반복적분 (Iterated Integral)
그림 1 함수 \({\rm F}(x,\,y)\)가 그림 1과 같은 직사각형의 영역 \(\rm D\), 즉 \[{\rm D}:a\le{x}\le b,\qquad c\le{y}\le d\] 가 주어져 있을 때, \(\rm D\)를 직선 \(y=k\)(상수)로 절단하여 절단된 선분을 \(\rm PQ\)라 하자. 이 선분 \(\rm PQ\) 위에서는 \(y\)가 상수이므로 \({\rm F}(x,\,y)\)는 \(x\)만의 함수가 된다. 여기서 \(y\)를 고정하여 \({\rm F}(x,\,y)\)를 \(a\)에서 \(b\)까지 적분 한 결과를 \[{\rm A}(y)=\int_a^b{\rm F}(x,\,y)dx\] 로 표시하고, 이것을 선분 \(\rm PQ\)를 따른 \({\rm F}(x,\,y)\)의 적분 이라 한다. 이 적분 \({\rm A}(y)\)의 값은 \(y\)의 값에 의하여 결정되므로 \({\rm A}(y)\)는 \(y\)의 함수 이다. 여기서, 이 함수 \({\rm A}(y)\)를 \(y\)에 관하여 \(c\)부터 \(d\)까지 적분하면 \[\int_c^d{\rm A}(y)dy=\int_c^d\left\{\int_a^b{\rm F}(x,\,y)dx\right\}\cdots(1)\] 가 얻어진다. 이것을 영역 \(\rm D\)에서 \({\rm F}(x,\,y)\)의 반복적분(反復積分 ; iterated integral) 이라 한다. 그림 2 영역 \(\rm D\)에서 \({\rm F}(x,\,y)\ge0\) 이라 하자. \(\rm D\)를 밑면으로 하는 기둥과 곡면 \(z={\rm F}(x,\,y)\)의 사이에 있는 입체와 직선 \(\rm PQ\)를 포함하며 \(xy\) 평면 에 수직인 평면과 교차하는 면적 을 \({\rm A}(y)\)로 두면 \({\rm A}(y)=\int_a^b{\rm F}(x,\,y)dx\)이다. 따라서 반복적분 \(\int_c^d{\rm A}(y)dy=\int_c^d\{\int_a^b{\rm F}(x,\,y)dx\}dy\)...