평균치의 정리와 그 응용
\(a<x\) 이면 \(f(a)<f(x)\)
이고
\(x<a\) 이면 \(f(x)<f(a)\)
일 때 \(f\)는 \(a\)에서 증가상태에 있다고 하며
\(a<x\) 이면 \(f(a)>f(x)\)
이고
\(x<a\) 이면 \(f(x)>f(a)\)
일 때 \(f\)는 감소상태에 있다고 한다.
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| 증가상태 ( 좌 ) 및 감소상태 ( 우 ) |
| 정리 1 함수 \(f\)는 점 \(a\)를 포함하는 구간에서 정의되어 있고, \(f'(a)(\ne0)\)가 존재한다고 한다. \(f'(a)>0\) 이면 \(f(x)\)는 \(a\)에서 증가상태, \(f'(a)<0\) 이면 \(a\)에서 감소상태에 있다. |
<증명> \(\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(a)\ (\ne0)\) 이므로, \(\epsilon=|f'(a)|\)라 하면, 적당한 \(\delta\)가 존재해서 \(0<|x-a|<\delta\)인 모든 \(x\)에 대해서
\[\left|\frac{f(x)-f(a)}{x-a}-f'(a)\right|<\epsilon=|f'(a)|\ \text{즉,}\,f'(a)-|f'(a)|<\frac{f(x)-f(a)}{x-a}<f'(a)+|f'(a)|\]
(i) \(f'(a)>0\) 이면
\[0<\frac{f(x)-f(a)}{x-a}<2f'(a)\]
이므로 \(f(x)-f(a)\)와 \(x-a\)는 동부호가 되며,
\(\ \ \,0<x-a<\delta\) 이면 \(f(x)-f(a)>0\),
\(-\delta<x-a<0\) 이면 \(f(x)-f(a)<0\).
즉, \(a\)의 근방 \((a-\delta,\,a+\delta)\)에서
\(a<x\) 이면 \(f(a)<f(x)\),
\(x<a\) 이면 \(f(x)<f(a)\).
따라서 \(f\)는 \(x=a\)에서 증가상태에 있다.
(ii) \(f'(a)<0\) 이면
\[2f'(a)<\frac{f(x)-f(a)}{x-a}<0\]
이므로 \(f(x)-f(a)\)와 \(x-a\)는 이부호가 되며,
\(\ \ \,0<x-a<\delta\) 이면 \(f(x)-f(a)<0\),
\(-\delta<x-a<0\) 이면 \(f(x)-f(a)>0\).
즉, \(a\)의 근방 \((a-\delta,\,a+delta)\)에서
\(a<x\) 이면 \(f(a)>f(x)\),
\(x<a\) 이면 \(f(x)>f(a)\).
따라서 \(f\)는 \(x=a\)에서 감소상태에 있다.
| 정리 2 (Rolle의 정리) 함수 \(f\)는 폐구간 \([a,\,b]\)에서 연속이고, 개구간 \((a,\,b)\)에서 미분가능이며 \(f(a)=f(b)=0\) 이면 개구간 \((a,\,b)\) 내에, \(f'(\xi)=0\) 인 점 \(\xi\)가 적어도 하나 존재한다. |
<증명> \(f\)는 \([a,\,b]\)에서 연속이므로, 최대치 \(M\)과 최소치 \(m\)이 존재한다(「연속함수의 성질」 정리 2). \(f(a)=f(b)=0\) 이므로 \(m\le0\le M\) 이다.
(i) \(m=0=M\) 일 때는 \([a,\,b]\) 내의 모든 \(x\)에 대해서 \(f(x)=0\) 이므로 \(f\)는 상수함수이다. 따라서 \((a,\,b)\) 내의 모든 \(x\)에 대해서 \(f'(x)=0\) 이다.
(ii) \(M>0\) 일 때는 \([a,\,b]\) 내의 \(f(\xi)=M\)이 되는 점 \(\xi\)가 적어도 하나 존재한다. 그런데 \(f(a)=f(b)=0\) 이므로, \(\xi\ne a,\,\xi\ne b\) 이다. 따라서 \(\xi\)는 \((a,\,b)\) 안에 있다. \(f\)는 \((a,\,b)\)에서 미분가능하므로 미분계수 \(f'(\xi)\)가 존재한다. 그런데
\(f'(\xi)>0\) 이면 \(f\)는 \(\xi\)에서 증가상태
\(f'(\xi)<0\) 이면 \(f\)는 \(\xi\)에서 감소상태
에 있으므로 어느 경우에도, \(f(\xi)\)는 최대치가 될 수 없다. 따라서 \(f'(\xi)=0\)이 아니면 안된다.
(iii) \(m<0\) 일 때도, (ii)와 같이 하면 \(f(\xi)=m\)이 되는 점 \(\xi\)가 \((a,\,b)\)내에 적어도 하나 존재하고 \(f'(\xi)=0\)가 된다.
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| Rolle의 정리 |
| 정리 3 (평균치의 정리) 함수 \(f\)가 폐구간 \([a,\,b]\)에서 연속이고 개구간 \((a,\,b)\)에서 미분가능이면,\[\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(\xi)\]인 점 \(\xi\)가 \((a,\,b)\) 내에 적어도 하나 존재한다. |
<증명> 함수 \(g\)를
\[g(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)\]
라 정의하면 \(g\)는 폐구간 \([a,\,b]\)에서 연속이고 개구간 \((a,\,b)\)에서 미분가능이며, \(g(a)=g(b)=0\) 이다. 따라서 Rolle의 정리에 의해
\[g'(\xi)=f'(\xi)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0.\ \text{즉,}\ \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(\xi)\]
인 점 \(\xi\)가 \((a,\,b)\) 내에 적어도 하나 존재한다.
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| 평균치의 정리 |
[주의] \(a<\xi<b\) 일 때, \(\dfrac{\xi-a}{b-a}\)라 두면 \(\xi=a+\theta(b-a),\,0<\theta<1\) 이므로 평균치의 정리는
\[\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(a+\theta(b-a)),\,0<\theta<1\]
라 쓸 수도 있다.
[예제 1] \(f(x)=x^3,\,a=-1,\,b=3\) 일 때
\[f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\]
인 점 \(\xi\)를 \((a,\,b)\) 내에서 구하여라.
<풀이> \(f(a)=(-1)^3=-1,\,f(b)=3^3=27,\,f'(x)=3x^2\) 이므로
\(f'(\xi)=3\xi^2=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}={28\over4}=7,\,-1<\xi<3.\) 따라서 \(\xi=\sqrt{7\over3}\).
| 정리 4 함수 \(f\)는 폐구간 \([a,\,b]\)에서 연속이고 개구간 \((a,\,b)\)에서 미분가능이며, \(f'(x)=0\) 이면, \([a,\,b]\)에서 \(f(x)=c\) (\(c\)는 상수) 이다. |
<증명> 구간 \([a,\,b]\) 내의 임의의 점 \(x(\ne a)\)를 잡아 폐구간 \([a,\,x]\)에 평균치 정리를 적용하면
\(f(x)-f(a)=f'(\xi)(x-a)=0,\,a<\xi<x\)
이다. 따라서
\(f(x)=f(a),\,a<x\le b\)
즉, \([a,\,b]\) 내의 모든 \(x\)에 대하여 \(f(x)\)는 \(f(a)\)와 같으므로, \(f\)는 상수함수이다.
| 계 두 개의 함수 \(f,\,g\)가 \([a,\,b]\)에서 연속, \((a,\,b)\)에서 미분가능하며, \((a,\,b)\) 내의 모든 점 \(x\)에서 \(f'(x)=g'(x)\) 이면, \([a,\,b]\)에서\(f(x)=g(x)+c\) (\(c\)는 상수) 이다. |
<증명> \(F(x)=f(x)-g(x)\)라 두면, \(F\)는 \([a,\,b]\)에서 연속, \((a,\,b)\)에서 미분가능이므로 \(F'(x)=f'(x)-g'(x)=0,\,a<x<b\) 이다. 따라서 정리 4에 의해 \(F(x)=c\). 즉
\(f(x)=g(x)+c\) (단, \(c\)는 상수)
[예제 2] 어떤 구간에서 \(f'(x)=k\) 이면 그 구간에서 \(f(x)=kx+c\) (\(c\)는 상수) 이다.
<증명> \(g(x)=kx\)라 두면 g'(x)=k 이므로, \(f'(x)=g'(x)\). 따라서 위의 계에 의해
\(f(x)=g(x)+c=kx+c\).
[예제 3] \(f(x)\)가 구간 \(I\)에서 미분가능이고, \(f(x)\ne0\)라 하자. 만일 \(I\)에서 항상 \(f'(x)=kf(x)\) (\(k\)는 상수)라 하면, \(f(x)=ce^{kx}\) 임을 증명하여라.
<증명> \(f(x)\)는 미분가능이므로 연속이고 구간 \(I\)에서 \(f(x)\ne0\) 이므로 일정한 부호를 갖는다.
\(f(x)>0\) 인 경우에는, \(F(x)=\ln{f(x)}\)라 두면
\(F'(x)=f'(x)/f(x)=k\)
이므로 예제 2에 의해
\(F(x)=kx+c\).
따라서
\(f(x)=e^{F(x)}=e^{kx+c}=Ce^{kx}\) \((C=e^c)\)
\(f(x)<0\)인 경우에는, \(F(x)=\ln(-f(x))\)라 두어 앞의 경우와 같이 하면
\(f(x)=Ce^{kx}\) \((C=-e^c)\)
가 된다.
| 정리 5 함수 \(f\)는 폐구간 \([a,\,b]\)에서 연속이고, 개구간 \((a,\,b)\)에서 미분가능하다고 한다. \((a,\,b)\)에서 \(f'(x)>0\) 이면, \(f\)는 \([a,\,b]\)에서 단조증가 \((a,\,b)\)에서 \(f'(x)<0\) 이면, \(f\)는 \([a,\,b]\)에서 단조감소 이다. |
<증명> \([a,\,b]\) 내의 임의의 두 점 \(x_1,\,x_2\)를 잡아\((x_1<x_2)\), 구간 \([x_1,\,x_2]\)에 평균치 정리를 적용하면
\(f(x_2)-f(x_1)=f'(\xi)(x_2-x_1),\,x_1<\xi<x_2\).
따라서
\((a,\,b)\)에서 \(f'(x)>0\) 이면 \([a,\,b]\)에서 \(f(x_1)<f(x_2)\),
\((a,\,b)\)에서 \(f'(x)<0\) 이면 \([a,\,b]\)에서 \(f(x_1)>f(x_2)\).
[예제 4] \(f(x)=x^2+\frac{1}{4x}\ (x\ne0)\)의 증감을 조사하여라.
<풀이> \(f'(x)=2x-{1\over4x^2}=\frac{8x^3-1}{4x^2}=\frac{(2x-1)(4x^2+2x+1)}{4x^2}\) 이므로
\(x>{1\over2}\)에서 \(f'(x)>0,\,x<{1\over2}\)에서 \(f'(x)<0\). 따라서
구간 \([{1\over2},\,\infty)\)에서 \(f\)는 강한의미의 증가함수.
구간 \((0,\,{1\over2}]\cup(-\infty,\,0)\)에서 \(f\)는 강한 의미의 감소함수이다.
[예제 5] \(x>1\)에서 \(\ln{x}<{1\over2}(x-{1\over x})\) 임을 증명하여라.
<풀이> \(f(x)={1\over2}(x-{1\over x})-\ln{x}\)라 두면 \(f'(x)={1\over2}(1+{1\over x^2})=\frac{(x-1)^2}{2x^2}\).
따라서 \((1,\,\infty)\)에서 \(f'(x)>0\). 또한 \([1,\,\infty)\)에서 연속이므로 \([1,\,\infty)\)에서 \(f\)는 강한 의미의 단조증가이다.
한편, \(f(1)=0\) 이므로 \((1,\,\infty)\)에서 \(f(x)>0\) 이다. 즉, \({1\over2}(x-{1\over x})>\ln{x},\,x>1\).
[예제 6] \(\alpha>1,\,x>1\) 일 때
\(\alpha(x-1)<x^\alpha-1<\alpha(x-1)x^{\alpha-1}\)
임을 증명하여라.
<증명> \(f(x)=x^\alpha\) 두고 구간 \([1,\,x]\)에 평균치의 정리를 적용하면
\(x^\alpha-1=f(x)-f(1)=(x-1)\alpha\xi^{\alpha-1},\,1<\xi<x\).
따라서 \(x>1\) 이면
\((x-1)\alpha<(x-1)\alpha\xi^{\alpha-1}<(x-1)\alpha x^{\alpha-1}\).
즉,
\(\alpha(x-1)<x^\alpha-1<\alpha(x-1)x^{\alpha-1}\).
[예제 7] (Cauchy의 공식) 함수 \(f,\,g\)는 폐구간 \([a,\,b]\)에서 연속이고 개구간 \((a,\,b)\)에서 미분가능이며 \(g(a)\ne g(b)\)라 하자. \((a,\,b)\)에서 \(g'(x)\ne0\) 이면
\[\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)},\,a<\xi<b\]
인 점 \(\xi\)가 존재한다.
<증명> \(F(x)=\{g(b)-g(a)\}f(x)-\{f(b)-f(a)\}g(x)\)라 두면
\(F(a)=F(b)\).
또한, 함수 \(F\)는 \([a,\,b]\)에서 연속이고 \((a,\,b)\)에서 미분가능이므로 Rolle의 정리에 의해
\(F'(\xi)=\{g(b)-g(a)\}f'(\xi)-\{f(b)-f(a)\}g'(\xi)=0,\,a<\xi<b\)
인 점 \(\xi\)가 존재한다. 즉,
\(\{f(b)-f(a)\}g'(\xi)=\{g(b)-g(a)\}f'(\xi)\).
따라서 \(\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)},\,a<\xi<b\).
《문 제》
1. 다음 각 함수에서 평균치의 정리
\(f(b)=f(a)+(b-a)f'(\xi),\,a<\xi<b\)
에 대한 \(\xi\)의 값을 구하여라.
(1) \(f(x)=\sqrt{x},\,a=0,\,b=4\)
(2) \(f(x)=x^2,\,a=0,\,b=2\)
(3) \(f(x)=\sin{x},\,a={\pi\over6},\,b={\pi\over2}\)
(4) \(f(x)=x^2+hx+k,\,a=x_1,\,b=x_2\)
<풀이>
(1) \(f'(\xi)={1\over2\sqrt{xi}}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}={1\over2},\,0<\xi<4.\ \xi=1\)
(2) \(f'(\xi)=2\xi=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=2,\,0<\xi<2.\ \xi=1\)
(3) \(f'(\xi)=\cos{\xi}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}={3\over2\pi},\,{\pi\over6}<\xi<{\pi\over2}.\ \xi={\rm Cos}^{-1}{3\over2\pi}\)
(4) \(f'(\xi)=2\xi+h=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=x_1+x_2+h,\,x_1<\xi<x_2.\ \xi=\frac{x_1+x_2}{2}\)
2. 다음 함수에서 각각 주어진 구간 (a) 및 (b)에 대해서 평균치의 정리가 적용될 수 있는지를 확인하고 그 이유를 말하여라.
(1) \(f(x)=x^{2\over3}\), (a) \([-2,\,1]\), (b) \([0,\,3]\)
(2) \(f(x)=\frac{x}{1+x^2}\), (a) \([-2,\,2]\), (b) \([0,\,3]\)
(3) \(f(x)=\frac{1}{1-x^2}\), (a) \([-2,\,2]\), (b) \([1,\,2]\)
(4) \(f(x)=\tan{x}\), (a) \([-{\pi\over2},\,{\pi\over2}]\), (b) \([-{\pi\over4},\,{\pi\over4}]\)
<풀이>
(1) \(f'(x)={2\over3x^{1/3}}\), (a) 불가(\(x=0\)에서 미분불가), (b) 가능
(2) \(f'(x)=\frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}\), (a) 가능, (b) 가능
(3) \(f'(x)=\frac{2x}{(1-x^2)^2}\), (a) 불가(\(x=1\)에서 불연속), (b) 불가(좌동)
(4) \(f'(x)=\sec^2x\), (a) 불가(\(x=\pm{\pi\over2}\)에서 불연속), (b) 가능
3. 평균치의 정리를 이용하여 \(x>0\)에서 \(\sin{x}<x\) 임을 보여라.
<증명> \(x>1\)인 경우는 \(|\sin{x}|\le1\) 이므로 자명하다. \(0<x\le1\)인 경우 \((0,\,x)\)에서 평균치의 정리를 적용하면
\(\sin{x}-\sin0=(x-0)\cos{\xi},\,0<\xi<x(\le1<\pi/2)\)
그런데 \(0<\xi<1\) 일 때 \(0<\cos\xi<1\) 이다. 따라서 \(\sin{x}<x\).
4. 부등식
\[\frac{h}{1+h}<\ln(1+h)<h\quad(h>-1,\,h\ne0)\]
을 증명하여라.
<증명> \(f(h)=\ln(1+h)\)라 두고 구간 \([0,\,h]\)에서 평균치의 정리를 적용하면
\[f'(\xi)={1\over1+\xi}=\frac{f(h)-f(0)}{h}=\frac{\ln(1+h)}{h},\,1<\xi<h\]
그런데 \(\frac{h}{1+h}<\frac{h}{1+\xi}<h\) 이므로 \(\frac{h}{1+h}<\ln(1+h)<h\) 이다.
5. 부등식
\(e^x>1+x,\,x\ne0\)
임을 증명하여라.
<증명> \(f(x)=e^x-(1+x)\)라 두면 \(f'(x)=e^x-1\) 이다. 따라서
\(x<0\) 일 때 \(f'(x)<0\) 이므로 \(f\)는 단조감소
\(x>0\) 일 때 \(f'(x)>0\) 이므로 \(f\)는 단조증가
그런데 \(f(0)=0\) 이므로 \(x\ne0\) 일 때 \(f(x)>0\). 즉, \(e^x>1+x\) 이다.
6. 다음 부등식을 증명하여라.
(1) \(|\sin{x_1}-\sin{x_2}|\le|x_1-x_2|\)
(2) \(\tan{x}>x,\,0<x<{\pi\over2}\)
<증명>
(1) \(f(x)=\sin{x}\)라 두고 \(x_1<x_2\)인 경우 \((x_1,\,x_2)\)에서 평균치 정리를 적용하면
\[f'(\xi)=\cos{\xi}=\frac{\sin{x_2}-\sin{x_1}}{x_2-x_1},\,x_1<\xi<x_2\]
\(|\cos\xi|\le1\) 이므로 \(|\frac{\sin{x_2}-\sin{x_1}}{x_2-x_1}|\le1\). 따라서 \(|\sin{x_2}-\sin{x_1}|\le|x_2-x_1|\).
\(x_1>x_2\)인 경우도 같은 방법으로 하면 되다.
(2) \(f(x)=\tan{x}-x\)라 두면 \(f'(x)=\sec^2x-1>0\) 이므로 단조증가이다.
또한 \(f(0)=0\) 이므로 \(0<x<{\pi\over2}\)에서 \(f(x)>0\) 이다. 즉, \(\tan{x}>x\).
7. 다음의 순서대로 평균치의 정리를 증명하여라.
\(f\)는 \([a,\,b]\)에서 연속이고 \((a,\,b)\)에서 미분가능이라 한다.
(1) \(g\)는 1차 함수이고
\(g(a)=f(a),\,g(b)=f(b)\)
을 만족한다. 함수 \(g\)를 결정하여라.
(2) \(h\)를 \(f\)와 \(g\)의 차, 즉
\(h(x)=f(x)-g(x)\)
라 할 때 \(h\)는 Rolle의 정리의 가정을 만족함을 보여라.
(3) \(h\)에 Rolle의 정리를 적용하여 \(f\)에 대한 평균치의 정리를 유도하여라.
<풀이>
(1) \(g(x)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)+f(a)\)
(2) \(h(x)=f(x)-g(x)\)는 \([a,\,b]\)에서 연속, \((a,\,b)\)에서 미분가능하다.
\(g(a)=f(a),\,g(b)=f(b)\) 이므로 \(h(a)=h(b)=0\).
(3) Rolle의 정리로부터 \(h'(\xi)=0\ (a<\xi<b)\)인 \(\xi\)가 존재하기 때문에,
\(h'(\xi)=f'(\xi)-g'(\xi)=f'(\xi)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0\)
이것은 평균치 정리가 성립함을 보여준다.
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