x+2|\end{align}\)
《문 제》
1. 다음 함수를 적분하여라.
\((1)\ \dfrac{1}{x^3-x}\qquad(2)\ \dfrac{x}{x^3-1}\qquad(3)\ \dfrac{1}{x^4-1}\qquad\)
\((4)\ \dfrac{1}{(x^2+a^2)(x^2+b^2)}\ (a^2\ne b^2;\;a,\,b\ne0)\qquad(5)\ \dfrac{x^2}{(x^2+a^2)(x^2+b^2)}\ (a^2\ne b^2;\;a,\,b\ne0)\)
\((6)\ \dfrac{x^3+3x^2-5}{x^2+x-6}\qquad(7)\ \dfrac{x^3+x}{x^3-7x+6}\qquad(8)\ \dfrac{1}{x(x^2+1)^2}\qquad(9)\ \dfrac{x^3+1}{x(x-1)^3}\)
\((10)\ \dfrac{1}{x^2(x^2-1)^2}\qquad(11)\ \dfrac{3x^2-13x-8}{(x-1)(x+2)(x-3)}\qquad(12)\ \dfrac{x}{(2x+1)(3x^2+1)}\)
<풀이>
\(\begin{align}(1)\ \int\frac{dx}{x^3-x}&=\int\frac{dx}{x(x-1)(x+1)}=\int\left\{-{1\over x}+{1\over2(x-1)}+{1\over2(x+1)}\right\}dx\\&=-\ln|x|+\frac{\ln|x^2-1|}{2}\end{align}\)
\(\begin{align}(2)\ \int\frac{x}{x^3-1}dx&=\int\frac{x}{(x-1)(x^2+x+1)}={1\over3}\int\left\{\frac{1}{x-1}-\frac{x-1}{x^2+x+1}\right\}dx\\&={1\over3}\int\frac{dx}{x-1}-{1\over6}\int\left(\frac{2x+1}{x^2+x+1}-\frac{3}{x^2+x+1}\right)dx\\&={\ln|x-1|\over3}-{\ln(x^2+x+1)\over6}+{1\over2}\int\frac{dx}{\left(x+{1\over2}\right)^2+\left(\sqrt{3}\over2\right)^2}\\&={1\over6}\ln\frac{(x-1)^2}{x^2+x+1}+{1\over\sqrt{3}}{\rm Tan}^{-1}\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\end{align}\)
\(\begin{align}(3)\ \int\frac{dx}{x^4-1}&=\int\frac{dx}{(x-1)(x+1)(x^2+1)}=\int\left\{{1\over4(x-1)}-{1\over4(x+1)}-{1\over2(x^2+1)}\right\}dx\\&={1\over4}\ln\left|x-1\over x+1\right|-{1\over2}{\rm Tan}^{-1}x\end{align}\)
\(\begin{align}(4)\ \int\frac{dx}{(x^2+a^2)(x^2+b^2)}&={1\over b^2-a^2}\int\left({1\over x^2+a^2}-{1\over x^2+b^2}\right)dx\\&={1\over b^2-a^2}\left({1\over a}{\rm Tan}^{-1}{x\over a}-{1\over b}{\rm Tan}^{-1}{x\over b}\right)\end{align}\)
\(\begin{align}(5)\ \int\frac{x^2}{(x^2+a^2)(x^2+b^2)}dx&={1\over a^2-b^2}\int\left(\frac{a^2}{x^2+a^2}-\frac{b^2}{x^2+b^2}\right)dx\\&={1\over a^2-b^2}\left(a{\rm Tan}^{-1}{x\over a}-b{\rm Tan}^{-1}{x\over b}\right)\end{align}\)
\(\begin{align}(6)\ \int\frac{x^3+3x^2-5}{x^2+x-6}dx&=\int\left(x+2+\frac{4x+7}{(x+3)(x-2)}\right)dx\\&=\int\left(x+2+{1\over x+3}+{3\over x-2}\right)dx\\&={x^2\over2}+2x+\ln|x+3|+2\ln|x-2|\end{align}\)
\(\begin{align}(7)\ \int\frac{x^3+x}{x^3-7x+6}&=\int\left(1+\frac{8x-6}{(x-1)(x-2)(x+3)}\right)\\&=\int dx+2\int\left\{-{1\over4(x-1)}+{1\over x-2}-{3\over4(x+3)}\right\}dx\\&=x-{1\over2}\ln|x-1|+2\ln|x-2|-{3\over2}\ln|x+3|\end{align}\)
\(\begin{align}(8)\ \int\frac{dx}{x(x^2+1)^2)}&=\int\left\{{1\over x}-\frac{x}{x^2+1}-\frac{x}{(x^2+1)^2}\right\}dx\\&=\ln|x|-\frac{\ln(x^2+1)}{2}+\frac{1}{2(x^2+1)}\end{align}\)
\(\begin{align}(9)\ \int\frac{x^3+1}{x(x-1)^3}dx&=\int\left\{-{1\over x}+{2\over x-1}+{1\over(x-1)^2}+{2\over(x-1)^3}\right\}dx\\&=-\ln|x|+2\ln|x-1|-{1\over x-1}-{1\over(x-1)^2}\end{align}\)
\(\begin{align}(10)\ \int\frac{dx}{x^2(x^2-1)^2}&=\int\left\{{3\over4(x+1)}+{1\over4(x+1)^2}+{1\over x^2}-{3\over4(x-1)}+{1\over4(x-1)^2}\right\}dx\\&={3\over4}\ln\left|\frac{x+1}{x-1}\right|-{1\over4}\left({1\over x+1}+{1\over x-1}\right)-{1\over x}\end{align}\)
\(\begin{align}(11)\ \int\frac{3x^2-13x-8}{(x-1)(x+2)(x-3)}dx&=\int\left({2\over x+2}+{3\over x-1}-{2\over x-3}\right)dx\\&=2\ln|x+2|+3\ln|x-1|-\ln|x-3|\end{align}\)
\(\begin{align}(12)\ \int\frac{x}{(2x+1)(3x^2+1)}dx&=\int\left\{\frac{3x+2}{7(3x^2+1)}-\frac{2}{7(2x+1)}\right\}dx\\&={1\over14}\int\frac{6x}{3x^2+1}dx+{2\over21}\int\frac{dx}{x^2+\left({1\over\sqrt{3}}\right)^2}-{1\over7}\int\frac{dx}{2x+1}\\&={1\over14}\ln(3x^2+1)+{2\over7\sqrt{3}}{\rm Tan}^{-1}(\sqrt{3}x)-{|2x+1|\over7}\end{align}\)
2. 다음 함수를 적분하여라.
\[{1\over a^4-x^4}\]
<풀이>
\(\displaystyle\frac{1}{a^4-x^4}=\frac{1}{(a^2+x^2)(a-x)(a+x)}=\frac{Ax+B}{a^2+x^2}+\frac{C}{a-x}+\frac{D}{a+x}\)
라 두면 \((Ax+B)(a-x)(a+x)+C(a^2+x^2)(a+x)+D(a^2+x^2)(a-x)=1\) 이다. \(x=a\)를 대입하면 \(C=1/4a^3\). \(x=-a\)를 대입하면 \(D=1/4a^3\). \(x^2\)의 계수 \(-A+C-D=0\) 이므로 \(A=0\). 또한 \(x\)의 계수 \(-B+Ca+Da=0\)으로부터 \(B=1/2a^2\). 따라서
\(\begin{align}\int\frac{dx}{a^4-x^4}&=\int\left\{\frac{1}{2a^2(a^2+x^2)}+\frac{1}{4a^3(a-x)}+\frac{1}{4a^3(a+x)}\right\}dx\\&={1\over2a^3}{\rm Tan}^{-1}{x\over a}+{1\over4a^3}\ln\left|\frac{x+a}{x-a}\right|\end{align}\)
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